Miara Haara

Miara Haara– niezmiennicza ze względu na działanie grupowemiaraokreślona nalokalnie zwartejgrupie topologicznej.Konsekwencją istnienia miary Haara na grupie lokalnie zwartej jest istnieniecałki.Z tego względu ma liczne zastosowania wanalizieiteorii liczb.

Miara Haara nazwana została na cześćAlfreda Haara,węgierskiegomatematyka,który jako pierwszy podał jej konstrukcję około roku1932.

Wprowadzenie

NiechGbędzie lokalnie zwartą grupą topologiczną, a B niech oznaczaσ-ciałogenerowane przezzwarte podzbioryG.W dalszym ciąguBnazywać będziemyσ-ciałem borelowskim,a zbiory zB– zbiorami borelowskimi (patrz uwaga na końcu tej sekcji).

Dla dowolnego elementu$a\in G$i zbioru$S\subset G$niech$aS=\{a\cdot s:s\in S\}$oznacza jegoprzesunięcie lewostronne o a,zaś$Sa=\{s\cdot a:s\in S\}$przesunięcie prawostronne.

Z własności działań w grupie topologicznej wynika, że oba rodzaje przesunięć przekształcają dowolny zbiór borelowski w zbiór borelowski.

Miara μ na rodzinie zbiorów borelowskich grupy$G$nazywa sięlewostronnie niezmienniczajeśli dla dowolnego zbioru borelowskiego$S\subset G$zachodzi warunek:

$\mu (aS)=\mu (S).$

Analogicznie definiuje się pojęcie miaryprawostronnie niezmienniczej.

Miarę μ na grupie topologicznej nazwiemyregularnąjeżeli spełnia poniższe warunki:

• μ(K) jest skończona dla dowolnego zbioru zwartegoK,
• dowolny zbiór borelowskiEjest zewnętrznie regularny:

$\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ otwarty i borelowski}}\}.$

• dowolny zbiór borelowskiEjest wewnętrznie regularny:

$\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ zwarty }}\}.$

Należy pamiętać, że użyte tu pojęcie zbioru borelowskiego nie jest tożsame ze standardowym rozumieniem tego pojęcia. W patologicznych przypadkach istniejązbiory otwarte,które nie są borelowskie (w przyjmowanym tu sensie) i dlatego zewnętrzna regularność miary definiowana jest explicite poprzez jejinfimumna zbiorach otwartych i borelowskich. Jeżeli dana grupa jest lokalnie zwarta,metryzowalnaiośrodkowa,sygnalizowane tu patologie nie mają miejsca. (W lokalnie zwartychprzestrzeniach Lindelöfa,zbiory domkniętesąprzeliczalnymisumamizbiorów zwartych, więc$\sigma$-ciało generowane przez zbiory otwarte jest tym samym co$\sigma$-ciało generowane przez zbiory zwarte.)

Istnienie lewostronnie niezmienniczej miary Haara

Okazuje się, że z dokładnością do stałego czynnika, istnieje tylko jedna lewostronnie niezmiennicza regularna miara μ na σ-ciele zbiorów borelowskich wGtaka, że μ(U) > 0 dla dowolnegoniepustegootwartego zbioru borelowskiegoU.

Prawostronnie niezmiennicza miara Haara

Analogiczny fakt dotyczy prawostronnie niezmienniczej miary Haara ν. Niestety, obie miary na ogół nie pokrywają się, choć ma to miejsce w przypadku tak zwanych grupunimodularnych(w szczególności zaś abelowych).

Tym niemniej istnieje prosta zależność między miarami μ i ν – jeżeli przez$S^{-1}$oznaczyć zbiór odwrotności wszystkich elementów należących do zbioruSi określić

$\mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})$

to$\mu _{-1}$jest prawostronnie niezmienniczą miarą Haara:

$\mu _{-1}(Sa)=\mu ((Sa)^{-1})=\mu (a^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).$

Stąd, na mocy jednoznaczności: μ₋₁różni się od ν jedynie czynnikiem, a zatem istniejek > 0takie, że:

$\mu (S^{-1})=k\nu (S)$

dla dowolnego zbioru borelowskiegoS.

