Przejdź do zawartości

Geometria

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przykładrozmaitości Calabiego-Yau,używanych m.in. wteorii strun
Istnieje pięćwielościanów foremnych(brył platońskich) – elementarne twierdzenie euklidesowejstereometrii,udowodnione najpóźniej przezTeajteta(IV w. p.n.e.)
Przykładowe pokrycie (tesselacja)płaszczyzny hiperbolicznejza pomocąsiedmiokątówforemnych – użyty tu model todysk Poincarégo

Geometria(gr.γεωμετρία;geo– ziemia,metria– miara[1]) – jedna z głównych dziedzinmatematyki;tradycyjnie i nieformalnie definiowana jako nauka oprzestrzenii jejpodzbiorachzwanychfigurami[1][2].W znaczeniu precyzyjnym i ogólnym jest to nauka badająca dla wybranychprzekształceńichniezmienniki,zwłaszcza inne niżmoc zbioruczyniezmienniki topologiczne[a].W zależności od rodzajuprzestrzenii przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Do XIX wieku geometria badała wyłącznieprzestrzenie euklidesowewymiaru nie większego niżtrzyoraz odpowiadające imprzestrzenie rzutowe.W takich przestrzeniach można zdefiniowaćrelacjejakrównoległośćprostych,współliniowośćpunktów i wielkości jakodległośćczymiara kąta,a przez to zachowujące je przekształcenia – odpowiednioafiniczne,rzutowe,izometrieipodobieństwa.Zależności te opisują geometrieafiniczna,rzutowaieuklidesowa.Ta ostatnia jest też historycznym źródłem innych pojęć jakkrzywai jejdługość,a takżewymiar,pole powierzchni,objętośćczykrzywizna;ich uściślenie wymagało jednak metodtopologiiianalizy,zwłaszczateorii miary.Tę geometrię przestrzeni euklidesowych niskich wymiarów – niezależnie od badanych niezmienników – tradycyjnie dzieli się też naplanimetrięistereometrię.Obie doczekały się własnych poddziedzin jaktrygonometria,geometria sferyczna,wykreślnaczyabsolutna.Geometrię w tym historycznym znaczeniu można uprawiać zarówno w sposóbsyntetyczny(„tradycyjny” ), jak i powstały późniejanalityczny– oparty nawspółrzędnych,zwyklekartezjańskich[1].

Geometria, tak jakarytmetyka,należy do najstarszych nauk i tak jak ona pozostaje wiecznie żywa. Już od swoich początków te dwie dziedziny wchodzą w nieustanne interakcje; oprócz tego geometria przyczyniła się do powstania innych dyscyplin jakalgebra,analiza,teoria grafówczytopologia.Rozwinięta przezEuklidesametodaaksjomatycznabyła wzorcem dla różnych dziedzin, także fundamentalnych jaklogika matematycznaiteoria mnogości.Geometria dostarczyła też problemówprobabilistyce,którą finalnie oparto na pojęciumiaryo geometrycznym rodowodzie. Te obszary „potomne” względem geometrii mocno wpłynęły na nią samą – jej formalizm, metody i zakres badań. Ten ostatni od czasów starożytnych bardzo się poszerzył; najpóźniej w XVII wieku oprócz ściśle rozumianych przestrzeni euklidesowych wprowadzono ich rzutowe odpowiedniki[1],a XIX wiek przyniósł prawdziwą eksplozję tematyki – przez rozważania wyższych wymiarów,geometrii nieuuklidesowychi obejmujących jeprzestrzeni Riemanna[1].Uogólnienia poszły jeszcze dalej, przez pojęciarozmaitościiprzestrzeni metrycznych,wykraczające poza geometrię. Wprowadzono także przestrzenie innego typu – skończone jakpłaszczyzna Fanaczy nawetbezpunktowe.

Geometria jest podstawą różnych naukprzyrodniczychitechnicznych– między innymifizykizastronomią,pograniczachemii fizycznej(krystalografia),geodezjizkartografią,budownictwazarchitekturączyinżynierii mechanicznej.Rola geometrii dosięga też innych dziedzin kultury jaksztuka– zwłaszczasztuki wizualne– czyfilozofia.Matematykzajmujący się geometrią togeometra.Słowo to oznacza również – zwłaszcza historycznie –mierniczegozwiązanego z geodezją, a „geometria” aż do XIX w. była synonimem całej matematyki[potrzebny przypis].Geometromsensu strictowielokrotnie przyznawano najwyższe wyróżnienia dostępne matematykom jakMedal Fieldsa,Nagroda Abelaczy – wręczany naukowcom różnych dyscyplin –Medal Copleya.

