Liczba
![]() |
Ten artykuł od 2021-08 zawiera treści, przy którychbrakuje odnośników do źródeł. |
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/270px-Liczby.svg.png)
Liczba– pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych wmatematyce.Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów[1](liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.
W matematyce określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocąaksjomatówlub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, jakzbiór,czy typy liczb prostsze od konstruowanego.
Zastosowania
[edytuj|edytuj kod]Najprostsze rodzaje liczb, jakliczby naturalneczyrzeczywiste,są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnejjednostki miary(np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jakoidentyfikatory,np.numery telefonów,dróg,PESEL,ISBN.
W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone z poznawanych w szkole podstawowej liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych na takie abstrakcje, jakliczby zespolone,p-adyczne,kwaterniony,czysedeniony.Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach odgrafiki komputerowej[a],przezelektronikę[b],teorię płynów,aż dofizyki kwantowej[c]iteorii względności.Kwaterniony znalazły zastosowanie wgrafice trójwymiarowejdo prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob.współrzędne jednorodne).Liczby p-adyczneznalazły zastosowanie wkryptografii.
Opis intuicyjny
[edytuj|edytuj kod]Poniższe opisy w żadnym wypadku nie są ścisłymi definicjami. Liczby są jednak w matematyce definiowane ściśle, i definicje te są przedstawione wwydzielonym artykule.Poniżej podane są opisy tylko kilku najprostszych zbiorów liczbowych.
Liczby naturalne
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:
- Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy licznościzbioru pustego.
- Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie[2],być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.
Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.
Liczby całkowite
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Liczby ujemneto liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną –100. Liczby naturalnezero orazliczby przeciwnedo naturalnychznane są właśnie jako liczby całkowite.
Liczby wymierne
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Liczby wymierne to intuicyjnieułamkipowstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanejlicznikiem) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwanąmianownikiem), np.Dzielenie przez zerojest operacją niewykonalną.
Ułamekdlareprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości narównych części, a następnie wybraniuspośród nich. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną, np.Dla każdegoułamekjest równyOperację zamianynanazywa sięrozszerzeniem ułamka,odwrotną zaśskróceniem ułamka.
Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna jest dodatnia. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna.
Jeśliorazto ułamek reprezentuje liczbę większą od 1. Jeśli(gdziejest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą
Liczby wymierne sąuporządkowane liniowo(każde dwie liczby wymierne są porównywalne). Jest to porządek gęsty: między dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć inną liczbę (a nawet nieskończenie wiele liczb).
Liczby rzeczywiste
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Już starożytnipitagorejczycyodkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka(takie jak np.czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą[d][3].
Liczby rzeczywiste to liczby wymierne orazliczby niewymierneznajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jakczyπ.Każdej liczbie rzeczywistej odpowiadapunktnaprostej(tzw.oś liczbowa).
Każda liczba rzeczywista jestpunktem skupieniazbioru liczb wymiernych i liczby wymierne sągęstympodzbioremzbioru liczb rzeczywistych.
Liczby zespolone
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Liczby urojoneto liczby, którychkwadratysą niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw.jednostka urojonadla którejŻadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą.
Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np.W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np.). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt napłaszczyźnie(tzw.płaszczyzna zespolona), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie.
Liczby zespolone są szczególnymi przypadkamikwaternionów,tessarinówikokwaternionówdlai
Liczby algebraiczne
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoświelomianuo wymiernych współczynnikach (np.) da w wyniku zero. W szczególności każda liczba wymiernajest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu
Liczby przestępne
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Liczby przestępne to liczby zespolone niebędące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych sąπoraze.
Liczby dualne
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Nilpotentto taki element, że
Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta. Mają one postaćgdzieito liczby rzeczywiste.
Liczby podwójne
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostkiniebędącej liczbą rzeczywistą. Różni się ona od jednostki urojonejw tym, że
Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostkiMają one postaćgdzieito liczby rzeczywiste.
Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dlaLiczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów).
Oznaczenia zbiorów liczbowych
[edytuj|edytuj kod]W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych.
