Funkcja liniowa

Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcja liniowa – dowolna funkcja matematyczna opisana równaniem liniowym, czyli postaci:

$x\mapsto ax+b,$

gdzie argumentami $x$ są liczby rzeczywiste lub inne obiekty, które można dodawać i mnożyć, np. liczby zespolone. Parametry $a,b$ są dowolnymi stałymi znanymi jako współczynnik kierunkowy i wyraz wolny. O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej. Jest to uogólnienie funkcji stałych, dla których $a=0,$ oraz proporcjonalności prostej, przy której $b=0$.

Jeśli argumentami takiej funkcji są liczby rzeczywiste, to dziedziną może być cała oś rzeczywista, a wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linia prosta.

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Funkcje liniowe mają różne uogólnienia jak funkcje:

• przedziałami liniowe, zdefiniowane różnymi wzorami liniowymi na różnych przedziałach;
• wielomianowe, zawierające też wyższe potęgi zmiennej;
• homograficzne będące ilorazami funkcji liniowych.

W algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy $b=0;$ mają one wówczas postać proporcjonalności prostej $x\mapsto ax.$

Definicja

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję $f$ nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

$f(x)=ax+b,$

gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła wymagają dodatkowo, aby $f$ była niezdegenerowana, tj.

$a\neq 0.$

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Własności

Jeśli $a\neq 0,$ to $f$ jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla $a>0$ i malejąca dla $a<0,$ ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli $b=0,$ to $f$ jest nieparzysta.

Jeśli $a=0,$ to $f$ jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo $b=0,$ to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli $a\neq 0,$ to $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci $-{\tfrac {b}{a}}.$ Jeśli $a=0,$ to $f$ nie ma miejsc zerowych, gdy $b\neq 0$ i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy $b=0.$

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli $y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2}),$ to:

$f(x)={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x+{\tfrac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa $a,$ a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią $OY.$

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa $x\mapsto ax+b$ ma wykres będący prostą, przy czym

• przecina ona oś $OY$ w punkcie $(0,b)$
• przecina ona oś $OX$ w punkcie $(-{\tfrac {b}{a}},0)$ dla $a\neq 0,$ nie przecina tej osi, gdy $a=0,\,\,b\neq 0.$

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

$a={\text{tg}}\ \alpha ,$

gdzie $\alpha$ jest kątem skierowanym między wykresem i osią $OX.$

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego $\alpha ,$ co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi $OY$ jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa

• Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:

$f(x)=ax+b,\;\;g(x)=a_{1}x+b_{1}.$

Wówczas

$(g\circ f)\,(x)=a_{1}(ax+b)+b_{1}=a_{1}ax+a_{1}b+b_{1}$

także jest funkcją liniową.

• Dla funkcji $f(x)=ax+b$ i $e(x)=x$ zachodzi

$(f\circ e)\,(x)=(e\circ f)\,(x)=f(x).$

• Ponadto dla funkcji $f(x)=ax+b,$ w której $a\neq 0,$ funkcja $g(x)={\tfrac {1}{a}}x-{\tfrac {b}{a}}$ jest funkcją odwrotną:

$(f\circ g)\,(x)=(g\circ f)\,(x)=e(x).$

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową $f(x)=ax+b$ można reprezentować jako macierz postaci:

$F={\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}.$

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo $a\neq 0,$ to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie.

Własności geometryczne i uogólnienia

Niezdegenerowana funkcja liniowa $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ postaci $f(x)=ax+b$ jest podobieństwem prostej $\mathbb {R}$ na siebie, przy tym $|a|$ jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

• dla $a=1,\,b=0$ jest to tożsamość,
• dla $a=1,\,b\neq 0$ jest to translacja o przesunięciu $b,$
• dla $a=-1$ jest to symetria środkowa względem punktu ${\tfrac {b}{2}}.$

Dla $a>0$ jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla $a<0$ jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji).

Jeśli $f$ nie jest translacją, tj. $a\neq 1,$ to ma ona punkt stały ${\tfrac {b}{1-a}}.$

Funkcja liniowa niezdegenerowana $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ma swoje uogólnienie na płaszczyznę $\mathbb {R} ^{2}$ i ogólniej – na $\mathbb {R} ^{n}$ i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

$f(x)=ax+b,$

gdzie $x,b\in \mathbb {R} ^{n},$ $a$ jest nieosobliwą macierzą $n\times n.$

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ postaci

$f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}+b,$

gdzie nie wszystkie $a_{i}$ są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$

Przykłady zależności liniowych

Matematyka

• Wartość $n$-tego wyrazu $a_{n}$ ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru $n{:}$

$a_{n}=rn+a_{1}-r,$

gdzie $r$ jest różnicą ciągu, $a_{1}$ jego pierwszym wyrazem.

Fizyka

• Temperatura $T_{F}$ w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury $T_{C}$ w skali Celsjusza:

$T_{\mathrm {F} }={\tfrac {9}{5}}T_{\mathrm {C} }+32.$

• W kinematyce: w ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie $x_{t}$ jest liniową funkcją czasu $t{:}$

$\mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},$

gdzie $v$ jest prędkością, $x_{0}$ położeniem początkowym.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość $v_{t}$ jest liniową funkcją czasu $t.$

$v_{t}=at+v_{0},$

gdzie $a$ jest przyspieszeniem, $v_{0}$ jest prędkością początkową.

• Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością $v_{o}$ do nieruchomego źródła fali o częstotliwości $f_{z},$ to częstotliwość $f_{o}$ odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości $v_{o}{:}$

$f_{o}={\tfrac {f_{z}}{v}}v_{o}+f_{z},$

gdzie $v$ jest prędkością fali w ośrodku.

Bibliografia

• Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8.

Literatura dodatkowa

• Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Kraków: Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8. Brak numerów stron w książce
• Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Tomasz Wójtowicz, Funkcja liniowa – pojęcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-09-16].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Linear Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Linear function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].