Historyczny rozwój

[edytuj|edytuj kod]

Starożytność i średniowiecze

[edytuj|edytuj kod]
Trójkąt egipski– proste narzędzie do odmierzaniakąta prostegodziękiodwrotnemu twierdzeniu Pitagorasa
Obrazek z XV wieku przedstawiający ludzi zajętych geometrią

Geometria – podobnie jak inne działy matematyki – wyewoluowała od badania obiektów znanych z życia codziennego, w jej wypadkukształtów.Zajmowali się nią już starożytni mieszkańcyMezopotamii(III tysiąclecie p.n.e.) iEgiptu(II tysiąclecie p.n.e.)[1].Znali oni podstawowe fakty z tej dziedziny jaktwierdzenie Pitagorasa;już tam geometria dostarczyła tematówteorii liczbjaktrójki pitagorejskie,a także przyczyniła się do prapoczątkówalgebryprzez problemrównań kwadratowych.Wtedy pojawiły się też zgrubne oszacowanialiczby pi(π): 3+1/8 = 3,125 albo (4/3)4≈ 3,16[potrzebny przypis].

Systematyczny i ściślejszy rozwój geometrii, oparty na definicjach i dowodach, nastąpił potem wstarożytnej Grecji.Proces ten trwał prawie tysiąclecie, od okresuklasycznegodo późnegoCesarstwa Rzymskiego.Postępy były wielorakie:

Równolegle rozwijano geometrię wChinach;w III w. n.e.Liu Huiobliczył liczbę pi z dokładnością wyższą niż Archimedes[potrzebny przypis].

XVI i XVII wiek

[edytuj|edytuj kod]

W XVI wiekuAdriaan van Roomenpodał nowe rozwiązanie starożytnegoproblemu Apoloniusza,jednak jego metoda wykraczała pozakonstrukcje klasyczne[potrzebny przypis].To samo stulecie przyniosło też opis nowejkrzywej sferycznej:loksodromy,a takżeodwzorowania walcowego Mercatorawkartografii.

Najpóźniej w XVII wieku spleciono geometrię z algebrą przez narodzinygeometrii analitycznej.Wtedy też – między innymi na potrzeby geometryczne – narodziły się podstawyanalizy,a za niągeometria różniczkowa[1].Nowa dyscyplina doprowadziła do:

XVII wiek to też początki właściwejgeometrii rzutowejdzięki pracomGérarda Desargues’aiBlaise’a Pascala.

XVIII wiek

[edytuj|edytuj kod]
Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku
Katenoida– historycznie pierwsze rozwiązanie przykładowegozagadnienia Plateau

W tamtym stuleciu geometria podążała głównie w kierunkach wyznaczonych wcześniej – rozwijano euklidesową planimetrię i stereometrię, stosując zarówno metody klasyczne (syntetyczne), jak i nowożytne techniki algebry oraz analizy. Przykładowo:

Badania Eulera nadwielościanamidoprowadziły do powstaniateorii grafów,a koncepcje geometryczne zastosowano w algebrze (płaszczyzna zespolona).Johann Heinrich Lambertudowodnił niewymierność liczby pi, co było pierwszym krokiem do wykazania w XIX wieku, żekwadratura kołairektyfikacja okręgunie są możliwemetodami klasycznymi.

XIX wiek

[edytuj|edytuj kod]
Siedmiokątforemny. Ztwierdzenia Gaussa-Wantzelaoraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da sięskonstruować klasycznie.To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnychliczb Fermata(3, 5, 17...)