Zbiór Oznaczenie „szkolne” Oznaczenie standardowe Uwagi Liczby naturalne bez zera czasem rzadziej używane oznaczenia: Liczby naturalne z zerem czasem czasem wteorii mnogości Liczby całkowite odniem.Zahlen– liczby Liczby wymierne odniem.Quotient– iloraz[4] Liczby niewymierne czasem Liczby rzeczywiste od ang.real numbers Liczby algebraiczne czasem Liczby zespolone od ang.complex numbers Kwaterniony od ang.Hamilton numbers– liczby Hamiltona Oktoniony znane również jako oktawy Cayleya Sedeniony Liczby p-adyczne
Własności algebraiczne
[edytuj|edytuj kod]Działaniana liczbach, takie jakdodawanie,odejmowanie,mnożenieczydzielenie,można zdefiniować także w zbiorach, które nie mają z liczbami wiele wspólnego, jaksymetriewielościanóww przestrzeni, o ile tylko działania te będą tam miały podobne właściwości, np. będąprzemienne,czyłączne.Struktury algebraiczne,w których działania mają pewne określone właściwości, posiadają walgebrzewłasne nazwy, takie jakgrupa,pierścieńczyciało.
Liczby na ogół definiowane są krok po kroku. Rozpoczyna się od liczb naturalnych, następnie rozszerza ich algebrę na liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone…
Struktury algebraiczneliczb całkowitych i wymiernych rozszerzają kolejno strukturę liczb naturalnych tak, aby najprostszedziałania arytmetycznedawały się w nich wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z wyjątkiemdzielenia przez zero). Działania takie nazywa siędziałaniami wewnętrznymidanego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jestzamknięty ze względu nadanedziałanie.Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę algebraiczną o dalsze interesujące właściwości.
- Dlaliczb naturalnych(z zerem lub bez niego) działaniami wewnętrznymi są np. dodawanie i mnożenie. Dodanie lub pomnożenie przez siebie dwóch liczb naturalnych daje zawsze liczbę naturalną. Dla dodawania i mnożenia można skonstruować działania odwrotne – odejmowanie i dzielenie. Jednak odejmowanie większej liczby od mniejszej nie daje się wykonać w zbiorze liczb naturalnych, odejmowanie nie jest zatem działaniem wewnętrznym tego zbioru. Podobnie jest z dzieleniem.
- Rozszerzenie liczb naturalnych tak, aby odejmowanie było zawsze wykonalne, daje w rezultaciepierścieńliczb całkowitych.Odejmowanie jest już dla nich działaniem wewnętrznym.
- Powiększenie pierścienia liczb całkowitych tak, aby wykonalne było dzielenie dowolnej liczby całkowitej przez dowolną niezerową liczbę całkowitą, prowadzi do tzw.ciałaliczb wymiernych.Jego działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie przez liczbę niezerową.
- Liczby wymierne nie wyczerpują wszystkich możliwości. Jak już wspomniano wcześniej,przekątnakwadratuo boku jednostkowym ma długość nie dającą się wyrazić liczbą wymierną. Równieżpole powierzchnikołaopromieniujednostkowym nie daje się wyrazić taką liczbą. Pole to można jednak z dowolną dokładnością przybliżyć, pokrywając koło siatką przystających kwadratów o bokach będących liczbami wymiernymi i zliczając pola kwadratów mieszczących się w całości w tym kole. Następnie powtarzając tę operację dla coraz mniejszych kwadratów można utworzyćciągliczb wymiernych coraz lepiej przybliżających pole danego koła. Żądanie, aby dowolna skończonagranica ciąguliczb wymiernych dawała się wyrazić liczbowo, prowadzi do rozszerzenia ciała liczb wymiernych do ciałaliczb rzeczywistych.
- Wielomianyw zbiorze liczb rzeczywistych nie zawsze mająpierwiastkirzeczywiste – matematycy mówią, żeciało liczb rzeczywistych nie jestalgebraicznie domknięte.Na przykład równanienie ma w tym zbiorze rozwiązań. Na mocy twierdzenia, iż każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego, zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć tak, aby każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej miał pierwiastek wnowymciele. Powyższa propozycja usprawiedliwia użycie tzw.liczb zespolonych.
- Zbiory liczbowe można rozszerzać w dalszym stopniu otrzymując tzw.liczby hiperzespolone,w tym:kwaterniony,oktawy Cayleyaisedeniony.Zbiory te mają jednak coraz gorsze właściwości algebraiczne: kwaterniony nie tworzą już ciała, ponieważ mnożenie przestaje być przemienne, a w oktawach mnożenie przestaje być nawet łączne. Mimo wszystko liczby te znajdują swoje zastosowania. Więcej na ten temat znajduje się w artykuleaksjomaty i konstrukcje liczb.
