Gradient (matematyka)

Na powyższych obrazkach pole skalarne funkcji „ciemny”, wektory przedstawiają pole będące gradientem „ciemny”.

Gradient–pole wektorowewskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danegopola skalarnegow poszczególnych punktach,przy czym moduł („długość” ) każdego wektora jest równy szybkości wzrostu pola skalarnego w kierunku największego wzrostu.

Gradientem nazywa się również pojedynczywektorwskazujący kierunek i szybkość wzrostu wspomnianego pola skalarnego w danym punkcie;wektor przeciwnydo gradientu (oraz odpowiadające mu przeciwne do gradientowego pole wektorowe) nazywa się częstoantygradientem.Wyrażenie „zgodnie z gradientem” należy rozumieć jako „zgodnie z kierunkiem najszybszego wzrostu”.

Gradient to wreszcie nazwaoperatora różniczkowegoprzekształcającego pole skalarne w opisane wyżej pole wektorowe (w powyższych znaczeniach gradient jestobrazemwspomnianego operatora, odpowiednio całej dziedziny i pojedynczegopunktu). Uogólnieniem gradientu na funkcjeprzestrzeni euklidesowejw inną jestmacierz Jacobiego.Jest onamacierzą przekształcenia liniowegoznanego jakopochodna zupełna,dlatego za dalej idące uogólnienia (na funkcje międzyprzestrzeniami Banacha) można uważaćpochodną Gâteaux,a przy dodatkowych założeniach:pochodną Frécheta.

Intuicja

Intuicyjnie gradient jestwektorem,któregozwrotwskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartościfunkcji,a któregodługość(„moduł” ) odpowiada wzrostowi wartości tej funkcji na jednostkę długości.

Wprowadzenie

Przykładem może być pokój, w którym temperatura opisana jest polem skalarnym$T.$Tak więc w każdym punkcie$(x,y,z)$temperatura wynosi$T(x,y,z)$(zakładamy, że nie zmienia się ona w czasie). Wówczas w każdym punkcie pokoju gradient$T$w tym punkcie pokazuje kierunek (wraz ze zwrotem), w którym temperatura rośnie najszybciej. Moduł gradientu wskazuje jak szybko rośnie temperatura w tym kierunku.

Innym przykładem może być powierzchnia ze wzgórzem, dla której$H(x,y)$oznacza wysokość nad poziomem morza w punkcie$(x,y).$Gradientem$H$w punkcie$(x,y)$jest wektor wskazujący kierunek największegopochyleniaw tym punkcie. Miara tego pochylenia jest dana jako moduł wektora gradientu.

Dziękiiloczynowi skalarnemugradient można wykorzystać do mierzenia nie tylko tego, jak pole skalarne zmienia się w kierunku największej zmiany, lecz także w innych kierunkach. Niech w przykładzie ze wzgórzem największe pochylenie zbocza wynosi 40%. Jeśli droga biegnie prosto pod górę, to największe pochylenie drogi również będzie wynosić 40%. Jeśli jednak droga biegnie wokół wzgórza pod pewnym kątem (względem wektora gradientu), to będzie miała mniejsze nachylenie. Przykładowo jeśli kąt między drogą a kierunkiem w górę, rzutowany na płaszczyznę poziomą, wynosi 60°, to największe nachylenie wzdłuż drogi będzie wynosić 20%, co jest równe 40% razycosinus60°.

Ta obserwacja może być wyrażona matematycznie w następujący sposób. Jeśli funkcja wysokości terenu$H$jestróżniczkowalna,to gradient funkcji$H$pomnożony skalarnieprzezwektor jednostkowydaje pochylenie terenu w kierunku tego wektora. Dokładniej, jeśli$H$jest różniczkowalna, to iloczyn skalarny gradientu$H$przez dany wektor jednostkowy jest równypochodnej kierunkowej$H$w kierunku tego wektora jednostkowego.

Podobnie obrazuje się zmianę innychwielkości fizycznychtakich jak:stężenie,współczynnik pH,gęstości ładunku elektrycznego,jasność, kolor itp. w określonej przestrzeni.

