Geometria

Przykładrozmaitości Calabiego-Yau,używanych m.in. wteorii strun

Istnieje pięćwielościanów foremnych(brył platońskich) – elementarne twierdzenie euklidesowejstereometrii,udowodnione najpóźniej przezTeajteta(IV w. p.n.e.)

Przykładowe pokrycie (tesselacja)płaszczyzny hiperbolicznejza pomocąsiedmiokątówforemnych – użyty tu model todysk Poincarégo

Geometria(gr.γεωμετρία;geo– ziemia,metria– miara) – jedna z głównych dziedzinmatematyki;tradycyjnie i nieformalnie definiowana jako nauka oprzestrzenii jejpodzbiorachzwanychfigurami.W znaczeniu precyzyjnym i ogólnym jest to nauka badająca dla wybranychprzekształceńichniezmienniki,zwłaszcza inne niżmoc zbioruczyniezmienniki topologiczne.W zależności od rodzajuprzestrzenii przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Do XIX wieku geometria badała wyłącznieprzestrzenie euklidesowewymiaru nie większego niżtrzyoraz odpowiadające imprzestrzenie rzutowe.W takich przestrzeniach można zdefiniowaćrelacjejakrównoległośćprostych,współliniowośćpunktów i wielkości jakodległośćczymiara kąta,a przez to zachowujące je przekształcenia – odpowiednioafiniczne,rzutowe,izometrieipodobieństwa.Zależności te opisują geometrieafiniczna,rzutowaieuklidesowa.Ta ostatnia jest też historycznym źródłem innych pojęć jakkrzywai jejdługość,a takżewymiar,pole powierzchni,objętośćczykrzywizna;ich uściślenie wymagało jednak metodtopologiiianalizy,zwłaszczateorii miary.Tę geometrię przestrzeni euklidesowych niskich wymiarów – niezależnie od badanych niezmienników – tradycyjnie dzieli się też naplanimetrięistereometrię.Obie doczekały się własnych poddziedzin jaktrygonometria,geometria sferyczna,wykreślnaczyabsolutna.Geometrię w tym historycznym znaczeniu można uprawiać zarówno w sposóbsyntetyczny(„tradycyjny” ), jak i powstały późniejanalityczny– oparty nawspółrzędnych,zwyklekartezjańskich.

Geometria, tak jakarytmetyka,należy do najstarszych nauk i tak jak ona pozostaje wiecznie żywa. Już od swoich początków te dwie dziedziny wchodzą w nieustanne interakcje; oprócz tego geometria przyczyniła się do powstania innych dyscyplin jakalgebra,analiza,teoria grafówczytopologia.Rozwinięta przezEuklidesametodaaksjomatycznabyła wzorcem dla różnych dziedzin, także fundamentalnych jaklogika matematycznaiteoria mnogości.Geometria dostarczyła też problemówprobabilistyce,którą finalnie oparto na pojęciumiaryo geometrycznym rodowodzie. Te obszary „potomne” względem geometrii mocno wpłynęły na nią samą – jej formalizm, metody i zakres badań. Ten ostatni od czasów starożytnych bardzo się poszerzył; najpóźniej w XVII wieku oprócz ściśle rozumianych przestrzeni euklidesowych wprowadzono ich rzutowe odpowiedniki,a XIX wiek przyniósł prawdziwą eksplozję tematyki – przez rozważania wyższych wymiarów,geometrii nieuuklidesowychi obejmujących jeprzestrzeni Riemanna.Uogólnienia poszły jeszcze dalej, przez pojęciarozmaitościiprzestrzeni metrycznych,wykraczające poza geometrię. Wprowadzono także przestrzenie innego typu – skończone jakpłaszczyzna Fanaczy nawetbezpunktowe.

Geometria jest podstawą różnych naukprzyrodniczychitechnicznych– między innymifizykizastronomią,pograniczachemii fizycznej(krystalografia),geodezjizkartografią,budownictwazarchitekturączyinżynierii mechanicznej.Rola geometrii dosięga też innych dziedzin kultury jaksztuka– zwłaszczasztuki wizualne– czyfilozofia.Matematykzajmujący się geometrią togeometra.Słowo to oznacza również – zwłaszcza historycznie –mierniczegozwiązanego z geodezją, a „geometria” aż do XIX w. była synonimem całej matematyki.Geometromsensu strictowielokrotnie przyznawano najwyższe wyróżnienia dostępne matematykom jakMedal Fieldsa,Nagroda Abelaczy – wręczany naukowcom różnych dyscyplin –Medal Copleya.