Odpowiednie własności działań w podstawowych zbiorach liczbowych zostały ujęte w tabeli (niżej legenda, oznaczenia wprowadzono wyłącznie na potrzeby artykułu):
Zbiór liczbowy Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie Liczby naturalne bez zera Liczby naturalne z zerem Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby rzeczywiste Liczby zespolone
Symbol Własność Definicja Legenda:oznacza opisywane działanie,to dany zbiór liczbowy Zamkniętośćzbioru na działanie. Zamkniętośćzbioru na dzielenie z wyłączeniem dzielenia przez zero. Przemiennośćdziałania Łącznośćdziałania Obustronnyelement neutralnydziałania w tym zbiorze. Wyłącznie prawostronnyelement neutralnydla wszystkich elementów zbioru. Obustronnyelement odwrotnydla wszystkich elementów zbioru. gdziejest elementem neutralnym Obustronnyelement odwrotnydla wszystkich niezerowych elementów zbioru. gdziejest elementem neutralnym
Rodzaje struktur algebraicznych tworzonych przez poszczególne zbiory liczbowe z odpowiednimi działaniami:
- Dodawanie w zbiorze liczb naturalnych bez zera (jako działaniem łącznym i wewnętrznym) jest przykładem tzw.półgrupy.
- W zbiorze liczb naturalnych z zerem istnieje dodatkowo element neutralny dodawania (zero), w związku z czym ten zbiór z dodawaniem stanowi tzw.monoid.
- W zbiorze liczb całkowitych i szerszych, dodawanie jest odwracalne (dla każdego elementuistnieje elementtaki, żeelement ten nazywa sięelementem przeciwnymdoi oznacza przez). Zatem zbiór liczb całkowitych z dodawaniem tworzygrupę przemienną.
- Mnożenie we wszystkich tych zbiorach jest łączne, wewnętrzne i ma dokładnie jeden element neutralny, działanie to jednak nie jest odwracalne (zero nie ma elementu odwrotnego). Tworzy więcmonoid.
- Dodawanie i mnożenie razem tworzą w zbiorze liczb naturalnych tzw.półpierścień
- Zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzydziedzinę całkowitości.
- Począwszy od liczb wymiernych, zbiory z dodawaniem i mnożeniem razem tworzą już ciało – mnożenie z wyłączeniem zera jest odwracalne.
- Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych bez zera z mnożeniem tworzą grupę przemienną.
- Zbiór liczb rzeczywistych tworzyprzestrzeń liniowąnad ciałem liczb wymiernych.
- Ciało liczb rzeczywistych (i każde jego podciało) jestciałem formalnie rzeczywistym,tj. element przeciwny jedynki nie jest sumą kwadratów niezerowych elementów ciała:
- Ciałoliczb rzeczywistych i ciałoliczb rzeczywistych algebraicznych są ciałamirzeczywiście domkniętymi:, tj. są ciałami formalnie rzeczywistymi, które nie posiadają rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem formalnie rzeczywistym.
- Zbiór liczb zespolonych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
- Ciałoliczb zespolonych i ciałoliczb algebraicznych są ciałamialgebraicznie domkniętymi,tzn. każdywielomianstopniaco najmniej pierwszego jednej zmiennej ze współczynnikami walboma pierwiastek w odpowiednym ciele. W szczególności istniejetakie, żeW ciele liczb zespolonych istnieją dokładnie dwie liczby o tej własności oznaczaneoraz
Ścisłe definicje liczb
[edytuj|edytuj kod]- Główny artykuł:
Moce zbiorów liczbowych
[edytuj|edytuj kod]Zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz algebraicznych są równoliczne, czyli mają tę samąmoc;oznacza się ją za pomocąhebrajskiej literyalefz zerem w indeksie (czyt.alef-zero), czyli
Zbiory o mocy nie większej niż(w szczególnościzbiory skończone) nazywane sązbiorami przeliczalnymi.
Zbiory liczb rzeczywistych, zespolonych, kwaternionów, oktonionów, sedenionów oraz liczb p-adycznych mają większą moc[e]–continuum– oznaczaną symbolemKwestia, czy pomiędzy liczbą kardynalnąajest jakakolwiek inna liczba kardynalna (hipoteza continuum), okazała się niemożliwa do wyprowadzenia z pozostałychaksjomatów teorii mnogości.
