Potęgowanie

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie10,kolorem czerwonym przy podstawielogarytmu naturalnego,a niebieskim przy podstawie 1,7

Potęgowanie– typfunkcjidwóchzmiennych,różnie definiowanych w różnych kontekstach; w najprostszych przypadkach – kiedy drugimargumentemtej funkcji jestliczba naturalna– potęgowanie to wielokrotnemnożenieelementu przez siebie.Podstawowe pojęcia związane z tą operacją to:

• podstawa potęgi– potęgowany element;
• wykładnik– drugi argument, w najprostszym przypadku równy liczbie czynników w mnożeniu;
• potęga elementu– wynik potęgowania;
• kwadrat– druga potęga;
• sześcian– trzecia potęga.

Potęgę zwykle zapisuje się, pisząc wykładnik po prawej stronie podstawy windeksie górnym;przykładowo jeśli podstawą jest liczba 3, a wykładnikiem – liczba 4, to pisze się:

$3^{4}:=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$.

Nazwy drugiej i trzeciej potęgi nawiązują dogeometrii,gdyżpole powierzchnikwadratuo boku długości$a$wynosi$a^{2}$,aobjętośćsześcianuo tym samym boku jest równa$a^{3}$.

Dziedzinąpotęgowania mogą być rozmaitezbioryoraz inneklasy:

• podstawą potęgi może być element dowolnej klasy, w której określono mnożenie:liczba rzeczywista,jej uogólnienie jakliczba zespolonalubhiperzespolona,liczba kardynalna,porządkowaczyfunkcjao wartościach w podanych zbiorach. W podstawie może się też znajdowaćmacierz kwadratowalub dowolny zbiór, ponieważ pewne działania na tych obiektach – niezwiązane wprost zarytmetyką– nazywa się odpowiedniomnożeniem macierzyoraziloczynem kartezjańskim;
• wykładniki potęgi są już bardziej ograniczone; zawsze może nim być dodatnialiczba naturalna,a przy pewnych podstawach mogą nimi być także dowolne liczby rzeczywiste,liczby zespoloneoraz kardynalne. W wykładniku może też pojawić się macierz kwadratowa (por.eksponenta macierzy) lub dowolny zbiór.

Jeśli klasy obu argumentów pokrywają się, to potęgowanie może być ściśle rozumianymdziałaniem dwuargumentowym,np. na zbiorze dodatnich liczb naturalnych. W tym ostatnim wypadku potęgowanie bywa uznawane za piąte działanie arytmetyczne i włączane w zakresarytmetyki elementarnej.

Za pomocą potęgowania definiuje się inne funkcje jakpierwiastkowanie,logarytmy,wielomiany,tetracjai inne działania, które opisujenotacja strzałkowa.Między innymi przez to potęgowanie jest używane w różnych działach matematyki jakteoria liczb,kombinatoryka,algebra,geometria – zwłaszczaanalitycznaialgebraiczna– orazanalizaiteoria mnogości.

Etymologia

Termin „wykładnik”(ang.exponent) wywodzi się z łacińskiego „exponentem”,czasownika w formie imiesłowu teraźniejszego, od „exponere”,co oznacza „wystawiać”.Termin „potęga”(łac. potentia, potestas, dignitas. ang.power) to błędne tłumaczenie starogreckiego słowa δύναμις (dúnamis, tutaj: „wzmacnianie” ), używanego przez greckiego matematykaEuklidesado kwadratu linii, naśladującHipokratesa z Chios.

Definicje dla różnych przypadków

Wykładnik naturalny

Niech$a\in \mathbb {R}$oraz$n\in \mathbb {N}$.Potęgę$a^{n}$definiuje się jako pomnożenie n takich samych elementów$a$przez siebie, czyli

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{n}$

i czyta się go „$a$podniesione do$n$-tej potęgi”, „$a$do$n$-tej potęgi” lub nawet „$a$do$n$-tej”. W szczególności

$a^{1}=a$.

(1)

Dodatkowo przyjmuje się

$a^{0}=1$.

(3)

Z definicji potęgi wynika, iż$0^{n}=0$oraz$1^{n}=1$dla dowolnego$n\in \mathbb {N} _{+}$.

Z definicji wynika też$0^{0}=1$,chociaż w niektórych działach matematyki wyrażenie$0^{0}$jest traktowane jako niejednoznaczne (patrzoddzielna sekcja).

Potęgę naturalną można zdefiniować indukcyjnie

$a^{n}={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]a^{n-1}\cdot a&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

Definicję tę można wprowadzić w dowolnymmonoidziezmnożeniem$\cdot$;może to być mnożenieliczb całkowitych,wymiernych,rzeczywistychczyzespolonych,może to byćskładaniefunkcji określonych na zbiorze.

