Độ cung chế cùng tọa độ hệ

Giác định nghĩa

Ở tiểu học hoặc sơ trung đã học tập quá giácTrạng thái tĩnh định nghĩa:Có công cộng điểm cuối hai điều xạ tuyến tạo thành đồ hình gọi là giác.

Nhưng là nên định nghĩa đem góc độ hạn chế ở $[0, 360^\circ]$ ,Này cấp thâm nhập nghiên cứu mang đến nhất định khó khăn, còn có mặt khác vấn đề vô pháp giải thích thanh, tỷ như: Xoay tròn $720^\circ$ Là có ý tứ gì?

Ở cao trung toán học, nói giácĐộng thái định nghĩa:Mặt bằng nội một cái xạ tuyến vòng này điểm cuối từ một vị trí xoay tròn đến một cái khác vị trí hình thành đồ hình gọi là giác.

Bắt đầu vị trí xưng làThủy biên,Kết thúc vị trí xưng làChung biên.Cũng quy định:

ẤnNghịch kim đồng hồPhương hướng xoay tròn hình thành giác gọi làChính giác,Này góc độ vì chính;
ẤnThuận kim đồng hồPhương hướng xoay tròn hình thành giác gọi làPhụ giác,Này góc độ vì phụ;
Chung biên tương đối với thủy biên không có làm bất luận cái gì xoay tròn giác gọi làLinh giác,Này góc độ vì $0^\circ$ .

Như vậy liền đem giác khái niệm đẩy hướng về phíaTùy ý giác.

Chú ý

Linh giác thủy biên cùng chung biên trùng hợp, nhưng thủy biên cùng chung biên trùng hợp giác cũng không đều là linh giác, như lấy $360^\circ$ Vì bội số giác.

Độ cung chế

Thực tế ứng dụng trung thường xuyên có góc độ đến các loại tham số thay đổi, mà sử dụng độ cung chế miêu tả giác có thể giảm bớt hệ số sử dụng. Cho nên kế tiếp, giới thiệuĐộ cung chế:

Đem chiều dài tương đương bán kính lớn lên hình cung sở đối tâm giác xưng làĐộ cung giác, dùng ký hiệu $\text{rad}$ Tỏ vẻ, đọc làm: Độ cung.

Căn cứ phía trước quy định, chính giác độ cung vì chính, phụ giác độ cung vì phụ, linh giác độ cung vì,Nếu bán kính vìViên tâm giác $\alpha$ Sở đối hình cung trường vì,Tắc:

|\alpha|=\dfrac{l}{r}

Lợi dụng cái này công thức còn có thể viết ra hình cung trường cùng hình quạt diện tích công thức, tại đây lược quá.

Vì thế, $360^\circ$ Giác độ cung vì $2\pi$ ,Như vậy có đối ứng quan hệ lúc sau liền có thể tiến hành góc độ giá trị cùng độ cung chế chuyển hóa:

k \operatorname{rad} = \frac{\pi}{180^\circ} n^\circ

Suy xét một cái giác, đem này chung biên lại xoay tròn một vòng, thậm chí nhiều chu, thủy biên vị trí bất động, như vậy chung biên vị trí vĩnh viễn là tương đồng, xưng này đó giác vì chung biên vị trí tương đồng giác.

Cùng giác $\alpha$ Chung biên vị trí tương đồng giác tập hợp thực dễ dàng đến ra, vì $\{\varphi \mid \varphi = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\}$ .

Có thể lý giải vì: Cấp cái này giác biên không ngừng thêm chuyển một vòng, chung biên vị trí bất biến.

\pi

Cùng

\tau

Hai cái toán học hằng số

Trước mắt phương tây toán học giới có một ít quan điểm cho rằng, “Chân chính số Pi” ứng vì $2\pi$ ,Đem cái này giá trị nhớ vì chữ cái Hy Lạp $\tau$ .Tân số Pi người ủng hộ nhóm lựa chọn ở 6 nguyệt 28 ngày chúc mừng “Chân chính” số Pi ngày.