Liczby kardynalne i opisane dalej liczby porządkowe nie tworzą w ogóle zbiorów. Założenie, że można utworzyć zbiór wszystkich liczb kardynalnych lub porządkowych, prowadzi do sprzeczności (paradoks Buralego-Fortiego).
Systemy liczbowe
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
System liczbowy to zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb. Generalnie systemy liczbowe można podzielić napozycyjneiaddytywne.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/250px-Maya.svg.png)
Pozycyjne systemy liczbowe
[edytuj|edytuj kod]Wpozycyjnych systemach liczbowychten sam symbol (cyfra) ma różną wartość w zależności od pozycji, jaką zawiera w danej liczbie. Na przykład w dziesiętnym zapisie liczby 11, pierwsza jedynka ma wartość 10, a druga 1, ze względu na inną ich pozycję w zapisie liczby.
Przykłady:
- dziesiętny system liczbowy,który jest współcześnie w powszechnym użyciu
- dwójkowy system liczbowy,czyli o podstawie 2, stosowany welektronice cyfrowej,np. wkomputerach.Przyczyną jest prostsza budowa i większa odporność na błędybramek logicznych(elementów z których budowany jestukład cyfrowy) przy mniejszej liczbie możliwych stanów. Ponieważ najmniejsza użyteczna liczba stanów to dwa, więc najtaniej i najprościej zbudować układy cyfrowe oparte na systemie dwójkowym.
- szesnastkowy system liczbowy,w którym liczbom 10 do 15 odpowiadają cyfry oznaczane pierwszymi (małymi lub dużymi) literami alfabetu. Najczęściej używany w informatyce ze względu na oszczędność miejsca przy notowaniu, ponieważ każdybajtmoże być zakodowany dwiema cyframi szesnastkowymi oraz łatwe konwersje do/z systemu dwójkowego – cyfrze szesnastkowej odpowiadają cztery cyfry dwójkowe (z podobnych względów używa się czasemósemkowego systemu liczbowego).
W pozycyjnych systemach liczbowych o podstawiekażda nieujemna liczba rzeczywistamoże być rozwinięta przy pomocy szeregu:
gdzieto cyfry będące liczbami naturalnymi z przedziału od 0 do
Skrótowo liczbę nieujemną zapisuje się jakoW krajach anglosaskich zamiast przecinka zarezerwowanego do oddzielania tysięcy używana jest kropka. Dla liczb ujemnych zapisujemy ichmoduł,dodając z przodu znaknp.[f].Przez analogię dla liczb dodatnich można dodać z przodu znakW księgowości stosuje się też inne notacje, na przykład liczby ujemne ujmuje się w nawiasy.
Liczby rzeczywiste często wymagają nieskończenie wielu cyfr do swego zapisu. Zapis liczb wymiernych zawsze wykazuje okresowość, to znaczy od pewnego momentu ciąg cyfr zaczyna się cyklicznie powtarzać. Liczby naturalne są zapisywane skończoną liczbą cyfr, gdyż wszystkie cyfrydlasą zerami, więc ich zapis można pominąć.
Addytywne systemy liczbowe
[edytuj|edytuj kod]Waddytywnych systemach liczbowychsymbole mają zawsze tę samą wartość, a liczbę uzyskuje się przez ich sumowanie. Tym samym musi ich być odpowiednio więcej. Przykłady:
- rzymski system liczbowy– używany śladowo do dziś, np. do zapisu stulecia.
Reprezentacje liczb w informatyce
[edytuj|edytuj kod]Dane wpamięci komputerai wplikachzapisane są w postaci ciągu tak zwanychbajtów.Każdy bajt składa się z ośmiu cyfr systemu dwójkowego (0 lub 1), zwanychbitami.Pojedynczy bajt może przyjmować jeden zstanów. Powstaje konieczność zakodowania liczb w postaci ciągu bajtów, tak aby komputery mogły je przetwarzać. Można to zrobić na wiele sposobów, jednak w praktyce używanych jest kilka standardów:
Liczby naturalne
[edytuj|edytuj kod]Typobejmujący przedział liczb naturalnych z zerem zwany jest w informatyceliczbami bez znaku(ang.unsigned integers). W informatyce zawsze zalicza się zero do liczb bez znaku i – w odróżnieniu od matematyki – elementyciągu,zwanego tutablicą jednowymiarową,w najpopularniejszychjęzykachnumeruje się konsekwentnie od zera[g].
Liczby naturalne z przedziału 0–255 można po prostu zakodować jako wartość jednego bajta.