XIX wiek przyniósł rewolucję – z jednej strony zaczęto rozważać przestrzenie euklidesowe wyższych wymiarów, a z drugiej pojawiły się badaniageometrii nieeuklidesowychjakhiperboliczna(Łobaczewskiego) ieliptyczna.Te dwa kierunki uogólnień połączono przez dużo szersze pojęcierozmaitości Riemanna[1].Doprecyzowanie starych pojęć geometrii, zwłaszczaróżniczkowej,a także klasyfikacja ogromu nowo rozważanych przestrzeni stworzyłytopologię.Pojęcie przestrzeni stało się przez to dużo szersze od pierwotnego znaczenia, abstrakcyjne, obejmujące też np. dowolneprzestrzenie metryczneczyliniowe,a wymiar niektórych z nich sięgnąłnieskończoności.Poszczególnymi rodzajami przestrzeni i ich niektórymi aspektami zajęły się nauki traktowane jako odrębne od geometrii jak topologia czyalgebra liniowa.Przez to geometrię zdefiniowano na nowo, w ramachprogramu erlangeńskiego– właśnie jako teorięniezmienników,zwłaszcza innych niż tetopologiczne[1].Analiza niezmienników jest też podstawą badania innych obiektów matematycznych (np.przestrzenie topologiczneczystruktury algebraiczne), a wśród niezmienników mogą być pojęcia bardzo ogólne i abstrakcyjne jakpunkt stały.

Geometria XIX-wieczna wydała też inne owoce:

XX i XXI wiek

[edytuj|edytuj kod]
Fragment przykładowegoparkietażu Penrose’aw wersji P3, opartej na dwóchrombach

Wiek XX przyniósł jeszcze nowsze, „egzotyczne” obszary badań jakgeometria skończonainieprzemienna.Rozwinięto też wcześniejsze kierunki jakgeometria algebraicznaczyfraktalna[1];geometrię zastosowano również wteorii katastrofitopologii(hipoteza geometryzacyjnaThurstona)[1].

Postępy nastąpiły również na drugim biegunie abstrakcji, w klasycznejplanimetriiwielokątów i innych prostych figur:

Rozwiązano też problemy bliskie geometrii rozumianej klasycznie, choć klasyfikowane inaczej – przykładem jestzagadnienie czterech barww teoriigrafów planarnych.

Od początku XXI wieku udało się między innymi ostatecznie udowodnićpostulat Keplera[potrzebny przypis].Grigorij Perelmanw 2003 roku udowodnił hipotezęThurstona,a przez to wynikającą z niejhipotezę Poincarégow pierwotnym, trójwymiarowym przypadku. Był to tryumf metod geometrycznych w topologii, uważanej za bardziej ogólną i w pewnym sensie bardziej fundamentalną od geometrii[1].Mimo to dalej bez odpowiedzi pozostają niektóre pytania „przyziemne” i „prozaiczne”, zadane elementarnie jak:

Aksjomaty Euklidesa

[edytuj|edytuj kod]

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dziełoEuklidesaElementy(ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji,arytmetykęoraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułamilogikina podstawie przyjętych pojęć pierwotnych iaksjomatów,których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.

Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiegoKartezjuszapracyLa géométrie,(1637), co zapoczątkowało rozwójgeometrii analitycznej.W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to takżePierre de Fermat,który jednak nie opublikował swych wyników.

Geometrie nieeuklidesowe

[edytuj|edytuj kod]

Pięć aksjomatów podanych przez Euklidesa przez dwa tysiąclecia stanowiło podstawę budowy geometrii. Dopiero w drugiej połowie XIX w. stwierdzono, że nie są one wystarczające. W roku 1882 matematyk niemieckiMoritz Paschpodał konieczne uzupełnienia. Pełny zestaw aksjomatówgeometrii euklidesowejwraz z dowodem niesprzeczności tego systemu opublikował w 1899 matematyk niemieckiDavid Hilbert.Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego. Przez wiele wieków próbowano wyprowadzić ten aksjomat z pozostałych aksjomatów podanych przez Euklidesa. Próby te (które, jak dziś wiadomo, nie mogły przynieść sukcesu) przyczyniły się do rozwoju innych teorii, a także do powstania geometrii innych niż euklidesowa.

Geometrie te noszą nazwęgeometrii nieeuklidesowych,a wspólną ich cechą jest to, że nie jest w nich spełniony piąty aksjomat Euklidesa (przykładami mogą tu byćgeometria hiperbolicznaigeometria eliptyczna). Jedna z takich geometrii,geometria Riemanna,została zastosowana przy konstruowaniuogólnej teorii względności[1].Teoria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej bez aksjomatu Euklidesa nazywa sięgeometrią absolutną.W geometrii absolutnej można wprowadzić na przykład odległość punktów i długość odcinka. Do geometrii absolutnej należą te twierdzenia, które są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii, w której prawdziwe jest zaprzeczenie piątego aksjomatu.

