Bản vẽ mặt phẳng

Định nghĩa

Nếu đồCó thể họa ở mặt bằngThượng, tức trừ đỉnh điểm chỗ ngoại vô biên tương giao, tắc xưngNhưng mặt bằng khảm nhập,Vì nhưng bản vẽ mặt phẳng hoặc bản vẽ mặt phẳng. Họa ra không có biên tương giao đồ xưng làMặt bằng tỏ vẻ hoặc mặt bằng khảm nhập.

$K_{3,3}$ CùngKhông phải bản vẽ mặt phẳng. Trong đó,Chỉ chính là điểm số vìHoàn toàn đồ, mà $K_{3,3}$ Chỉ chính là hai bên các có ba cái điểm hoàn toàn nhị phân đồ.

ThiếtLà bản vẽ mặt phẳng, từBiên đemNơi mặt bằng phân chia thành bao nhiêu cái khu vực, mỗi cái khu vực xưng làMột cái mặt, trong đó diện tích vô hạn mặt xưng là vô hạn mặt hoặc phần ngoài mặt, diện tích hữu hạn xưng là hữu hạn mặt hoặc bên trong mặt. Vây quanh mỗi cái mặt sở hữu biên tạo thành đường về xưng là nên mặt biên giới, biên giới chiều dài xưng là nên mặt số lần.

Bản vẽ mặt phẳng trung sở hữu mặt số lần chi cùng tương đương biên số2 lần.

Nếu ở đơn giản bản vẽ mặt phẳngTùy ý không liền nhau đỉnh điểm gian tăng thêm biên, đoạt được đồ vì phi bản vẽ mặt phẳng, xưngVì cực đại bản vẽ mặt phẳng.

NếuVì $n (n \geq 3)$ Giai đơn giản liên thông bản vẽ mặt phẳng,Vì cực đại bản vẽ mặt phẳng đương thả chỉ đươngMỗi cái mặt số lần đều vì 3.

Công thức Euler

Đối với tùy ý liên thông bản vẽ mặt phẳng,Có:

Trong đó,,Phân biệt vìGiai số, biên số cùng mặt số.

Suy luận: Đối với có $p (p \geq 2)$ Cái liên thông chi nhánh bản vẽ mặt phẳng,Có

Nhưng đẩy ra mặt khác tính chất:

ThiếtLà liên thông bản vẽ mặt phẳng, thảCác mặt số lần ít nhất vì $l(l \geq 3)$ ,Tắc có:

$m \leq \frac{l}{l-2}(n-2)$

Suy luận: Đối với có $p (p \geq 2)$ Cái liên thông chi nhánh bản vẽ mặt phẳng,Có

$m \leq \frac{l}{l-2}(n-p-1)$

Suy luận: ThiếtLà $n \geq 3$ GiaiĐiều biên đơn giản bản vẽ mặt phẳng, tắc $m \leq 3n-6$

Phán đoán

Nếu hai cái đồCùngCùng cấu, hoặc thông qua lặp lại cắm vào hoặc đánh tan 2 độ đỉnh điểm sau là cùng cấu, tắc xưng hai người là cùng phôi.

Kho kéo đồ tư cơ định lý

ĐồLà bản vẽ mặt phẳng đương thả chỉ đươngKhông chứa cùngHoặc $K_{3,3}$ Cùng phôi tử đồ.

ĐồLà bản vẽ mặt phẳng đương thả chỉ đươngTrung không có có thể co rút lại đếnHoặc $K_{3,3}$ Tử đồ.

Đối ngẫu đồ

ThiếtLà bản vẽ mặt phẳng mỗ một cái mặt bằng khảm nhập, cấu tạo đồ $G^{*}$ :

ỞMỗi cái mặtTrung đặt $G^{*}$ Một cái đỉnh điểm $v_i^{*}$
ThiếtVìMột cái biên, nếuỞMặtCùngCông cộng biên giới thượng, làm $G^{*}$ Biên $e^{*}$ CùngTương giao, thảLiên hệ $G^{*}$ Đỉnh điểm,Tức,Không cùng mặt khác bất luận cái gì biên tương giao. NếuVìTrung kiều thả ởBiên giới thượng, tắcNày đâyTrung đỉnh điểmVì điểm cuối hoàn, tức

Xưng $G^{*}$ VìĐối ngẫu đồ.

Tính chất

$G^{*}$ Vì bản vẽ mặt phẳng, thả là mặt bằng khảm nhập.
Trung tự hoàn ở $G^{*}$ Trung đối ứng kiều,Trung kiều ở $G^{*}$ Trung đối ứng tự hoàn.
$G^{*}$ Là liên thông.
NếuMặtBiên giới từ ít có hai điều công cộng biên, tắc liên hệBiên có song song biên,Hơn phân nửa là nhiều trọng đồ.
Cùng cấu đồ đối ngẫu đồ không nhất định là cùng cấu.
$G^{**}$ CùngCùng cấu đương thả chỉ đươngLà liên thông đồ.

Ứng dụng

Bản vẽ mặt phẳng nhỏ nhất cắt chuyển đối ngẫu đồ ngắn nhất lộ: BZOJ 1001 lang bắt thỏ

Ngoại bản vẽ mặt phẳng

ThiếtVì bản vẽ mặt phẳng, nếuTồn tại mặt bằng khảm nhập $\tilde{G}$ ,Khiến choTrung sở hữu đỉnh điểm đều ở $\tilde{G}$ Một cái mặt biên giới thượng, tắc xưngVì ngoại nhưng bản vẽ mặt phẳng, tên gọi tắt ngoại bản vẽ mặt phẳng.

ThiếtLà đơn giản ngoại bản vẽ mặt phẳng, nếu đối vớiTrung nhậm nhị không liền nhau đỉnh điểm,Lệnh $G'=G \cup (u, v)$ ,TắcKhông phải ngoại bản vẽ mặt phẳng, xưngVì cực đại ngoại bản vẽ mặt phẳng.

Tính chất

Sở hữu đỉnh điểm đều bên ngoài bộ mặt biên giới thượng $n (n \geq 3)$ Giai ngoại nhưng bản vẽ mặt phẳng là cực đại ngoại nhưng bản vẽ mặt phẳng đương thả chỉ đươngMỗi cái phần ngoài mặt biên giới đều là trường vì 3 vòng, phần ngoài mặt biên giới là một cái trường vìVòng.

$n (n \geq 3)$ Giai cực đại ngoại bản vẽ mặt phẳng cóCái bên trong mặt.

ThiếtLà $n (n \geq 3)$ Giai cực đại ngoại bản vẽ mặt phẳng, tắc:

Trung ít nhất có 3 cái đỉnh điểm số độ nhỏ hơn hoặc bằng 3
Trung ít nhất có 2 cái đỉnh điểm số độ vì 2
Điểm liên thông độ $\kappa$ Vì 2

Một cái đồLà ngoại bản vẽ mặt phẳng có đương thả chỉ đươngTrung không chứa cùngHoặc $K_{2,3}$ Cùng phôi tử đồ.

Bất luận cái gì 4 - liên thông bản vẽ mặt phẳng đều là Hami đốn đồ.

Bổn giao diện gần nhất đổi mới:2024/8/2 18:28:30,Đổi mới lịch sử
Phát hiện sai lầm? Tưởng cùng nhau hoàn thiện?Ở GitHub thượng biên tập này trang!
Bổn giao diện cống hiến giả:AlphaDrawer,Enter-tainer,HeRaNO,Ir1d
Bổn giao diện toàn bộ nội dung ởCC BY-SA 4.0CùngSATAHiệp nghị chi điều khoản hạ cung cấp, phụ gia điều khoản cũng khả năng ứng dụng