Stan układu

Stan układu– jedno z pojęć w teoriiukładów dynamicznychiteorii sterowania.

Stan układu a wejścia i wyjścia układu

Pytając o stan danego układu (obiektu), żąda się ścisłej informacji ilościowej, umożliwiającej określenie co dzieje się z układem w danej chwili (nawet jeśli nie jest on poddany żadnym oddziaływaniom zewnętrznym) i jak może się on zachowywać w najbliższej przyszłości. Stan charakteryzuje układ odznaczający się pewnego rodzaju pamięcią, tzn. stan zawiera informację zakumulowaną z całej przeszłości układu, aż do danej chwili, i nie może ulegać nagłym, skokowym zmianom. W wypadku większości układów (poza najprostszymi)wyjście układu$y$w chwili$t_{n}$zależy nie tylko odwejścia układu$u$w chwili$t_{n},$ale także od przeszłychwejść układu(we wszystkich chwilach$t_{i},$gdzie$t_{i}<t_{n}$). Całkowity wpływ na układ minionych wartościwejśćjest reprezentowany przez pojęciestanu wewnętrznego układu.Dzięki wprowadzeniu tego pojęcia upraszcza się analizę układu, bowiem by wyznaczyć wyjście układu$y$w chwili$t_{n}$wystarczy znać tylko dwie wielkości: wejścia układu$u$w chwili bieżącej oraz stan układu$x$w tej samej chwili.

Zmienne stanu

Stan układu jest jegozmienną wewnętrzną,gdyż można go określić tylko pośrednio.Zmienne stanusą związane z istnieniem elementów magazynujących (na przykład energię potencjalną czy kinetyczną, jaksprężynaalbokondensator), więc ich liczba jest równa liczbieniezależnychelementów magazynujących. Elementy te zachowują się jakelementy całkujące (integratory).W ciągłych układach sterowania integratory służą jako urządzenia zapamiętujące, dlatego ich sygnały wyjściowe mogą być rozważane jako zmienne, które definiują wewnętrzny stan układu.

Wukładach dynamicznychmożna wyróżnić przynajmniej jedną zmienną stanu, natomiast wukładach statycznychnie można określić ani jednej zmiennej stanu, ponieważ nie posiadają one elementów magazynujących, a jedynie elementy rozpraszające energię. Układy dynamiczne o nieskończonej liczbie zmiennych stanu nazywa sięukładami o parametrach rozłożonych.

Wybórzmiennych stanujest w gruncie rzeczy arbitralny. Zbiór zmiennych stanu opisującyukład liniowynie ma charakteru unikalnego – można wybrać inne zmienne i znaleźć transformację, która tak powstały zbiór łączy z poprzednim zbiorem (zobacz też:niejednoznaczność opisu równaniami stanu). Każdy taki zbiór będzie składał się ze składnikówliniowo niezależnych(zmienne stanu$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$sąliniowo niezależne,jeśli równanie$k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\ldots k_{j}x_{j}+\ldots +k_{n}x_{n}=0$spełnione jest dla wszystkich$x_{j}$tylko, gdy każdy współczynnik$k_{j}=0$).

Wektor stanu i przestrzeń stanów

Pojęciewektora stanujest uogólnieniem w stosunku do pojedynczej zmiennej stanu. Jeśli układ jest opisany tylko jednązmienną stanu,to jej wartości są reprezentowane przez liczbyskalarne(rzeczywiste). W przypadku większej liczby zmiennych stanu nie można określić konkretnego stanu za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą zbioru liczb reprezentujących wartości poszczególnych zmiennych. Można to interpretować w taki sposób, że stan ma senswektoraokreślonego wprzestrzeni stanów$n$-wymiarowej, jeśli istnieje$n$zmiennych stanu. Osiami (współrzędnymi) przestrzeni stanów są więc poszczególne współrzędne (zmienne) stanu, a każdy punkt przestrzeni stanów reprezentuje określony stan rozumiany jako zbiór wartości wszystkichzmiennychstanu układu. Można więc zapisać symbolicznie wektor stanu układu o$n$zmiennych stanu$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$jako$\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots,x_{n}].$Liczba$n$zmiennych stanu określa wymiar wektora stanu, a zarazemrząd układu dynamicznego.

Macierz przejścia stanu

Stan układu przedstawiany jest zwykle jakowektor$\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots,x_{n}]\in R^{n}$i reprezentuje pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie można określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

$x(t)=e^{tA}x(0)+\int _{0}^{t}{e^{(t-r)A}Bu(r)\;dr},$

gdzie:

$e^{tA}x(0)$–składowa swobodnazależna od warunków początkowych,

$\int _{0}^{t}{e^{(t-r)A}Bu(r)\;dr}$–składowa wymuszona,która jestsplotemodpowiedzi impulsowejiwejścia.