Elipsoida Johna

Elipsoida JohnalubLöwnera-Johna– pojęcie z zakresugeometrii wypukłejiteorii przestrzeni Banachawprowadzone przezFritza Johnaw 1948 roku^[1].

Definicja

NiechXbędzien-wymiarowąprzestrzenią unormowanąoraz niechB_Xoznacza kulę jednostkową w przestrzeniX.Elipsoidą JohnaprzestrzeniXnazywa się kulę względem metryki zadanej przez pewieniloczyn skalarnywX(hiperkula) zawartą wB_Xo największejn-wymiarowej objętości

Istnienie elipsoidy Johna wynika ztwierdzenia Heinego-Borela.Jest ona ponadto wyznaczona jednoznacznie^[2].

Lemat Dvoretzky’ego-Rogersa

NiechXbędzien-wymiarową przestrzenią unormowaną. Niechρ_Eoznacza normę euklidesową wprowadzoną przez elipsoidę Johna wX(tj.funkcjonał Minkowskiegoelipsoidy Johna przestrzeniX). Istnieje wówczas takabaza ortonormalna(e_j)_j≤nw (X,ρ_E), że

\|e_{j}\|_{X}\geqslant 2^{-{\frac {n}{n-j+1}}}\quad (j\leqslant n).

W szczególności,

\|e_{j}\|_{X}\geqslant {\frac {1}{4}}

dlaj≤n/ 2 + 1^[3].

Przypisy

↑F. John, Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions, Studies and Essays Presented to R. Courant on His 60th Birthday, January 8, 1948, Interscience Publishers, New York, 1948, s. 187–204.
↑Albiac i Kalton 2006 ↓,s. 290.
↑Albiac i Kalton 2006 ↓,s. 299.

Bibliografia

F. Albiac, N.J. Kalton:Topics in Banach Space Theory.Springer-Verlag GmbH, 2006.ISBN978-0-387-28141-4.

[1] F. John, Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions, Studies and Essays Presented to R. Courant on His 60th Birthday, January 8, 1948, Interscience Publishers, New York, 1948, s. 187–204.

[CITEREFAlbiacKalton2006290-2] Albiac i Kalton 2006 ↓,s. 290.

[CITEREFAlbiacKalton2006299-3] Albiac i Kalton 2006 ↓,s. 299.

[1]

[2]

[3]