Na dwóch bajtach można już zapisać liczby naturalne z przedziału 0–65 535 (mamy do dyspozycjistanów). Każdą taką liczbę można zapisać w postacigdzieorazto wartości tzw.starszego bajtaimłodszego bajta,z przedziału od 0 do 255 każda. Wartości te można zapisać w pamięci na dwa sposoby: albo pierwszy jest starszy bajt, a drugi młodszy (tzw. notacjabig endian), albo odwrotnie (little endian). W procesorach kompatybilnych z architekturąIntela(czyli np. w komputerachPC) stosowana jest notacjalittle endian,a w wielu innych procesorach (np. na większości rozwiązań serwerowych)big endian.Istnieją także procesory, w których kolejność bajtów można zmieniać. Jednak kolejność ta nie ma większego znaczenia, dopóki nie zapiszemy liczby do pliku albo nie prześlemy jej siecią i nie przeniesiemy w ten sposób na komputer stosujący inny standard. Z tego powodu np. maszyny wirtualneJavawykorzystują w plikach formatbig endianniezależnie od procesora.
Na czterech bajtach można zapisać liczby z przedziału od 0 do 4 294 967 295. Analogicznie jak poprzednio, przedstawienie danej liczby w systemie 256-kowym pozycyjnym jakouzyskuje się cztery bajtyKolejność ich zapisu w pamięci, tak jak poprzednio, zależy od procesora – w przypadkulittle endianod bajtadow przypadkubig endian– odwrotnie.
Do niektórych zastosowań konieczne są jeszcze większe liczby naturalne, np. zapisywane na 8 bajtach (w rodzinie języków C oznaczaneunsigned _int64
lubunsigned long long int
).
Istnieją także inne sposoby zapisu liczb naturalnych, bardzo rzadko jednak stosowane. Należy do nichkod BCD(od ang.binary coded decimal), gdzie kolejne cyfry dziesiętne są zapisywane w kolejnych półbajtach (inaczejnibblach,porcjach danych długości 4 bitów). Komplikuje to arytmetykę, ale upraszcza przeliczanie na system dziesiętny, kod BCD jest więc czasem stosowany w licznikach cyfrowych.
Liczby całkowite
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Typ obejmujący przedział liczb całkowitych zwany jest w informatyceliczbami ze znakiem(ang.signed integers).
Stosuje się tu tzw.kod uzupełnień do dwóch(ZU2). Liczbaktóra ma zostać zapisana w postacibajtów jest przekształcana w następujący sposób:
Następnie liczbajest zapisywana jako liczba naturalna. W ten sposób na jednym bajcie można zapisywać liczby z przedziału oddona dwóch oddoi ogólnie nabajtach liczby oddowłącznie.
Istnieją również inne metody zapisu (np.kod uzupełnień do jedności), obecnie jednak nie stosowane.
W celu zapisywania dużych liczb naturalnych lub całkowitych buduje się odpowiednieklasy,np.java.math.BigInteger
w językuJava[5]
Liczby rzeczywiste
[edytuj|edytuj kod]Liczby rzeczywiste mogą być zapisywane jako:
- liczby stałoprzecinkowe,kiedy liczba mnożona jest przez pewną ustaloną z góry stałą, po czymzaokrąglanado najbliższej liczby całkowitej i jako taka zapisywana;
- liczby zmiennoprzecinkowe,gdy stała ta dobierana jest w zależności od kodowanej liczby, co czyni tę metodę bardziej uniwersalną.
Powszechnie stosuje się zmiennoprzecinkowy zapis liczby rzeczywistej w standardzieIEEE 754.Przybliżenie liczby rzeczywistej jest zapisywane w postacigdziejest nazywanyznakiem,–wykładnikiem,a–mantysą.Zero, które można by zakodować na wiele sposobów jest kodowane jako
Znak jest zapisywany jako jeden bit, równy 0 dlai 1 dlaWykładnik jest zapisywany jak każda inna liczba całkowita w kodzie uzupełnień do dwóch. Mantysa jest mnożona przezgdzieto liczba bitów przeznaczona na nią i zapisywana jako liczba naturalna.
Całość zajmuje kolejnych 4, 8 albo 16 bajtów (w zależności od wymaganej precyzji). Ich kolejność umieszczenia w pamięci jest zależna od procesora, identycznie jak w przypadku liczb naturalnych i całkowitych.