Tỷ như, ở độ cung chế hạ, một cái góc đầy là $2\pi$ ,Trực tiếp đối $2\pi$ Tiến hành chia đều có thể được đến góc đầy chia đều. Lại tỷ như, ở phục biến hàm số trung tần phồn xuất hiện $2\pi$ Tổ hợp, từ từ.

Vì đón ý nói hùa Trung Quốc các nơi khu ước định mà thành thói quen, ởOI Wiki,Chọn dùng tham số $\pi$ Tỏ vẻ số Pi.

Biên trình trung số Pi thói quen phương pháp sáng tác

Ở C/C++ ngôn ngữ trung, giống nhau lấy $\pi$ Vìacos(-1),Chỉ có cái này giá trị là nhất tiếp cận $\pi$ Phù điểm số. Sử dụngacos(-1)Hoặc là4 * atan(1)Viết ra tới $\pi$ Là.

Chọn dùng mặt khác giá trị, tỷ nhưacos(-1.0/2.0),acos(1.0/2.0),asin(1.0/2.0)Từ từ, viết ra tới $\pi$ Là,Này liền không phải nhất tiếp cận $\pi$ Phù điểm số.

Nếu ngươi bối đến xuống dưới, cũng có thể trực tiếp viết.

Mặt bằng góc vuông tọa độ hệ

Ở cùng cái mặt bằng thượng cho nhau vuông góc thả có công cộng nguyên điểm hai điều số trục cấu thành mặt bằng góc vuông tọa độ hệ ( Rectangular Coordinates ).

Thông thường, hai điều số trục phân biệt đặt trình độ vị trí cùng vuông góc vị trí, lấy hướng hữu cùng hướng về phía trước phương hướng phân biệt vì hai điều số trục chính phương hướng. Trình độ số trục gọi làTrục ( x-axis ) hoặc hoành trục, vuông góc số trục gọi làTrục ( y-axis ) hoặc túng trục,TrụcTrục gọi chung vì trục toạ độ, chúng nó công cộng nguyên điểmXưng là mặt bằng góc vuông tọa độ hệ nguyên điểm ( origin ), lấy điểmVì nguyên điểm mặt bằng góc vuông tọa độ hệ nhớ làm mặt bằng góc vuông tọa độ hệ.

TrụcTrục đem tọa độ mặt bằng phân thành bốn cái góc vuông ( quadrant ), phía trên bên phải bộ phận gọi là đệ nhất góc vuông, mặt khác ba cái bộ phận ấn nghịch kim đồng hồ phương hướng theo thứ tự gọi là đệ nhị góc vuông, đệ tam góc vuông cùng đệ tứ góc vuông. Góc vuông lấy số trục vì giới, hoành trục, túng trục thượng điểm cập nguyên điểm không ở bất luận cái gì một cái góc vuông nội. Trong tình huống bình thường,TrụcTrục lấy tương đồng đơn vị chiều dài, nhưng ở đặc thù dưới tình huống, cũng có thể lấy bất đồng đơn vị chiều dài.

Mặt bằng góc vuông tọa độ hệ hạ vị trí miêu tả

Ở mặt bằng góc vuông tọa độ hệ trung, đối với mặt bằng thượng tùy ý một chút, đều có duy nhất một cái có số thứ tự đối ( tức điểm tọa độ ( coordinates ) ) cùng nó đối ứng; trái lại, đối với tùy ý một cái có số thứ tự đối, đều có mặt bằng thượng duy nhất một chút cùng nó đối ứng.

Đối với mặt bằng nội tùy ý một chút,Quá điểmPhân biệt hướngTrục,Trục làm đường vuông góc, rũ đủ ởTrục,Trục thượng đối ứng điểmPhân biệt gọi là điểmTọa độ ngang, tung độ, có số thứ tự đối ( ordered pair )Gọi là điểmGóc vuông tọa độ. Một cái điểm ở bất đồng góc vuông hoặc ngồi tiêu trục thượng, này tọa độ đều không giống nhau.

Mặt bằng cực tọa độ hệ

Suy xét thực tế tình huống, tỷ như hàng hải, nói “ĐiểmỞ điểmBắc thiên đông $30^\circ$ Phương hướng thượng, khoảng cách vìMễ”, mà không phải “LấyVì nguyên điểm thành lập mặt bằng góc vuông tọa độ hệ, $B(50,50\sqrt 3)$ ”.