Definicja

Gradient funkcji$f(x,y)=-(\cos ^{2}x+\cos ^{2}y)^{2}$przedstawiony jako pole wektorowe na dolnej płaszczyźnie.

Gradient(lub gradientowe pole wektorowe) funkcji skalarnej$f(x_{1},\dots,x_{n})$oznaczany$\nabla f,$gdzie$\nabla$(nabla) to wektorowyoperator różniczkowynazywanynabla.Innym oznaczeniem gradientu$f$jest$\operatorname {grad} \;f.$

W układzie współrzędnych kartezjańskich gradient jest wektorem, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi funkcji$f.$Gradient definiuje się jako pewnepole wektorowe.W układziewspółrzędnych kartezjańskichskładowe gradientu funkcji$f$sąpochodnymi cząstkowymitej funkcji, tzn.

$\nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right].$

Gradient jestwektorem kolumnowym,jednak bywa zapisywany jakowektor wierszowy.Jeżeli funkcja zależy także od parametru takiego jak czas, to zwykle gradient oznacza wtedy wektor jej pochodnych przestrzennych.

Gradient funkcji wektorowej$\mathrm {f} =(f_{1},f_{2},f_{3})$to

$\nabla \mathrm {f} ={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}$

lub teżtranspozycjamacierzy Jacobiego

${\frac {\partial (f_{1},f_{2},f_{3})}{\partial (x_{1},x_{2},x_{3})}}.$

Jest totensordrugiego rzędu.

Ogólniej gradient może być zdefiniowany za pomocąpochodnej zewnętrznej:

$\nabla \mathrm {f} =(\operatorname {d} \mathrm {f} )^{\sharp }.$

Symbole$\flat$oraz$\sharp$oznaczają tutajizomorfizmy muzyczne.

Postać w trójwymiarowej przestrzeni współrzędnych

Postać gradientu zależy od użytegoukładu współrzędnychi wymiaru przestrzeni. Np. w przestrzeni trójwymiarowej gradient wyraża się przez trzy współrzędne następująco:

• współrzędne kartezjańskie

  $\nabla f(x,y,z)=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right],$

• współrzędne walcowe

  $\nabla f(r,\theta,z)=\left[{\frac {\partial f}{\partial r}},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right],$

• współrzędne sferyczne

  $\nabla f(r,\theta,\varphi )=\left[{\frac {\partial f}{\partial r}},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }},{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\right].$

Jeśli oznaczyć przez$\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$wersoryosi układu współrzędnych kartezjańskich, to gradient można zadać jako

${\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}.$

Podobnie jest dla innych układów współrzędnych.

Przykład

Gradientem funkcji

$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin z$

zadanej wewspółrzędnych kartezjańskich$x,y,z$jest wektor

$\nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]=[2,6y,-\cos z].$

Związek z pochodną i różniczką

Przybliżenie liniowe funkcji

Gradientfunkcji$f$przestrzeni euklidesowej$\mathbb {R} ^{n}$w prostą euklidesową$\mathbb {R}$w dowolnym punkcie$\mathrm {x}$należącym do$\mathbb {R} ^{n}$charakteryzuje najlepszeprzybliżenie liniowe$f$w punkcie$\mathrm {p}.$Rozumie się przez to

$f(\mathrm {x} )\approx f(\mathrm {p} )+\nabla f(\mathrm {p} )\cdot (\mathrm {x} -\mathrm {p} )$

dla$\mathrm {x}$bliskiego$\mathrm {p},$gdzie$\nabla f(\mathrm {p} )$oznacza gradient$f$obliczony w punkcie$\mathrm {p},$a kropka toiloczyn skalarnyna$\mathbb {R} ^{n}.$Równanie to jest równoważne dwóm pierwszym wyrazom rozwinięciaszeregu Taylorawielu zmiennych dla$f$w punkcie$\mathrm {p}.$

Różniczka i pochodna (zewnętrzna)

Najlepszym przybliżeniem liniowym funkcji$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$w punkcie$\mathrm {x}$należącym do$\mathbb {R} ^{n}$jestprzekształcenie liniowe$\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$oznaczane często$\operatorname {d} f(\mathrm {x} )$lub$\operatorname {D} f(\mathrm {x} )$i nazywaneróżniczkąbądźpochodną zupełnąfunkcji$f$w punkcie$\mathrm {x}.$Stąd gradient związany jest różniczką następującym wzorem

$\nabla f(\mathrm {x} )\cdot \mathbf {v} =\operatorname {d} f(\mathrm {x} )(\mathbf {v} )$

dla dowolnego$\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}.$Funkcja$\operatorname {d} f,$która przekształca$\mathrm {x}$na$\operatorname {d} f(\mathrm {x} ),$nazywa sięróżniczkąlubpochodną zewnętrzną$f.$Jest to przykład1-formy różniczkowej.

Jeśli postrzegać$\mathbb {R} ^{n}$jako przestrzeńwektorów kolumnowycho$n$składowych rzeczywistych, to$\operatorname {d} f$można uważać za wektor wierszowy

$\operatorname {d} f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right]$

tak, iż$\operatorname {d} f(\mathrm {x} )(\mathbf {v} )$jest dana poprzezmnożenie macierzy.Gradient jest wówczas odpowiadającym mu wektorem kolumnowym, tzn.$\nabla f=(\operatorname {d} f)^{\operatorname {T} }.$

Gradient jako pochodna

Niech$U$będziezbiorem otwartymw$\mathbb {R} ^{n}.$Jeśli funkcja$f\colon U\to \mathbb {R}$jestróżniczkowalna (w sensie Frécheta),to różniczką$f$jest pochodna Frécheta$f.$Stąd$\nabla f$jest funkcją z$U$w$\mathbb {R}$taką, że

$\lim _{\mathbf {u} \to 0}{\frac {|f(\mathrm {x} +\mathbf {u} )-f(\mathrm {x} )-\nabla f(\mathrm {x} )\cdot \mathbf {u} |}{\|\mathbf {u} \|}}=0,$

gdzie$\cdot$oznaczailoczyn skalarny.

Stąd gradient spełnia standardowe własności pochodnej:

Liniowość

Gradient jest liniowy w tym sensie, iż jeżeli$f$i$g$są dwiema funkcjami o wartościach rzeczywistych różniczkowalnymi w punkcie$\mathrm {a} \in \mathbb {R} ^{n},$zaś$\alpha$i$\beta$są dwoma skalarami (stałymi rzeczywistymi), tokombinacja liniowa$\alpha f+\beta g$jest różniczkowalna w$\mathrm {a}$i co więcej:

$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(\mathrm {a} )=\alpha \nabla f(\mathrm {a} )+\beta \nabla g(\mathrm {a} ).$

Reguła iloczynu

Niech$f$i$g$są dwiema funkcjami o wartościach rzeczywistych różniczkowalnymi w punkcie$\mathrm {a} \in \mathbb {R} ^{n},$wówczasreguła iloczynuzapewnia, że iloczyn$(fg)(\mathrm {x} )=f(\mathrm {x} )g(\mathrm {x} )$funkcji$f$i$g$jest różniczkowalny w$\mathrm {a}$oraz

$\nabla (fg)(\mathrm {a} )=f(\mathrm {a} )\nabla g(\mathrm {a} )+g(\mathrm {a} )\nabla f(\mathrm {a} ).$

Reguła łańcuchowa

Niech$f\colon A\to \mathbb {R}$będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na podzbiorze$A$przestrzeni$\mathbb {R} ^{n},$różniczkowalną w punkcie$\mathrm {a}.$Istnieją dwie postacireguły łańcuchowejzwiązanej z gradientem. Wpierw niech$g$oznaczakrzywą parametryczną,tj. funkcję$g\colon I\to \mathbb {R} ^{n}$odwzorowującą podzbiór$I\subseteq \mathbb {R}$w$\mathbb {R} ^{n}.$Jeśli$g$jest różniczkowalna w punkcie$\mathrm {c} \in I$takim, że$g(\mathrm {c} )=\mathrm {a},$to

$(f\circ g)'(\mathrm {c} )=\nabla f(\mathrm {a} )\cdot g'(\mathrm {c} ).$

Ogólniej, jeśli jest$I\subseteq \mathbb {R} ^{k},$to prawdziwa jest równość:

$\mathbf {J} _{\mathrm {f} \circ \mathrm {g} }(\mathrm {c} )={\big (}\mathbf {J} _{\mathrm {g} }(\mathrm {c} ){\big )}^{\operatorname {T} }\nabla f(\mathrm {a} ),$

gdzie$\mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {c} )$oznaczamacierz Jacobiego,zaś$\cdot ^{\operatorname {T} }$oznaczatranspozycję macierzy.

Drugą postać reguły łańcuchowej można przedstawić następująco: niech$h\colon I\to \mathbb {R}$będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na podzbiorze$I$prostej$\mathbb {R},$przy czym$h$jest różniczkowalna w punkcie$c=f(\mathrm {a} )\in I.$Wówczas

$\nabla (h\circ f)(\mathrm {a} )=h'(c)\nabla f(\mathrm {a} ).$

Własności przekształceń

Choć gradient jest zdefiniowany za pomocą współrzędnych, to jest on kontrawariantny ze względu na przekształcenie współrzędnych za pomocąmacierzy ortogonalnej.Jest to prawda w tym sensie, że jeżeli$\mathbf {A}$jest macierzą ortogonalną, to

$\nabla (f(\mathbf {A} \mathrm {x} ))=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\nabla f(\mathbf {A} \mathrm {x} )=\mathbf {A} ^{-1}\nabla f(\mathbf {A} \mathrm {x} ),$

co wynika z opisanej wyżej reguły łańcuchowej. Wektor zachowujący się w ten sposób nazywa sięwektorem kontrawariantnym,gradient jest zatem szczególnym rodzajemtensora.

Różniczka jest naturalniejsza od gradientu, gdyż jest niezmiennicza na wszystkie przekształcenia współrzędnych (dyfeomorfizmy), podczas gdy gradient jest niezmienniczy tylko na przekztałcenia ortogonalne (ze względu na jawne użycie iloczynu skalarnego w definicji). Z tego powodu często rozmywa się różnicę między tymi dwoma pojęciami korzystając z pojęcia wektorów kowariantnych i kontrawariantnych. Z tego punktu widzenia składowe gradientu przekształcane są kowariantnie przy zmianie współrzędnych, dlatego mówi się o kowariantnym polu wektorowym, podczas gdy składowe pola wektorowego w zwykłym sensie zmieniają się kontrawariantnie. W języku tym gradientjestwięc różniczką, jako że kowariantne pole wektorowe jest tym samym, co1-forma różniczkowa.

Uogólnienie na rozmaitości riemannowskie

Dla dowolnej funkcji gładkiej$f$określonej na rozmaitości riemannowskiej$(M,g),$gradient$f$topole wektorowe$\nabla f$takie, że dla dowolnego pola wektorowego$X$zachodzi

$g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,$tzn.$g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),$

gdzie$g_{x}(\cdot,\cdot )$toiloczyn wewnętrznywektorów stycznych w punkcie$x$wyznaczony przezmetrykę$g,$symbol$(\nabla f)_{x}$oznacza gradient$f$obliczony w punkcie$x,$zaś$\partial _{X}f,$oznaczane czasami$X(f)$jest funkcją, która każdemu punktowi$x\in M$przyporządkowujepochodną kierunkową$f$w kierunku$X$obliczoną w punkcie$x.$

Innymi słowy$(\partial _{X}f)(x),$opisana za pomocąmapy$\varphi$z otwartego podzbioru$M$wpodzbiórotwarty$\mathbb {R} ^{n},$jest dana wzorem:

$\sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Big |}_{\varphi (x)},$

gdzie$X^{j}$oznacza$j$-tą składową$X$w tej mapie.

