Algebra wieloliniowa

Algebra wieloliniowa– dział matematyki, który poszerza metodyalgebry liniowej.Tak, jak algebra liniowa jest zbudowana na idei wektora i rozwija teorie przestrzeni wektorowych, algebra wieloliniowa opiera się na koncepciep-wektorów oraz wielowektorówialgebry Grassmanna.

Początki

Wprzestrzeni wektorowejo wymiarzenrozważa się jedynie wektory. Według Hermanna Grassmanna i innych to założenie pomija kompleksowość rozważań jedno-, dwu- i generalnie wielowektorów. Ponieważ istnieje wiele możliwości kombinatorycznych, przestrzeń wielowektorów okazuje się mieć 2ⁿwymiarów. Abstrakcyjna postać wyznacznika ma najbardziej oczywiste zastosowanie. Algebra wieloliniowa ma również zastosowania w mechanicznym badaniu odpowiedzi materiałów na naprężenie i odkształcenie z różnymi współczynnikami elastyczności. To praktyczne odniesienie doprowadziło do użycia słowatensordo opisywania elementów w przestrzeni wieloliniowej. Dzięki dodatkowej strukturze w przestrzeni wieloliniowej ma ona ważną rolę w różnych badaniach w matematyce wyższej. Chociaż Grassmann rozpoczął temat w roku 1844 ze swoim dziełemAusdehnungslehre,i opublikował je ponownie w 1862, jego praca nieszybko znalazła uznanie, ponieważ zwykła algebra liniowa dostarczała wówczas wystarczająco dużo wyzwań do zrozumienia.

Zagadnienia algebry wieloliniowej są wykorzystywane w badaniachrachunku różniczkowego i całkowegodla wielu zmiennych orazrozmaitości,gdzie pojawia sięmacierz Jacobiego.Rachunek różniczkowy pojedynczej zmiennej staje sięformą różniczkowąw rachunku różniczkowym wielu zmiennych, a operacje na nich są przeprowadzane metodamialgebry zewnętrznej.

Kontynuatorami Grassmana w rozwijaniu algebry wieloliniowej byliVictor Schlegel– opublikował on w 1872 roku pierwsza częśćSystem der Raumlehre– orazElwin Bruno Christoffel.Główny postęp w rozwoju algebry wieloliniowej nadszedł wraz z pracąGregorio Ricciego-CurbastroiTullio Leviego-Civity.Marcel GrossmanniMichele Bessoprzedstawili teorię „absolutnego rachunku różniczkowego” (autorstwa Ricciego)Albertowi Einsteinowi.Praca Einsteina wyjaśniającaprecesjeperyheliumMerkuregoopublikowana w 1915 r. ustanowiła algebrę liniową oraztensoryjako istotne dla fizyki narzędzia matematyczne.

Zastosowanie w topologii algebraicznej

W środku XX stulecia badania tensorów zostały przeformułowane w sposób bardziej abstrakcyjny. Traktat grupyBourbakiMultilinear Algebrabył szczególnie wpływowy – prawdopodobnie z niego pochodzi termin algebra wieloliniowa.

Jednym z powodów rosnącego wówczas zainteresowania algebra wieloliniowa był nowy obszar zastosowania,algebra homologiczna.Rozwójtopologii algebraicznejw latach 40. dał dodatkowy bodziec dla rozwoju czysto algebraicznego potraktowaniailoczynu tensorowego.Obliczaniegrup homologicznychiloczynu dwóch przestrzeni wymaga iloczynu tensorowego; jedynie w najprostszych przypadkach, takich jaktorus,jest ona bezpośrednio obliczana tym sposobem (por.teoria Künnetha). Zjawiska topologiczne były wystarczająco subtelne by wymagać lepszych koncepcji podstawowych – potrzeba było zdefiniowaniafunktorów Tor.

Materiał wymagający opracowania był dość szeroki, włączając idee zapoczątkowane przez Hermanna Grassmanna, koncepcje z teorii form różniczkowych, które doprowadziły do powstaniakompleksu de Rhama,jak również bardziej elementarne koncepcje, jakiloczyn klinowy,który jest uogólnieniemiloczynu wektorowego. Grupa Bourbaki w swoim poważnym omówieniu tematu zupełnie odrzuciła jedno podejście w rachunku wektorowym (drogękwaternionów,to jest przypadek ogólny, relacje zgrupami Liego). Zastosowano zamiast tego nowatorskie podejścieteoriokategoryjne,podejście do grupy Liego postrzegano jako osobny problem. Ponieważ prowadzi to do bardziej jasnego potraktowania zagadnienia, powrót do dawnego podejścia nie jest prawdopodobny. (Ściśle ujmując, powołano się nawłasność uniwersalną;jest ona bardziej ogólna niżteoria kategorii,jednocześnie zinterpretowano relacje między tymi dwoma jako alternatywne podejścia). W rzeczy samej to, co zrobiono, miało na celu dokładne wyjaśnienie, że przestrzenie tensorowe są konstrukcjami wymaganymi do zredukowania problemów wieloliniowych do rzędu problemów liniowych. Za tym czysto algebraicznym podejściem nie idzie żadna geometryczna intuicja.

Poprzez ponowne wyrażenie zagadnień w pojęciach algebry wieloliniowej, istnieje oczywisty i dobrze zdefiniowany „złoty środek”: ograniczenia narzucone przez rozwiązanie są dokładnie tymi potrzebnymi w praktyce. Uogólniając, nie istnieje potrzeba odwoływania się do konstrukcjiad hoc,koncepcji geometrycznych lub uciekania się do układów współrzędnych. Mówiąc żargonem teorii kategorii, wszystko jest całkowicie naturalne.

Wnioski w podejściu abstrakcyjnym

Zasadniczo podejście abstrakcyjne może odnowić dokonania podejścia tradycyjnego. W praktyce nie jest to takie proste. Z drugiej strony pojęcienaturalnościjest spójne z zasadą ogólnejkowariancjiwogólnej teorii względności.Ta druga dotyczypól tensorowych(tensory różniące się od punktu do punktu wrozmaitości), lecz kowariancja utrzymuje, ze nomenklatura tensorów jest istotna dla prawidłowego wyrażeniaogólnej teorii względności.

Kilka dekad później abstrakcyjny pogląd wynikający zteorii kategoriizostał związany z podejściem rozwiniętym w latach 30. przezHermanna Weya(poprzez pracę nad ogólną teorią względności przez abstrakcyjną analizę tensorową). W pewnym sensie teoria zatoczyła pełne koło, łącząc raz jeszcze istotę starych i nowych poglądów.

Zagadnienia algebry wieloliniowej

• przekształcenie dwuliniowe
• wzory Cramera
• przestrzeń podwójna
• notacja Einsteina
• algebra zewnętrzna
• pochodna zewnętrzna
• iloczyn wewnętrzny
• delta Kroneckera
• symbol Leviego-Civity
• tensor metryczny
• tensor mieszany
• mapa wieloliniowa
• algebra symetryczna
• tensor symetryczny
• tensor
• algebra, tensorowa, wolna algebra
• przyciąganie tensorów

Zastosowania

Przykładowe zastosowania koncepcji algebry wieloliniowej:

• klasyczne potraktowanie tensorów
• tensory diadyczne
• notacja bra-ket
• algebra geometryczna
• algebra Clifforda
• pseudoskalar
• pseudowektor
• spinor
• iloczyn zewnętrzny
• liczby hiperzespolone
• uczenie podprzestrzeni wieloliniowych

Bibliografia

• Hermann Grassmann(2000)Extension Theory,American Mathematical Society.Translation by Lloyd Kannenberg of the 1862Ausdehnungslehre.
• Wendell H. Fleming (1965)Functions of Several Variables,Addison-Wesley.

Second edition (1977)SpringerISBN3-540-90206-6.

Chapter:Exterior algebra and differential calculus# 6 in 1st ed, # 7 in 2nd.

• Ronald Shaw (1983) "Multilinear algebra and group representations", volume 2 ofLinear Algebra and Group Representations,Academic PressISBN0-12-639202-1.

Linki zewnętrzne

• Multilinear algebra(ang.),Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].