Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)

Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Podobieństwo–przekształcenie geometrycznezachowującestosunek odległości punktów.Kształt figur jest zachowany, ale ich wielkości mogą się różnić.

Dwiefigury geometryczne,dla których istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną figurę na drugą, nazywają sięfigurami podobnymi.

Mianempodobieństwookreśla się teżrelację równoważnościmiędzy figurami podobnymi.

Definicja

Podobieństwotoprzekształcenie przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nasiebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów $M,N$ i pewnej liczby $k>0$ zależność:

d(M',N')=k\cdot d(M,N),

gdzie punkty $M',N'$ sąobrazamipunktów odpowiednio $M,N,$ a $d$ – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru $X.$

Liczbę $k$ nazywa sięskaląbądźstosunkiempodobieństwa.

Gdy $k=1,$ podobieństwo jestizometrią.

W szczególności $X$ może byćprostą,płaszczyznąlubprzestrzenią trójwymiarowąze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwemnazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury sąpodobnewtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur $A$ i $B$ oznacza się symbolicznie jako $A\sim B.$

Przykłady

Figurami podobnymi są dowolne dwaodcinki,dwaokręgi,koła,sfery,kule,wielokąty foremneo tej samej liczbie boków,wielościany foremneo tej samej liczbie ścian,parabole.

Własności

Złożeniepodobieństw o skalach $k_{1},k_{2}$ jest podobieństwem o skali $k_{1}k_{2}.$
Przekształcenie odwrotnedo podobieństwa o skali $k$ jest podobieństwem o skali ${\frac {1}{k}}.$
Dowolne podobieństwoprzestrzeni euklidesowejjest złożeniemizometriiijednokładnościo skali równej skali podobieństwa^[1].
Dowolne podobieństwo niebędące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia.