Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
elipsoida spłaszczona
elipsoida wydłużona
Elipsoida obrotowa (sferoida ) –powierzchnia lubbryła powstała na skutek obrotuelipsy wokół jejosi symetrii .W przypadkuZiemi osią tą jest mała oś elipsy, czyli oś ziemska[1]
Elipsoida obrotowa to takaelipsoida ,której co najmniej dwie półosie mają równą długość. Szczególnym przypadkiem elipsoidy obrotowej jestsfera ,co ma miejsce, gdy obracająca się elipsa ma równe półosie, tzn. jestokręgiem ,czyli elipsoida ma wszystkie trzy półosie równej długości.
Niech
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
[1]
Równanie parametryczne elipsoidy obrotowej:
x
=
a
sin
v
cos
u
{\displaystyle x=a\sin v\cos u}
y
=
a
sin
v
sin
u
{\displaystyle y=a\sin v\sin u}
z
=
c
cos
v
.
{\displaystyle z=c\cos v.}
Równanie wkartezjańskim układzie współrzędnych :
x
2
+
y
2
a
2
+
z
2
c
2
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}
gdzie
u
∈
{
0
,
τ
}
,
{\displaystyle u\in \{0,\tau \},}
v
∈
{
o
,
π
}
.
{\displaystyle v\in \{o,\pi \}.}
Pole powierzchni bryły wynosi:
S
=
τ
a
2
+
π
c
2
e
1
ln
(
1
+
e
1
1
−
e
1
)
=
τ
a
2
+
τ
a
c
e
2
sin
−
1
e
2
=
τ
(
a
2
+
c
2
e
1
tgh
−
1
e
1
)
=
τ
(
a
2
+
c
2
2
F
1
(
1
2
,
1
;
3
2
;
1
−
c
2
a
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\tau a^{2}+{\frac {\pi c^{2}}{e_{1}}}\ln \left({\frac {1+e_{1}}{1-e_{1}}}\right)\\&=\tau a^{2}+{\frac {\tau ac}{e_{2}}}\sin ^{-1}e_{2}\\&=\tau (a^{2}+{\frac {c^{2}}{e_{1}}}\operatorname {tgh} ^{-1}e_{1})\\&=\tau \left(a^{2}+c_{2}^{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}}{,}1;{\frac {3}{2}};1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\right)\right)\end{aligned}}}
gdzie:
e
1
=
1
−
c
2
a
2
,
{\displaystyle e_{1}={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}
e
2
=
1
−
a
2
c
2
.
{\displaystyle e_{2}={\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}}.}
F
1
{\displaystyle F_{1}}
funkcja hipergeometryczna .Objętość bryły wynosi:
4
π
a
2
c
3
.
{\displaystyle {\frac {4\pi a^{2}c}{3}}.}
typy powiązanebryły
inne powiązane
występowanie