Powstanierachunku różniczkowego i całkowegodało początekgeometrii różniczkowej.Podwaliny geometrii różniczkowej stworzył szwajcarski matematyk i fizykLeonhard Euler,a rozwinął ją w znacznym stopniu niemiecki matematyk i fizykCarl Friedrich Gauss.Pod koniec XVIII wieku powstałageometria wykreślnaobejmująca metody graficznego przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Jednocześnie skrystalizowała sięgeometria rzutowa,której pewne twierdzenia (na przykład twierdzenie Desargues’a) znane były już wcześniej. Do dalszego rozwoju geometrii duży wkład wniósł matematyk niemieckiBernhard Riemann,który w 1854 roku dzięki użyciu metod geometrii różniczkowej ogłosił nową teorię. Zaproponował zastąpienie pojęcia płaszczyzny pojęciem powierzchni oraz pojęcia prostej pojęciemlinii geodezyjnej,tj. takiej krzywej, leżącej na powierzchni, której łuk o końcachP,Qjest najkrótszym z leżących na powierzchni łuków o końcachPiQdlaPiQdostatecznie bliskich. Teoriępowierzchni Riemannauogólnia się na wyższe wymiary, co znajduje zastosowanie w fizyce teoretycznej.

Od ogłoszenia przez matematyka niemieckiegoFelixa Kleinaprogramu erlangeńskiego zaczęła się rozwijaćgeometria afiniczna.

Późniejsze kierunki

[edytuj|edytuj kod]
Płaszczyzna Fana– przykład skończonejprzestrzeni rzutowej;każdą z siedmiuprostychzaznaczono innym kolorem

Za pewnego rodzaju uogólnienie geometrii można uważaćtopologię.Coraz większego znaczenia zaczęła nabieraćgeometria algebraiczna.Geometria nie jest jednolitym działem; składa się z wielu różnorodnych dziedzin, w których specjaliści stosują odmienne metody.

Relatywnie nowym działem geometrii są „geometrie skończone”, w których liczba punktów na prostej jest skończona. Najważniejsze przykłady skończonych geometrii afinicznych i rzutowych otrzymuje się korzystając z istnienia ciał skończonych Galois. Inne tego typu geometrie skończone nazywa się egzotycznymi. W ramach klasycznej geometrii wyodrębniła się też geometria zbiorów wypukłych oraz – często uważana za ogólniejszą –geometria kombinatoryczna,zajmująca się na przykład ekonomicznym pokryciem płaszczyzny lub ogólniejn-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (kartezjańskiej) przez równoległe przesunięcia danego zbioru ograniczonego, wypukłego, domkniętego, o niepustym wnętrzu.

Wpływ poza matematykę

[edytuj|edytuj kod]

Fizyka z astronomią

[edytuj|edytuj kod]
Stożek świetlny– podstawa formalizmuteorii względności

Od starożytności rozwijane sąoptyka geometrycznai badaniatrajektoriiciał, w tymmechanika nieba.W tych dziedzinach odkrywano nieoczekiwane zastosowania dla geometrii, np. występowanie figur opisanych dużo wcześniej na potrzeby czysto matematyczne. Przykładowo:

W XX wieku geometria znowu wpłynęła na podstawy mechaniki igrawitacji:

Geometria przysłużyła się nie tylko fizyce fundamentalnej, ale imaterii skondensowanejparkietaż Penrose’aznalazł zastosowanie do opisukwazikryształów.Istnieją całeczasopisma naukowepoświęcone związkom geometrii z fizyką[4].

Inne dyscypliny

[edytuj|edytuj kod]
Jezus Chrystusjako geometra z cyrklem – malowidło z XIII wieku

Geometria algebraiczna,zwłaszczakrzywych eliptycznych,w XX wieku została użyta wkryptologii[potrzebny przypis].

Pojęcia geometryczne i sama natura tej nauki to istotne elementy doktrynpitagorejskichiplatońskich.PrzykładowoPlatonpróbował powiązać klasyczneżywiołyzbryłami platońskimi– istnienie pięciu takich figur miało być racją stojącą za:

Tradycyjnie geometrię zaliczano do siedmiusztuk wyzwolonych,a konkretniej do czterech bardziej zaawansowanych (łac.quadrivium) – jako jednego z rozwinięćarytmetyki.Sposób wykładu geometrii przezEuklidesabył też inspiracją dla niektórychsystemów filozoficznychjak tenBarucha Spinozy.