Liczby zespolone i kwaterniony
[edytuj|edytuj kod]Niektórejęzyki programowaniaposiadają arytmetykę liczb zespolonych. W nowoczesnych językach zwykle jest to realizowane za pomocą odpowiednich klas, np.Complex
ze standardowej bibliotekiC++.Jedną z przyczyn dawnej popularnościFortranubył fakt, iż język ten jako pierwszy posiadałtypliczb zespolonych.
Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecieDirectX[6],będąc sposobem na użycie tzw.współrzędnych jednorodnychdo opisupunktówmodelowanejprzestrzenitrójwymiarowej(wierzchołkówtrójwymiarowejsceny) wgrafice 3D;podobne typy istnieją również w innych pakietach grafiki trójwymiarowej.
Historia
[edytuj|edytuj kod]- Osobny artykuł:
Zobacz też
[edytuj|edytuj kod]liczby
- Występowanie tekstu„liczba” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
- Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „liczba”
- Występowanie tekstu„liczby” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
- Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „liczby”
Uwagi
[edytuj|edytuj kod]- ↑Np.fraktale.
- ↑Zob.zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych,ponadto stosowane są one również wteorii sygnałów.
- ↑Np.funkcja falowa.
- ↑Zdaniem pitagorejczyków odkrycie to zaprzeczało głoszonej przez nich doskonałości wszelkich liczb – liczby niewymierne uznali za niedoskonałe. Zobacz teżdowód niewymierności pierwiastka z dwóch.
- ↑Co udowodniłGeorg Cantorw 1874; zobacz teżtwierdzenie Cantora.
- ↑Typografia wyróżnia cztery różne znaki: - (dywiz, łącznik), – (półpauza), — (pauza) oraz − (minus), który od półpauzy różni się wyglądem oraz położeniem (zgodnym z innymi znakami matematycznymi).
- ↑Na przykład wC,C++,Java,JavaScript,C#,wasemblerach,PHP(przy wywołaniu funkcji
array
z domyślnymi parametrami),Perl,choć istnieją starsze języki w których numeruje się je od jedynki (wiele dialektówBasica,Fortran), lub zakres numeracji można samodzielnie zdefiniować (Pascal,SAS 4GL,Algol,Ada).
Przypisy
[edytuj|edytuj kod]- ↑Liczba,[w:]Encyklopedia PWN[online], Wydawnictwo Naukowe PWN[dostęp 2021-07-23].
- ↑A history of Zero.[dostęp 2008-04-19]. [zarchiwizowane ztego adresu(2017-08-28)].
- ↑Witold Więsławstwierdza:Pitagorejczycy udowodnili, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, tzn.jest liczbą niewymierną. Byłoby interesujące dowiedzieć się, kto pierwszy tego dowiódł. Zapewne nigdy się już tego nie dowiemy. Jedno jest pewne: Pitagoras pod koniec V w. p.n.e. wiedział, żejest liczbą niewymierną.(Zob.: Więsław, Witold:Matematyka i jej historia,Wydawnictwo NOWIK, Opole 1997,ISBN83-905456-7-5,strona 36.).
- ↑Eric W.Weisstein ,Rational Number,[w:]MathWorld,Wolfram Research[dostęp 2007-04-12](ang.).
- ↑Dokumentacja:https://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/math/BigInteger.html
- ↑Dokumentacja:https://learn.microsoft.com/en-us/previous-versions/ms128741(v=vs.100)
Literatura dodatkowa
[edytuj|edytuj kod]- Jerzy Klukowski, I. Nabiałek:Algebra dla studentów.Wyd. 4.Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,2004.ISBN83-204-3124-7.
- Franciszek Leja:Rachunek różniczkowy i całkowy.Warszawa:Państwowe Wydawnictwo Naukowe,1976.
- Krzysztof Maurin:Analiza – Część I – Elementy.Warszawa: PWN, 1976.
- Helena Musielak, Julian Musielak:Analiza matematyczna.Poznań:Wydawnictwo Naukowe UAM,2000.ISBN83-232-1049-7.
- Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder:Atlas matematyki.Prószyński i S-ka,2003.ISBN83-7469-189-1.
- Jerzy Rutkowski:Algebra abstrakcyjna w zadaniach.Wyd. 5. PWN, 2006.ISBN83-01-14388-6.
- J. Widomski:Ontologia liczby.Kraków: 1996.
Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce:
- Bogdan Miś:Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki.Warszawa:Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,1989.
Linki zewnętrzne
[edytuj|edytuj kod]Numbers(ang.),Routledge Encyclopedia of Philosophy,rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].