Funkcja σ

Funkcjaσ(sigma), niekiedy$d(n)$– funkcja określona dlaliczb naturalnychjako suma wszystkich dodatnichdzielnikówdanej liczby.

Przykładowo:$\sigma (6)=1+2+3+6=12.$

Sumę$k$-tych potęg dzielników oznacza się przez$\sigma _{k}(n),$na przykład$\sigma _{0}(n)$to liczba dzielników danej liczby, znana również jakofunkcja τ.

Liczby spełniające równanie$\sigma (n)=2n$nazywa sięliczbami doskonałymi,nierówność$\sigma (n)>2n$nadmiarowymi,a nierówność$\sigma (n)<2n$deficytowymi.

Twierdzenie

Jeśli$n\in \mathbb {N}$ma rozkład naczynniki pierwszepostaci$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{k}^{\alpha _{k}},$to

$\sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{k}^{\alpha _{k}+1}-1}{p_{k}-1}}.$

Dowód

Każdy dzielnik naturalny liczby$n$można przestawić w postaci:

$d=p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},$

gdzie:

$\lambda _{i}\in \mathbb {Z},\ 0\leqslant \lambda _{i}\leqslant \alpha _{i}.$

(1)

Ponieważ różnym układom liczb$\lambda _{1}\dots \lambda _{k}$spełniającym(1)odpowiadają różne dzielniki$n,$więc:

$\sigma (n)=\sum p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},$

(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające(1).

Każdy składnik sumy(2)występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

$\sigma (n)=\left(1+p_{1}^{1}+\ldots +p_{1}^{\alpha _{1}}\right)\left(1+p_{2}^{1}+\ldots +p_{2}^{\alpha _{2}}\right)\dots \left(1+p_{k}^{1}+\ldots +p_{k}^{\alpha _{k}}\right).$

Z kolei$i$-ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumąszeregu geometrycznegoo ilorazie$p_{i},$więc

$1+p_{i}^{1}+\ldots +p_{i}^{\alpha _{i}}={\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.$

Stąd teza.

Bibliografia

• Wacław Sierpiński:Teoria liczb.Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: Monografie Matematyczne (19). [dostęp 2009-01-05].
• Wacław Sierpiński:Arytmetyka teoretyczna.Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria:Biblioteka Matematyczna,tom 7.