Historyczny rozwój

Starożytność i średniowiecze

Trójkąt egipski– proste narzędzie do odmierzaniakąta prostegodziękiodwrotnemu twierdzeniu Pitagorasa

Obrazek z XV wieku przedstawiający ludzi zajętych geometrią

Geometria – podobnie jak inne działy matematyki – wyewoluowała od badania obiektów znanych z życia codziennego, w jej wypadkukształtów.Zajmowali się nią już starożytni mieszkańcyMezopotamii(III tysiąclecie p.n.e.) iEgiptu(II tysiąclecie p.n.e.).Znali oni podstawowe fakty z tej dziedziny jaktwierdzenie Pitagorasa;już tam geometria dostarczyła tematówteorii liczbjaktrójki pitagorejskie,a także przyczyniła się do prapoczątkówalgebryprzez problemrównań kwadratowych.Wtedy pojawiły się też zgrubne oszacowanialiczby pi(π): 3+1/8 = 3,125 albo (4/3)⁴≈ 3,16.

Systematyczny i ściślejszy rozwój geometrii, oparty na definicjach i dowodach, nastąpił potem wstarożytnej Grecji.Proces ten trwał prawie tysiąclecie, od okresuklasycznegodo późnegoCesarstwa Rzymskiego.Postępy były wielorakie:

• najpóźniej wtedy geometria wpłynęła na fundamenty i obszar badań arytmetyki, za sprawą opisanialiczb niewymiernychprzezpitagorejczyków.Wymusiły one uściślenie ogólnego pojęcia wielkości liczbowej, czyli – mówiąc nowożytnym językiem –liczby rzeczywistej.Doprowadziło to też do pytań o wymierność różnychstałychjakpierwiastkiliczbnaturalnych,innepierwiastnikiczy liczba pi (π);
• w tamtym okresie rozbudowano również wiedzę okonstrukcjach klasycznych,tj. rysowaniu pewnych figur za pomocącyrklailinijki.Niektóre z postawionych tam problemów czekały na rozwiązanie aż do XIX wieku, kiedy zrobiono to metodami algebry i teorii liczb; za to postawiony wtedyproblem Apoloniuszadoczekał się licznych rozwiązań i analiz w nowożytności;
• między innymi na potrzeby tej dziedziny opisano wielekrzywych.Okrąg uogólniono na innestożkowei rozważano takżekonchoidy;
• dziełoEuklidesapozwoliło też jasno określić sam przedmiot geometrii. Stała się onateorią formalną(systememdedukcyjnym), aprzestrzeń euklidesowąmożna zdefiniować właśnie jako jej przedmiot – w oderwaniu od fizyki, intuicji czy późniejszych definicji konstrukcyjnych;
• Archimedesantycypował nowożytnąanalizęprzez obliczanie różnychmiar–długości,pól powierzchniiobjętości– dla obiektów innych niżwielokątyczywielościany.Istotne postępy w tej dziedzinie zrobił teżPappus z Aleksandrii,a jego wyniki nazwano potemtwierdzeniem Pappusa-Guldina;
• matematyka starogrecka to też początkigeometrii sferycznejoraztrygonometrii,nazwanej tak w nowożytności.

Równolegle rozwijano geometrię wChinach;w III w. n.e.Liu Huiobliczył liczbę pi z dokładnością wyższą niż Archimedes.

XVI i XVII wiek

W XVI wiekuAdriaan van Roomenpodał nowe rozwiązanie starożytnegoproblemu Apoloniusza,jednak jego metoda wykraczała pozakonstrukcje klasyczne.To samo stulecie przyniosło też opis nowejkrzywej sferycznej:loksodromy,a takżeodwzorowania walcowego Mercatorawkartografii.

Najpóźniej w XVII wieku spleciono geometrię z algebrą przez narodzinygeometrii analitycznej.Wtedy też – między innymi na potrzeby geometryczne – narodziły się podstawyanalizy,a za niągeometria różniczkowa.Nowa dyscyplina doprowadziła do:

• geometrycznychparadoksówjakróg Gabriela(trąbka Torricellego);
• postępów wtrygonometrii– wyrażeniefunkcji trygonometrycznychprzezszeregi Taylorapomogło w obliczaniu dokładniejszych tablic, a potem także w znajdowaniu tożsamości, np.wzoru Eulera.

XVII wiek to też początki właściwejgeometrii rzutowejdzięki pracomGérarda Desargues’aiBlaise’a Pascala.

XVIII wiek

Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku

Katenoida– historycznie pierwsze rozwiązanie przykładowegozagadnienia Plateau

W tamtym stuleciu geometria podążała głównie w kierunkach wyznaczonych wcześniej – rozwijano euklidesową planimetrię i stereometrię, stosując zarówno metody klasyczne (syntetyczne), jak i nowożytne techniki algebry oraz analizy. Przykładowo:

• William Chappleudowodnił istnienieortocentrumw trójkącie;
• Carl Friedrich Gaussudowodnił konstruowalnośćsiedemnastokąta foremnego;
• opisano dalsze krzywe jakkrzywa Watta;
• dzięki postępom analizyRoger CotesiLeonhard Eulerrozwinęli trygonometrię.Wzór Eulerapozwolił wyrazić funkcje trygonometryczne za pomocą podstawowej funkcjiwykładniczej(eksponensu), co pomogło w znajdowaniu dalszych tożsamości trygonometrycznych;
• Euler rozwiązał też pewne zagadnieniewariacyjnewstereometrii.Udowodnił, żekatenoidaminimalizuje pole powierzchni rozpiętych między dwoma równymi okręgami. Pytania tego typu – dla bardziej ogólnychbrzegów– nazwano potemzagadnieniem Plateau;
• na bazie geometrii rzutowej utworzonogeometrię wykreślną;
• postawiono i rozwiązanoprobabilistycznyproblemigły Buffona.Jego wynik stworzył nową doświadczalną metodę przybliżanialiczby pi(π) – takie obliczenia w XX wieku stały się znane jakometoda Monte Carlo.

Badania Eulera nadwielościanamidoprowadziły do powstaniateorii grafów,a koncepcje geometryczne zastosowano w algebrze (płaszczyzna zespolona).Johann Heinrich Lambertudowodnił niewymierność liczby pi, co było pierwszym krokiem do wykazania w XIX wieku, żekwadratura kołairektyfikacja okręgunie są możliwemetodami klasycznymi.

XIX wiek

Siedmiokątforemny. Ztwierdzenia Gaussa-Wantzelaoraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da sięskonstruować klasycznie.To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnychliczb Fermata(3, 5, 17...)

XIX wiek przyniósł rewolucję – z jednej strony zaczęto rozważać przestrzenie euklidesowe wyższych wymiarów, a z drugiej pojawiły się badaniageometrii nieeuklidesowychjakhiperboliczna(Łobaczewskiego) ieliptyczna.Te dwa kierunki uogólnień połączono przez dużo szersze pojęcierozmaitości Riemanna.Doprecyzowanie starych pojęć geometrii, zwłaszczaróżniczkowej,a także klasyfikacja ogromu nowo rozważanych przestrzeni stworzyłytopologię.Pojęcie przestrzeni stało się przez to dużo szersze od pierwotnego znaczenia, abstrakcyjne, obejmujące też np. dowolneprzestrzenie metryczneczyliniowe,a wymiar niektórych z nich sięgnąłnieskończoności.Poszczególnymi rodzajami przestrzeni i ich niektórymi aspektami zajęły się nauki traktowane jako odrębne od geometrii jak topologia czyalgebra liniowa.Przez to geometrię zdefiniowano na nowo, w ramachprogramu erlangeńskiego– właśnie jako teorięniezmienników,zwłaszcza innych niż tetopologiczne.Analiza niezmienników jest też podstawą badania innych obiektów matematycznych (np.przestrzenie topologiczneczystruktury algebraiczne), a wśród niezmienników mogą być pojęcia bardzo ogólne i abstrakcyjne jakpunkt stały.

Geometria XIX-wieczna wydała też inne owoce:

• udało się rozstrzygnąć starożytne problemy konstrukcji klasycznych. Metodami algebry i teorii liczb udowodniono, że trzy wielkie problemy tego typu –trysekcja kąta,kwadratura kołaipodwojenie sześcianu(problem delijski) – są nierozwiązywalne.Twierdzenie Gaussa-Wantzelapodało też kryterium konstruowalnościwielokątów foremnych,które w szczególności wyklucza klasyczną konstrukcjęsiedmiokątaforemnego. Zagadnienie konstruowalnych wielokątów foremnych zredukowano do poszukiwanialiczb pierwszychwśródliczb Fermata– liczby należące doobydwu zbiorów narazpojawiają się we wzorze na możliwe liczby boków w konstruowalnych wielokątach foremnych;
• David Hilbertuściśliłaksjomatykęgeometrii, co pozwoliło na badanie jej metodamimetamatematycznymi;
• rozwinięto teorięfigur o stałej szerokościjaktrójkąt Reuleaux;m.in. udowodnionotwierdzenie Barbierao obwodzie takich kształtów;
• Hermann Grassmannrozwinął wielowymiarową geometrię analityczną. Był to kamień milowy w rozwojualgebry linioweji krok ku jej ogólnej,abstrakcyjnejpostaci;
• geometria różniczkowa stworzyłarachunek tensorowy,który stał się nową dziedziną algebry (algebra wieloliniowa) i analizy.

XX i XXI wiek

Fragment przykładowegoparkietażu Penrose’aw wersji P3, opartej na dwóchrombach

Wiek XX przyniósł jeszcze nowsze, „egzotyczne” obszary badań jakgeometria skończonainieprzemienna.Rozwinięto też wcześniejsze kierunki jakgeometria algebraicznaczyfraktalna;geometrię zastosowano również wteorii katastrofitopologii(hipoteza geometryzacyjnaThurstona).

Postępy nastąpiły również na drugim biegunie abstrakcji, w klasycznejplanimetriiwielokątów i innych prostych figur:

• rozwinięto teorięparkietażu(tesselacji), m.in. znajdując aperiodyczne zestawy kafelek – zdolne do pokrycia płaszczyzny wyłącznie w sposób nieokresowy. Najprostsze z nich, zwaneparkietażami Penrose’a,składają się z tylko kilku elementów podstawowych;
• udowodnionotwierdzenie Blaschkego-Lebesgue’a–trójkąt Reuleauxwśródfigur o stałej szerokościma najmniejsze pole.

Rozwiązano też problemy bliskie geometrii rozumianej klasycznie, choć klasyfikowane inaczej – przykładem jestzagadnienie czterech barww teoriigrafów planarnych.

Od początku XXI wieku udało się między innymi ostatecznie udowodnićpostulat Keplera.Grigorij Perelmanw 2003 roku udowodnił hipotezęThurstona,a przez to wynikającą z niejhipotezę Poincarégow pierwotnym, trójwymiarowym przypadku. Był to tryumf metod geometrycznych w topologii, uważanej za bardziej ogólną i w pewnym sensie bardziej fundamentalną od geometrii.Mimo to dalej bez odpowiedzi pozostają niektóre pytania „przyziemne” i „prozaiczne”, zadane elementarnie jak:

• planimetrycznyproblem przesunięcia sofy;
• wywodząca się z geometrii, ale bliższa teorii liczb hipotezaprostopadłościanu idealnego(stan na luty 2022).

Aksjomaty Euklidesa

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dziełoEuklidesaElementy(ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji,arytmetykęoraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułamilogikina podstawie przyjętych pojęć pierwotnych iaksjomatów,których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.

Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiegoKartezjuszapracyLa géométrie,(1637), co zapoczątkowało rozwójgeometrii analitycznej.W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to takżePierre de Fermat,który jednak nie opublikował swych wyników.

Geometrie nieeuklidesowe

Pięć aksjomatów podanych przez Euklidesa przez dwa tysiąclecia stanowiło podstawę budowy geometrii. Dopiero w drugiej połowie XIX w. stwierdzono, że nie są one wystarczające. W roku 1882 matematyk niemieckiMoritz Paschpodał konieczne uzupełnienia. Pełny zestaw aksjomatówgeometrii euklidesowejwraz z dowodem niesprzeczności tego systemu opublikował w 1899 matematyk niemieckiDavid Hilbert.Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego. Przez wiele wieków próbowano wyprowadzić ten aksjomat z pozostałych aksjomatów podanych przez Euklidesa. Próby te (które, jak dziś wiadomo, nie mogły przynieść sukcesu) przyczyniły się do rozwoju innych teorii, a także do powstania geometrii innych niż euklidesowa.

Geometrie te noszą nazwęgeometrii nieeuklidesowych,a wspólną ich cechą jest to, że nie jest w nich spełniony piąty aksjomat Euklidesa (przykładami mogą tu byćgeometria hiperbolicznaigeometria eliptyczna). Jedna z takich geometrii,geometria Riemanna,została zastosowana przy konstruowaniuogólnej teorii względności.Teoria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej bez aksjomatu Euklidesa nazywa sięgeometrią absolutną.W geometrii absolutnej można wprowadzić na przykład odległość punktów i długość odcinka. Do geometrii absolutnej należą te twierdzenia, które są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii, w której prawdziwe jest zaprzeczenie piątego aksjomatu.

Powstanierachunku różniczkowego i całkowegodało początekgeometrii różniczkowej.Podwaliny geometrii różniczkowej stworzył szwajcarski matematyk i fizykLeonhard Euler,a rozwinął ją w znacznym stopniu niemiecki matematyk i fizykCarl Friedrich Gauss.Pod koniec XVIII wieku powstałageometria wykreślnaobejmująca metody graficznego przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Jednocześnie skrystalizowała sięgeometria rzutowa,której pewne twierdzenia (na przykład twierdzenie Desargues’a) znane były już wcześniej. Do dalszego rozwoju geometrii duży wkład wniósł matematyk niemieckiBernhard Riemann,który w 1854 roku dzięki użyciu metod geometrii różniczkowej ogłosił nową teorię. Zaproponował zastąpienie pojęcia płaszczyzny pojęciem powierzchni oraz pojęcia prostej pojęciemlinii geodezyjnej,tj. takiej krzywej, leżącej na powierzchni, której łuk o końcachP,Qjest najkrótszym z leżących na powierzchni łuków o końcachPiQdlaPiQdostatecznie bliskich. Teoriępowierzchni Riemannauogólnia się na wyższe wymiary, co znajduje zastosowanie w fizyce teoretycznej.

Od ogłoszenia przez matematyka niemieckiegoFelixa Kleinaprogramu erlangeńskiego zaczęła się rozwijaćgeometria afiniczna.

Późniejsze kierunki

Płaszczyzna Fana– przykład skończonejprzestrzeni rzutowej;każdą z siedmiuprostychzaznaczono innym kolorem

Za pewnego rodzaju uogólnienie geometrii można uważaćtopologię.Coraz większego znaczenia zaczęła nabieraćgeometria algebraiczna.Geometria nie jest jednolitym działem; składa się z wielu różnorodnych dziedzin, w których specjaliści stosują odmienne metody.

Relatywnie nowym działem geometrii są „geometrie skończone”, w których liczba punktów na prostej jest skończona. Najważniejsze przykłady skończonych geometrii afinicznych i rzutowych otrzymuje się korzystając z istnienia ciał skończonych Galois. Inne tego typu geometrie skończone nazywa się egzotycznymi. W ramach klasycznej geometrii wyodrębniła się też geometria zbiorów wypukłych oraz – często uważana za ogólniejszą –geometria kombinatoryczna,zajmująca się na przykład ekonomicznym pokryciem płaszczyzny lub ogólniejn-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (kartezjańskiej) przez równoległe przesunięcia danego zbioru ograniczonego, wypukłego, domkniętego, o niepustym wnętrzu.

Wpływ poza matematykę

Fizyka z astronomią

Stożek świetlny– podstawa formalizmuteorii względności

Od starożytności rozwijane sąoptyka geometrycznai badaniatrajektoriiciał, w tymmechanika nieba.W tych dziedzinach odkrywano nieoczekiwane zastosowania dla geometrii, np. występowanie figur opisanych dużo wcześniej na potrzeby czysto matematyczne. Przykładowo:

• w XVII wiekuJohannes Keplerzaobserwował, żeelipsabadana przezApoloniusza z Pergijest dokładniejszym modelem orbityMarsaniż używane dotądokręgizepicyklami– będące podstawą zarówno teoriiPtolemeusza,jak i tejKopernika.Wyjaśnienie eliptycznych orbit planet doprowadziło do sformułowaniaprawa powszechnego ciążeniaprzezIsaaca Newtona;
• w tym samym stuleciu postawiono teżmechaniczneproblemytautochronyorazbrachistochrony;jak się okazało – oba rozwiązuje rozważana już wcześniejcykloida.

W XX wieku geometria znowu wpłynęła na podstawy mechaniki igrawitacji:

• kilka lat po ogłoszeniuszczególnej teorii względnościprzezAlberta Einsteinasformułowano ją w języku pseudoeuklidesowejczasoprzestrzeni Minkowskiego.Pozwoliło to Einsteinowi na stworzenie nowej teorii ciążenia –ogólnej teorii względności,opartej na szerszej klasierozmaitości pseudoriemannowskich;

• geometria różniczkowadostarczyła potem dalszychteorii pola,a także zmieniła perspektywę na wcześniejsze teorie, m.in. dzięki formalizmowiprzestrzeni fazowychczywiązek włóknistych;

• wysunięto też hipotezy, żeczasoprzestrzeńma więcej niż cztery wymiary (teoria Kaluzy-Kleina,supergrawitacja,teoria strun); był to bodziec do rozwoju geometrii i topologii w takich obszarach.

Geometria przysłużyła się nie tylko fizyce fundamentalnej, ale imaterii skondensowanej–parkietaż Penrose’aznalazł zastosowanie do opisukwazikryształów.Istnieją całeczasopisma naukowepoświęcone związkom geometrii z fizyką.

Inne dyscypliny

Jezus Chrystusjako geometra z cyrklem – malowidło z XIII wieku

Geometria algebraiczna,zwłaszczakrzywych eliptycznych,w XX wieku została użyta wkryptologii.

Pojęcia geometryczne i sama natura tej nauki to istotne elementy doktrynpitagorejskichiplatońskich.PrzykładowoPlatonpróbował powiązać klasyczneżywiołyzbryłami platońskimi– istnienie pięciu takich figur miało być racją stojącą za:

• czterema klasycznymi substancjamiEmpedoklesa(ogień, powietrze, woda i ziemia);
• hipotetycznąkwitensencjątworzącą świat niebiański.

Tradycyjnie geometrię zaliczano do siedmiusztuk wyzwolonych,a konkretniej do czterech bardziej zaawansowanych (łac.quadrivium) – jako jednego z rozwinięćarytmetyki.Sposób wykładu geometrii przezEuklidesabył też inspiracją dla niektórychsystemów filozoficznychjak tenBarucha Spinozy.

Niektóre koncepcje geometryczne bywają używane wsztuce,czasem jako jej główny temat. Klasycznym przykładem jest tuzłoty podział,opisany złotą liczbą fi (φ) i powiązany ze „złotymi figurami” jakzłoty trójkąt,trójkąt Keplera,złoty prostokąt,złota spiralaitp. Od starożytności są one używane warchitekturze(Partenon),typografiii innychsztukach plastycznych,a nawetmuzyce.Motywy geometryczne pojawiają się też w klasyce malarstwa (Melancholia IAlbrechta Dürera,Corpus HypercubusSalvadora Dalego). Postępy w geometrii i topologii – np. opisaniepłaszczyzny hiperbolicznejczywstęgi Möbiusa– były też inspiracją dla wielu pracMauritsa Cornelisa Eschera.

Geometria w Polsce

Pierwsza książka o geometrii wydana po polsku –Geometria to jest miernicka naukaStanisława Grzepskiego(1566)

Od czasównowożytnychPolscy uczeni mieli pewne osiągnięcia w geometrii; w tej epoce pojawiła się też polskojęzyczna literatura na ten temat:

• Mikołaj Kopernikna potrzeby astronomii udowodniłtwierdzenie nazwane od jego nazwiska,związane z ruchemokręgów.Kopernik nie był jednak pierwszy – wcześniej opisywali jeProklos(V w.) iNasir ad-Din Tusi(XIII w.).

• W 1566 roku wydano pierwszą książkę popularyzującą geometrię w języku polskim. Była toGeometria, To jest Miernicka Nauka, po Polsku krótko napisana z Greckich i z Łacińskich ksiągautorstwaStanisława Grzepskiego,opublikowana wKrakowie.Był to zarazem pierwszy w Polsce podręcznikgeodezjiorazmiernictwa.

• W XVII wiekuAdam Adamandy Kochańskipodał przybliżoną metodęrektyfikacji okręgu,zwanąkonstrukcją Kochańskiego.Opiera się ona na skonstruowaniu odpowiedniegopierwiastnika:liczby${\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3{,}14153\dots \approx \pi$.

• Pewien wkład do geometriifraktalnejmiałWacław Sierpiński.Upamiętniają go nazwy kilku figur jakdywan Sierpińskiego,trójkąt Sierpińskiegoczypiramida Sierpińskiego.

• Na pograniczu stereometrii euklidesowej orazteorii miarysformułowanoparadoks Banacha-Tarskiego.Mówi on, że przy pewnych założeniach wteorii mnogości– jak często używanyaksjomat wyboru– można „podwoić” kulę. Formalnie oznacza to podział na skończoną liczbę części, z których bez deformacji da się złożyć dwie nowe kule, w dodatku tej samej wielkości, co figura wyjściowa.

Oprócz tego:

• geometrią wykreślnązajmował się polski premierKazimierz Bartel,który wykładał ją naPolitechnice Lwowskiej;
• geometrię różniczkowąbadali m.in.Władysław ŚlebodzińskiiRoman Sikorski;
• Michał Hellerze współpracownikami zastosowałgeometrię nieprzemiennądoteorii względności,zwłaszcza do opisuosobliwości czasoprzestrzennychi dokwantowania grawitacji,w tym dokosmologii kwantowej.

Znaczący geometrzy

zasłużeni dla geometrii – w kolejnych wierszach:

Euklides(IV–III w. p.n.e.),
René Descartes(XVII w.),
Blaise Pascal(XVII w.),
Leonhard Euler(XVIII w.),
C.F. Gauss(XVIII–XIX w.),
Nikołaj Łobaczewski(XIX w.),
Bernhard Riemann(XIX w.),
Benoît Mandelbrot(XX–XXI w.),
Roger Penrose(XX–XXI w.),

William Thurston(XX–XXI w.)

• Tales z Miletu(VII–VI w. p.n.e.)
• PitagoraszSamos(VI w. p.n.e.)
• Teajtet(IV w. p.n.e.)
• Euklidesz Aleksandrii (IV–III w. p.n.e.)
• Apoloniusz z Pergi(III w. p.n.e.)
• Archimedesz Syrakuz (III w. p.n.e.)
• Heron z Aleksandrii(I w.)
• Pappus z Aleksandrii(III–IV w.)
• René Descartes(1596–1650)
• Bonaventura Cavalieri(1598–1647)
• Gilles de Roberval(1602–1675)
• Vincenzo Viviani(1622–1703)
• Blaise Pascal(1623–1662)
• Leonhard Euler(1707–1783)
• Carl Friedrich Gauss(1777–1855)
• Nikołaj Łobaczewski(1792–1856)
• János Bolyai(1802–1860)
• Pierre Laurent Wantzel(1814–1848)
• Gabriel Lamé(1795–1870)
• Jean Frédéric Frenet(1816–1900)
• Bernhard Riemann(1826–1866)
• Elwin Bruno Christoffel(1829–1900)
• Eugenio Beltrami(1835–1900)
• Gregorio Ricci-Curbastro(1853–1925)
• Hermann Minkowski(1864–1909)
• Tullio Levi-Civita(1873–1941)
• Marcel Grossmann(1878–1936)
• Oswald Veblen(1880–1960)
• Kazimierz Bartel(1882–1941)
• Władysław Ślebodziński(1884–1972)
• Benoît Mandelbrot(1924–2010)
• Michael Atiyah(1929–2019)
• Roger Penrose(1931–)
• Michaił Gromow(1943–)
• William Thurston(1946–2012)
• Alain Connes(1947–)

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Michał Heller,Geometria,kanałCentrum Nauki Kopernik w WarszawienaYouTube,30 października 2015 [dostęp 2022-02-12].
• Jan Zydler,Geometria(podręcznik), wiw.pl [dostęp 2022-02-12].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W.,Geometry,[w:]MathWorld,Wolfram Research(ang.).[dostęp 2023-06-01].
• Geometry(ang.),Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].
• RobertoR.TorettiRobertoR.,Nineteenth Century Geometry,[w:]Stanford Encyclopedia of Philosophy,CSLI,Stanford University,20 października 2016,ISSN1095-5054[dostęp 2018-08-07](ang.).(Geometria XIX wieku)
• Geometry, philosophical issues in(ang.),Routledge Encyclopedia of Philosophy,rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].