Như vậy:

Ở mặt bằng thượng tuyển nhất định điểm,Xưng làCực điểm;
Tự cực điểm dẫn ra một cái xạ tuyến,Xưng làCực trục;
Lựa chọn một cái đơn vị chiều dài ( ở toán học vấn đề trung thông thường vì), một cái góc độ đơn vị ( thông thường vì độ cung ) và chính phương hướng ( thông thường vì nghịch kim đồng hồ phương hướng );

Liền thành lậpCực tọa độ hệ.

Cực tọa độ hệ hạ vị trí miêu tả

ThiếtVì mặt bằng thượng một chút.

Cực điểmCùngChi gian khoảng cáchXưng làCực kính,Nhớ vì $\rho$ ;
Lấy cực trục vì thủy biên,Vì chung biên giác $\angle xOA$ Xưng làCực giác,Nhớ vì $\varphi$ ;

Như vậy có số thứ tự đối $(\rho,\varphi)$ Tức vìCực tọa độ.

Từ chung biên tương đồng giác định nghĩa cũng biết, $(\rho,\varphi)$ Cùng $(\rho,\varphi + 2k\pi)\ (k\in \mathbf{Z})$ Kỳ thật tỏ vẻ chính là giống nhau điểm. Đặc biệt mà, cực điểm cực tọa độ vì $(0,\varphi)\ (\varphi \in \mathbf{R})$ ,Vì thế mặt bằng nội điểm cực tọa độ tỏ vẻ có vô số nhiều loại.

Nếu quy định $\rho \ge 0,0 \le \varphi < 2\pi$ ,Như vậy trừ cực điểm ngoại, mặt khác mặt bằng nội điểm có thể dùng duy nhất có số thứ tự đối $(\rho,\varphi)$ Tỏ vẻ, mà cực tọa độ $(\rho,\varphi)$ Tỏ vẻ điểm là duy nhất xác định.

Mặt bằng góc vuông tọa độ hệ cùng cực tọa độ hệ lẫn nhau thay đổi

Đương nhiên, có đôi khi nghiên cứu cực tọa độ hệ hạ đồ hình có chút không có phương tiện. Nếu muốn chuyển tới góc vuông tọa độ hệ hạ nghiên cứu, có lẫn nhau hóa công thức. Điểm $A(\rho,\varphi)$ Góc vuông tọa độCó thể như sau tỏ vẻ:

\begin{aligned} x &= \rho \cos \varphi \\ y &= \rho \sin \varphi \end{aligned}

Tiến tới cũng biết:

\begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \varphi &= \frac{y}{x}\ \ \ \ (x\not =0) \end{aligned}

Vì thế có $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ .

Nhưng có tương đồng $\dfrac{y}{x}$ $\tan\varphi$ Có hai cái khả năng $\varphi$ Giá trị, lúc này còn cần căn cứGiá trị tới xác định phương hướng. Cụ thể mà, định nghĩa hàm số:

\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \text{if } x > 0 \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \text{if } y \ge 0, x < 0 \\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \text{if } y < 0, x < 0 \\ \pi/2 & \text{if } y > 0, x = 0 \\ -\pi/2 & \text{if } y < 0, x = 0 \\ \text{any} & \text{if } y = 0, x = 0 \end{cases}

Tắc $\varphi = \operatorname{atan2}(y, x)$ .Chú ý kể trên hàm số giá trị vực vì $(-\pi, \pi]$ .

Ở C/C++ ngôn ngữ&LTmath.h>Hoặc&LTcmath>Trong kho định nghĩaNên hàm số,Thuyên chuyểnatan2(y, x)Là được.

Không gian góc vuông tọa độ hệ

Sử dụng như sau phương pháp thành lập không gian góc vuông tọa độ hệ:

Ở không gian nội tuyển định một chút;
Quá điểmLàm ba điều cho nhau vuông góc số trục $\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}$ ,Phân biệt gọiTrục ( hoành trục ),Trục ( túng trục ),Trục ( dựng trục ), gọi chung vì trục toạ độ; chúng nó chính phương hướng phù hợp tay phải quy tắc, tức lấy tay phải nắm lấyTrục, đương tay phải bốn cái ngón tayTrục chính hướng lấy góc độ chuyển hướngTrục chính hướng khi, ngón tay cái chỉ hướng chính làTrục chính hướng;
Giả thiết các trục thượng chiều dài đơn vị, thông thường đều thiết vì.

Như vậy liền cấu thành một cái không gian góc vuông tọa độ hệ, xưng là không gian góc vuông tọa độ hệ.Xác định địa điểmXưng là nên tọa độ hệ nguyên điểm.

Tùy ý hai điều trục toạ độ xác định một cái mặt bằng, như vậy nhưng xác định ba cái cho nhau vuông góc mặt bằng, gọi chung vì tọa độ mặt. Trong đóTrục cùngTrục sở xác định tọa độ mặt xưng làMặt, cùng loại mà cóMặt cùngMặt. Ba cái tọa độ mặt đem không gian phân thành tám bộ phận, mỗi một bộ phận xưng là một cái quẻ hạn.

Không gian góc vuông tọa độ hệ hạ vị trí miêu tả

Lấy định không gian góc vuông tọa độ hệSau, liền có thể thành lập không gian điểm cùng tam nguyên tổ chi gian nhất nhất đối ứng quan hệ.

Thiết điểmVì không gian một chút, quá điểmPhân biệt làm vuông góc vớiTrục,Trục cùngTrục mặt bằng. Thiết ba cái mặt bằng cùngTrục,Trục cùngTrục giao điểm theo thứ tự vì,ĐiểmPhân biệt xưng là điểmỞTrục,Trục cùngTrục thượng hình chiếu. Lại thiết điểmỞTrục,Trục cùngTrục thượng tọa độ theo thứ tự vì,Vì thế điểmXác định một cái tam nguyên tổ.

Ngược lại, nếu cấp định một cái tam nguyên tổ,Có thể ởTrục thượng lấy tọa độ vìĐiểm,ỞTrục thượng lấy tọa độ vìĐiểm,ỞTrục thượng lấy tọa độ vìĐiểm,Sau đó điểmPhân biệt làm vuông góc vớiTrục,Trục cùngTrục ba cái mặt bằng, chúng nó tương giao với không gian một chút,ĐiểmChính là từ tam nguyên tổSở xác định điểm.

Cứ như vậy, không gian điểmCùng tam nguyên tổChi gian liền thành lập nhất nhất đối ứng quan hệ. Đem tam nguyên tổXưng là điểmTọa độ, nhớ làm,Trong đóXưng là tọa độ ngang,Xưng là tung độ,Xưng là dựng tọa độ.

Không gian trụ tọa độ hệ

Không gian trụ tọa độ hệ, đem cực tọa độ mở rộng vì 3d phương thức: Từ ứng dụng với mặt bằng công tác trung cực tọa độ hệ bắt đầu, sau đó quá cực điểmTăng thêm vuông góc với nên mặt bằngTrục, phương hướng triều thượng.

Vì tìm được từ trụ tọa độ $(\rho, \varphi, z)$ Sở miêu tả điểm, có thể đầu tiên ở cực tọa độ hệ chỗ nghỉ tạm lý $\rho$ Cùng $\varphi$ ,Sau đó căn cứTọa độ dọc theoTrục “Hướng về phía trước” hoặc “Xuống phía dưới” di động.

Trụ tọa độ hệ cùng không gian góc vuông tọa độ hệ lẫn nhau thay đổi

Hai tọa độ hệ hạGiá trị là tương đồng.

Cùng $(\rho, \varphi)$ Lẫn nhau thay đổi tham kiến câu trênMặt bằng góc vuông tọa độ hệ cùng cực tọa độ hệ lẫn nhau thay đổi.

Không gian cầu tọa độ hệ

Cầu tọa độ có thể thông qua dưới phương pháp xác định:

Đứng ở nguyên điểm, mặt hướng trình độ cực trục phương hướng; vuông góc trục chỉ hướng là từ chân chỉ hướng phần đầu;
Cánh tay hướng về phía trước, chỉ hướng vuông góc cực trục phương hướng;
Nghịch kim đồng hồ xoay tròn góc độ $\varphi$ ;
Đem cánh tay xuống phía dưới xoay tròn góc độ $\vartheta$ ,Cánh tay chỉ hướng $\varphi$ Cùng $\vartheta$ Chỉ định phương hướng;
Dọc theo nên phương hướng từ nguyên điểm lệch vị trí khoảng cách.