Niektóre koncepcje geometryczne bywają używane wsztuce,czasem jako jej główny temat. Klasycznym przykładem jest tuzłoty podział,opisany złotą liczbą fi (φ) i powiązany ze „złotymi figurami” jakzłoty trójkąt,trójkąt Keplera,złoty prostokąt,złota spiralaitp. Od starożytności są one używane warchitekturze(Partenon),typografiii innychsztukach plastycznych,a nawetmuzyce[potrzebny przypis].Motywy geometryczne pojawiają się też w klasyce malarstwa (Melancholia IAlbrechta Dürera,Corpus HypercubusSalvadora Dalego). Postępy w geometrii i topologii – np. opisaniepłaszczyzny hiperbolicznejczywstęgi Möbiusa– były też inspiracją dla wielu pracMauritsa Cornelisa Eschera.

Geometria w Polsce

[edytuj|edytuj kod]
Pierwsza książka o geometrii wydana po polsku –Geometria to jest miernicka naukaStanisława Grzepskiego(1566)
Z tym tematem związana jest kategoria:Polscy geometrzy (matematycy).

Od czasównowożytnychPolscy uczeni mieli pewne osiągnięcia w geometrii; w tej epoce pojawiła się też polskojęzyczna literatura na ten temat:

  • W 1566 roku wydano pierwszą książkę popularyzującą geometrię w języku polskim. Była toGeometria, To jest Miernicka Nauka, po Polsku krótko napisana z Greckich i z Łacińskich ksiągautorstwaStanisława Grzepskiego,opublikowana wKrakowie.Był to zarazem pierwszy w Polsce podręcznikgeodezjiorazmiernictwa[5].
  • Na pograniczu stereometrii euklidesowej orazteorii miarysformułowanoparadoks Banacha-Tarskiego.Mówi on, że przy pewnych założeniach wteorii mnogości– jak często używanyaksjomat wyboru– można „podwoić” kulę. Formalnie oznacza to podział na skończoną liczbę części, z których bez deformacji da się złożyć dwie nowe kule, w dodatku tej samej wielkości, co figura wyjściowa.

Oprócz tego:

Znaczący geometrzy

[edytuj|edytuj kod]
zasłużeni dla geometrii – w kolejnych wierszach:

Euklides(IV–III w. p.n.e.),
René Descartes(XVII w.),
Blaise Pascal(XVII w.),
Leonhard Euler(XVIII w.),
C.F. Gauss(XVIII–XIX w.),
Nikołaj Łobaczewski(XIX w.),
Bernhard Riemann(XIX w.),
Benoît Mandelbrot(XX–XXI w.),
Roger Penrose(XX–XXI w.),

William Thurston(XX–XXI w.)
Z tym tematem związana jest kategoria:Geometrzy.
  1. Tymi pierwszymi zajmują siękombinatorykaiteoria mnogości,odpowiednio w przypadku zbiorów skończonych i nieskończonych. Jak sugeruje nazwa, niezmiennikami topologicznymi zajmuje siętopologia.

Przypisy

[edytuj|edytuj kod]
  1. abcdefghijklmnopqGeometria,[w:]Encyklopedia PWN[online],Wydawnictwo Naukowe PWN[dostęp 2021-07-30].
  2. Geometria,[w:]Encyklopedia Popularna PWN,Państwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa 1986,ISBN83-01-01-750-3,s. 233.
  3. PawełStrzelecki,Rzut oka na współczesną matematykę, spotkanie 6: Krzywizna powierzchni i historia zagadnienia Plateau,Instytut Matematyki,Uniwersytet Warszawski,2011, slajd 3.
  4. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytaćJournal of Geometry and Physics(ang.),journals.elsevier.com [dostęp 2022-02-14].
  5. Stanisław Grzepski:Geometria To iest Miernicka Náuká. Po polsku krótko nápisána z Greckich y z Łáćińskich Kśiąg. Teraz nowo wydaná.[w:]Akademicka Biblioteka Cyfrowa AGH[on-line]. Łázarz Andrysowic wybijał w Krakowie 1566. [dostęp 2014-05-10].(pol.).
  6. Eric W.Weisstein,Kochanski’s Approximation,[w:]MathWorld,Wolfram Research(ang.).[dostęp 2022-02-13].

Linki zewnętrzne

[edytuj|edytuj kod]
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne