Styczna

Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna$s$dokrzywej$K$wpunkcie$P$to prosta, która jest granicznym położeniemsiecznych$s_{k}$przechodzących przez punkty$P$i$P_{k},$gdy punkt$P_{k}$dąży (zbliża się) do punktu$P$po krzywej$K$.

Definicje i wzory

Niech punkt$Q$będzie rzutem punktu$P$na oś$x$i niech styczna$s$przecina oś$x$w punkcie$R$zaś prosta$n$będącanormalnądo krzywej$K$przecina oś$x$w punkcie$T.$Odcinek skierowany$RQ$nazywa siępodstyczną,zaś odcinek skierowany$|QT|$–podnormalną.Długość$|PR|$nazywa się długością stycznej, zaś$|PT|$– długością normalnej.

Jeśli krzywa$K$określona jest w pewnym przedziale$[a,b]$funkcją$y=f(x)$ciągłą,która ma w tym przedziale określoną pierwsząpochodną$f',$to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały$P(x_{0},y_{0}),$gdzie$y_{0}=f(x_{0})$oraz punkt zmienny$P(x_{k},y_{k}),$gdzie$y_{k}=f(x_{k})$ma postać:

$y-y_{0}={\frac {y_{k}-y_{0}}{x_{k}-x_{0}}}(x-x_{0}),$

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie$P(x_{0},y_{0})$ma postać:

$y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0}).$

Wówczas odcięte punktów$Q,R$i$T$są odpowiednio równe::$x_{0},\quad x_{0}-{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}},\quad x_{0}+y_{0}f'(x_{0}).$

Długość stycznej określa wówczas wzór:

$|PR|=\left|{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}}\right|{\sqrt {1+(f'(x_{0}))^{2}}},$

zaś długość normalnej:

$|PT|=\left|y_{0}\right|{\sqrt {1+(f'(x_{0}))^{2}}}.$

Mamy również

• podstyczna:$|RQ|=\left|{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}}\right|,$
• podnormalna:$|QT|=\left|y_{0}f'(x_{0})\right|.$

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Styczna do okręgu

W przypadku, gdy krzywa jestokręgiem,definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

Odcinki AB i AC są równe

(również znane jakonajmocniejsze twierdzenie geometrii)

Niech punkty$B$i$C$będą punktami styczności do okręgu$o$dwóch prostych przecinających się w punkcie$A.$Wówczas$|AB|=|AC|.$

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód(dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważkąt wpisanyoparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa$\pi,$kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od${\frac {\pi }{2}}$o kąt między styczną i sieczną. Zatem zprostopadłościśrednicy wynika teza.

Zobacz też

• metoda stycznych
• wektor styczny do krzywej i powierzchni