Całka Haara

W oparciu o miarę Haara w standardowy sposób konstruuje sięcałkę Lebesgue’ana klasie wszystkichfunkcji mierzalnychwzględem σ-ciała zbiorów borelowskich. Całka ta nosi nazwę całki Haara. Jeżeli μ jest lewostronnie niezmienniczą miarą Haara, to

$\int \limits _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int \limits _{G}f(x)\ d\mu (x)$

dla dowolnej funkcji całkowalnejf.Oznacza to, że całka Haara jest niezmiennicza względem translacji (lewostronnych) na grupieG.

Zastosowania

Miary Haara są standardowym narzędziemanalizy harmonicznejna grupach lokalnie zwartych, gdzie są wykorzystywane w teorii dualności. Samego istnienia miary Haara dowodzi się często wykazując istnienie lewostronnie niezmienniczejmiary Radonana grupie lokalnie zwartej. Okazuje się też, że jeśli dana grupa nie jest dyskretna, to przy założeniuaksjomatu wyborunie da się określić niezmienniczej ze względu na translacje miary określonej na wszystkich podzbiorach grupy.

Przykłady

• Jak można się spodziewać, miara Haara na grupieliczb rzeczywistych(R,+), która na odcinku [0,1] przyjmuje wartość 1 jest równa odpowiedniemu obcięciumiary Lebesgue’ado σ-ciała zbiorów borelowskichR.Rezultat ten uogólnia się również na grupy (Rⁿ,+).
• JeżeliGoznacza grupę liczb rzeczywistych dodatnich z mnożeniem jako działaniem grupowym, to odpowiednia miara Haara μ określona jest równością

$\mu (S)=\int \limits _{S}{\frac {1}{t}}\,dt$

dla dowolnego borelowskiego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych dodatnich. Wynik ten ma następujące uogólnienie:

• Wogólnej grupie liniowejGL(n,R), obie jednostronnie niezmiennicze miary Haara są proporcjonalne i

$\mu (S)=\int \limits _{S}{\frac {1}{|\det(X)|^{n}}}\,dX$

gdziedXoznacza miarę Lebesgue’a naR^{$n^{2}$},utożsamionym ze zbiorem wszystkichmacierzy kwadratowychwymiarun.Fakt ten jest konsekwencją wzoru nacałkowanie przez podstawienie.

• Ogólnie, na dowolnejgrupie Liegowymiarunlewostronnie niezmiennicza miara Haara może być stowarzyszona z pewną niezerowąn-formą ω jako miarą Lebesgue’a |ω|. Podobny związek zachodzi dla dowolnej prawostronnie niezmienniczej miary Haara. Wynika stąd, że funkcję modularną można obliczać jakowartość bezwzględnąwyznacznika dołączonej reprezentacji tej grupy.

Funkcja modularna

Przesunięcie prawostronnie niezmienniczej miary Haara w „lewo” znów jest miarą Haara. Dokładniej, jeżeli μ jest prawostronnie niezmienniczą miarą Haara, wówczas funkcja:

$A\mapsto \mu (t^{-1}A)$

jest również prawostronnie niezmiennicza. Wynika stąd, że istnieje jednoznacznie określona funkcja Δ zwanafunkcją modularnąo tej własności, że dla dowolnego zbioru borelowskiegoA

$\mu (t^{-1}A)=\Delta (t)\mu (A).$

GrupęGnazywamyunimodularnąwtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja modularna jesttożsamościoworówna 1. Przykładami są tu ważne dla zastosowań grupy zwarte i abelowe, natomiast przykładem grupy, która nie jest unimodularna jest grupa wszystkich przekształceń prostej liczbowej, które mają postać:

$x\mapsto ax+b.$