Tak więc lokalnie gradient przyjmuje postać:

$\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.$

Uogólniając przypadek$M=\mathbb {R} ^{n}$gradient funkcji jest związany zpochodną zewnętrzną,gdyż$(\partial _{X}f)(x)=\operatorname {d} f_{x}(X_{x}),$gdzie$\operatorname {d} f_{x}$to pochodna$f$w punkcie$x.$Dokładniej, gradient$\nabla f$jest polem wektorowym związanym z 1-formą różniczkową$\operatorname {d} f$za pomocąizomorfizmu muzycznego$\sharp =\sharp ^{g}\colon \operatorname {T} ^{*}M\to \operatorname {T} M$(nazywanego „krzyżykiem” ) określonego za pomocą metryki$g.$Związek między pochodną zewnętrzną a gradientem funkcji$\mathbb {R} ^{n}$jest przypadkiem szczególnym powyższego, gdy metryka jest płaską metryką daną za pomocą (euklidesowego)iloczynu skalarnego.

Dalsze własności i zastosowania

Poziomice

Dla funkcji$f$określonej w punkcie$p$można rozważać powierzchnię przez niego przechodzącą, w punktach której funkcja przyjmuje wszędzie tę samą wartość. Powierzchnię taką nazywa się wówczaspowierzchnią poziomicy.

Jeśli pochodne cząstkowe$f$są ciągłe, toiloczyn skalarny$\nabla f(\mathrm {x} )\cdot \mathbf {v}$gradientu w punkcie$x$i wektora$\mathbf {v}$dajepochodną kierunkową$f$w punkcie$\mathrm {x}$wzdłuż$\mathbf {v}.$Wynika stąd, że w tym przypadku gradient$f$jestortogonalnydo poziomic$f.$Przykładowo powierzchnia poziomicy w przestrzeni trójwymiarowej jest określona równaniem postaci$F(x,y,z)=c.$Gradient$F$jest wtedywektorem normalnymdo powierzchni.

Ogólniej, dowolnahiperpowierzchniazanurzonawrozmaitości riemannowskiejmoże być opisana równaniem postaci$F(\mathrm {p} )=0,$gdzie$\operatorname {d} F$nigdzie nie znika. Gradient$F$jest wtedy normalny do tej hiperpowierzchni.

Nauki przyrodnicze

• W niektórych szybko przebiegającychreakcjach chemicznychzachodzących nagranicy fazzachodzi zjawisko gradientowego stężeniasubstratóww objętości. Stwierdzenie to oznacza, że blisko granicy faz, gdzie przebiega właściwa reakcja stężenieproduktówjest najwyższe, zaś czym dalej od tej granicy stężenie to spada. Zjawisko takie zachodzi np. przyelektrolizie.
• W przypadkupolimerówmożliwe jest otrzymywanie tzw.kopolimerówgradientowych, w których na jednym końcu polimeru występuje więcej jednego, a na przeciwległym drugiegomeru.
• Wmeteorologiifragment opisu stanu atmosfery „W niezbyt grubej warstwie –81 m, różnica temperatury wynosiła aż 8,5 °C, tj. średnio ponad jeden stopień na 10 m wysokości. Tak duże ujemne, pionowe gradienty temperatury są rzadkością”.
• W fizyce gradientemenergii potencjalnejjestsiła,apotencjału(np. elektrycznego, grawitacyjnego) jest natężenie tego pola.
• Woptymalizacjiwystępują metody umożliwiające wyznaczenieekstremówfunkcji wielu zmiennych:metoda gradientu prostego,metoda gradientu sprzężonego,metoda najszybszego spadku,metoda Newtona,algorytm Levenberga-Marquardta.

Bibliografia

• Theresa M. Korn, Granino Arthur Korn:Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review.Nowy Jork: Dover Publications, 2000, s. 157–160.ISBN0-486-41147-8.OCLC43864234.
• H.M. Schey:Div, Grad, Curl, and All That.Wyd. II. W. W. Norton, 1992.ISBN0-393-96251-2.OCLC25048561.Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• L.P. Kuptsov:Gradient.Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001.ISBN978-1556080104.(ang.).Brak numerów stron w książce
• Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W.,Gradient,[w:]MathWorld,Wolfram Research(ang.).