Konstrukcja Kochańskiego

Wzorowana na oryginalnym rysunku Kochańskiego zActa Eruditorumilustracja jego przybliżonej rektyfikacji okręgu

Konstrukcja Kochańskiego– przybliżona metodarektyfikacji okręgu,czyliwykreśleniaodcinkao długości równejpołowie obwodudanegookręguzaproponowana w 1685 roku przezpolskiegomatematykaAdama Adamandego Kochańskiego.Pozwala na przybliżone wykreślenie odcinka$\pi$razy dłuższego niż dany odcinek.

Opis konstrukcji

• Kreślimy okrąg o środku wpunkcie$P_{1}$ipromieniu$r.$
• Kreślimyśrednicęokręgu${\overline {P_{2}P_{3}}}.$
• Kreślimystycznądo okręgu w punkcie$P_{2}.$
• Kreślimy okrąg (łuk okręgu) o środku w punkcie$P_{2}$i promieniu$r.$Punkt przecięcia (jeden z dwóch możliwych) oznaczamy jako$P_{4}.$
• Kreślimy okrąg (lubłuk okręgu) o środku w punkcie$P_{4}$i promieniu$r.$Punkt przecięcia okręgów o środkach$P_{2}$i$P_{4}$różny od punktu$P_{1}$oznaczamy jako$P_{5}.$Punkty$P_{1}$i$P_{5}$wyznaczająsymetralną odcinka${\overline {P_{2}P_{4}}}.$
• Punkt przecięcia${\overline {P_{1}P_{5}}}$ze styczną do okręgu w punkcie$P_{2}$oznaczamy jako$P_{6}.$
• Na tej prostej (na stycznej$P_{2}P_{6}$) odkładamy 3-krotnie odcinki długości$r$z punktu$P_{6}$w stronę punktu$P_{2},$uzyskując kolejno punkty$P_{7},$$P_{8},$$P_{9}.$
• Odcinek${\overline {P_{3}P_{9}}}$ma długość w przybliżeniu równą$\pi r$

$|P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.$

Odcinek${\overline {P_{1}P_{5}}}$jest przedłużeniem wysokości trójkąta równobocznego$P_{1}P_{4}P_{2},$co oznacza, że tworzy on kąt 30° z odcinkiem${\overline {P_{2}P_{3}}}$.

Oszacowanie błędu względnego

$\left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}00005\,93148\,847.$

Zatem błąd pojawia się dopiero na piątym miejscu po przecinku. Takie przybliżenie zwykle w praktycznych zastosowaniach jest wystarczające.

Kwadratura koła oparta na konstrukcji Kochańskiego

Na podstawie konstrukcji Kochańskiego możliwa jest również przybliżonakwadratura koła.Ilustruje to poniższy rysunek.