Như vậy có thể tới cầu tọa độ $(r,\vartheta,\varphi)$ Sở miêu tả điểm. Trong đó $\vartheta$ Xưng làTrên đỉnh giác, $\varphi$ Xưng làPhương vị giác.

Warning

Bởi vì rất nhiều nguyên nhân, có địa phương sử dụng $\phi$ Tỏ vẻ trên đỉnh giác, dùng $\theta$ Tỏ vẻ phương vị giác. Đọc văn chương gặp được cầu tọa độ hệ khi làm ơn tất chú ý điểm này.

Đồng thời, ở viết văn chương khi, nếu dùng tới rồi cầu tọa độ hệ, kiến nghị trước tiên thanh minh rõ ràng sử dụng cái gì ký hiệu tỏ vẻ trên đỉnh giác cùng phương vị giác.

Trụ tọa độ hệ cùng cầu tọa độ hệ lẫn nhau thay đổi

Hai tọa độ hệ hạ $\varphi$ Giá trị là tương đồng.

Từ trụ tọa độ hệ đến cầu tọa độ hệ:

\begin{aligned} r &= \sqrt{\rho^2 + z^2} \\ \vartheta &= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\rho}{z}\right) & \text{if }z > 0 \\ \pi/2 & \text{if }z = 0, \rho \not= 0 \\ \arctan\left(\frac{\rho}{z}\right) + \pi & \text{if }z < 0 \\ \end{cases} \end{aligned}

Chú ý đối với trụ tọa độ hệ hạ điểm,Này cầu tọa độ $\vartheta$ Không minh xác.

Từ cầu tọa độ hệ đến trụ tọa độ hệ:

\begin{aligned} \rho &= r \sin \vartheta \\ z &= r \cos \vartheta \end{aligned}

Không gian góc vuông tọa độ hệ cùng cầu tọa độ hệ lẫn nhau thay đổi

Có thể kết hợp câu trênMặt bằng góc vuông tọa độ hệ cùng cực tọa độ hệ lẫn nhau thay đổiCùng câu trênTrụ tọa độ hệ cùng cầu tọa độ hệ lẫn nhau thay đổiCùng nhau sử dụng, hoặc trực tiếp sử dụng phía dưới công thức:

Từ không gian góc vuông tọa độ hệ đến cầu tọa độ hệ:

\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \vartheta &= \arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right) \\ \varphi &= \operatorname{atan2}(y, x) \end{aligned}

Trong đó $\operatorname{atan2}$ Định nghĩa thấyMặt bằng góc vuông tọa độ hệ cùng cực tọa độ hệ lẫn nhau thay đổi.

Chú ý đối với mặt bằng góc vuông tọa độ hệ hạ điểm,Này cầu tọa độ $\vartheta$ Cùng $\varphi$ Lấy giá trị không minh xác.

Từ cầu tọa độ hệ đến không gian góc vuông tọa độ hệ:

\begin{aligned} x &= r \sin \vartheta \cos \varphi \\ y &= r \sin \vartheta \sin \varphi \\ z &= r \cos \vartheta \end{aligned}

Bổn giao diện gần nhất đổi mới:2023/9/24 17:56:54,Đổi mới lịch sử
Phát hiện sai lầm? Tưởng cùng nhau hoàn thiện?Ở GitHub thượng biên tập này trang!
Bổn giao diện cống hiến giả:abc1763613206,aofall,CCXXXI,Chrogeek,CoelacanthusHex,Great-designer,HeRaNO,Ir1d,Legendary-Zeraora,Marcythm,megakite,opsiff,Persdre,shuzhouliu,Tiphereth-A,untitledunrevised,yanboishere
Bổn giao diện toàn bộ nội dung ởCC BY-SA 4.0CùngSATAHiệp nghị chi điều khoản hạ cung cấp, phụ gia điều khoản cũng khả năng ứng dụng