Dla dowolnych$m,n\in \mathbb {N}$zachodzą własności:

• $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$

  (2)

  Dowód:
  $a^{m}\cdot a^{n}=\overbrace {\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{m}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdots a} _{n}} ^{m+n}$

• $(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$
  Dowód:
  $(a^{m})^{n}=\overbrace {\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{m}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdots a} _{m}\cdots \underbrace {a\cdot a\cdots a} _{m}} ^{n}$
  $a$jest tu powtórzone$m\cdot n$krotnie.

Ponadto dlagrupy przemiennej:

• $(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$
  Dowód:
  $(a\cdot b)^{m}=\underbrace {(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdots (a\cdot b)} _{m}=\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{m}\cdot \underbrace {b\cdot b\cdots b} _{m}=a^{m}\cdot b^{m}$
  Jest tak, ponieważ gdy zamienimy mnożone liczby miejscami, to wynik się nie zmieni.

Wykładnik całkowity

Niech$a\in \mathbb {R},a\neq 0$.Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki całkowite:

niech$n\in \mathbb {Z}$,wówczas

$a^{n}={\begin{cases}a^{n}&{\mbox{ dla }}n\geqslant 0\\[2pt]{\frac {1}{a^{-n}}}&{\mbox{ dla }}n<0\end{cases}}$

Z definicji wynika, że dla$n\in \mathbb {N}$zachodzi:

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

w szczególności

$a^{-1}={\frac {1}{a}}$.

Definicję można wprowadzić w dowolnejgrupie,tzn. od elementu$a$wymaga się, aby byłelementem odwracalnym.

Dla$m,n\in \mathbb {Z}$zachodzą własności:

$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$,

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$.

(4)

Ponadto dla grupy przemiennej

$(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}},\qquad {}$gdzie${\frac {x}{y}}$oznacza zdefiniowane w grupie dzielenie$x\cdot y^{-1}$.

Wykładnik wymierny

Niech$a\in \mathbb {R},a>0$.Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki wymierne. Niech$w\in \mathbb {Q}$oraz$w={\frac {m}{n}},\;m\in \mathbb {Z},n\in \mathbb {N} _{+}$i przyjmując${\sqrt[{1}]{a}}=a$:

$a^{w}=a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

(6)

Dowód:

$({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{n}=a^{m}$ponieważ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}$to liczba która z definicji podniesiona do n-tej daje$a^{m}$.Natomiast$a(^{\frac {m}{n}})^{n}=a^{m}$(patrz początek artykułu o potędze naturalnej: wynika z tego, że lewe strony obu równań są sobie równe, ponieważ podniesione do tej samej potęgi muszą dawać taki sam wynik).

W szczególności

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

W powyższych definicjach${\sqrt[{n}]{c}}$oznacza arytmetycznypierwiastekz liczby dodatniej$c$.Definicja jest poprawna i jednoznacznie określa potęgę, bowiem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste dodatnie równania$x^{n}=c$.

Dla$m,n\in \mathbb {Q},\;a,b>0$zachodzą własności:

$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$,

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$,

$(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$.

Wykładnik rzeczywisty

Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iżliczby rzeczywistesą możliwe do uzyskania jakogranice ciągówliczb wymiernych(tzw.ciągi Cauchy’ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga$x^{y}$dla nieujemnych$x\in \mathbb {R},$oraz$y\in \mathbb {Q}.$Jeżeli$y$jestliczbą niewymierną,tzn.$y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q},$to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych$y_{1},y_{2},\dots$ogranicyw$y$i przyjąć

$x^{y}=\lim _{n\to \infty }~x^{y_{n}}.$

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1–6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako

$x^{y}=\sup\{x^{p}\colon p<y{\mbox{ i }}p\in \mathbb {Q} \}.$

W obu przypadkach korzysta się zciągłości.

Funkcja wykładnicza

Jeżeli$a>0,$toukładrównań funkcyjnych(por.(1)i(2)):

${\begin{cases}f_{a}(x+y)=f_{a}(x)\cdot f_{a}(y)\\f_{a}(1)=a\end{cases}}$

definiuje jedyną (wszędzie)ciągłąfunkcję$f_{a}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},$gdzie$a\in \mathbb {R},$dla której zachodzi

$f_{a}(x)=a^{x}.$

Funkcję$f_{a}$nazywa sięfunkcją wykładnicząo podstawie$a.$Z powodu dogodnych własności liczby$e$(podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocąlogarytmu naturalnego,definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np.macierze kwadratowe,zob.dalej). Funkcja (elementarna)$\exp$może być zadana za pomocąszeregu potęgowego

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},$

który jest zbieżny dla dowolnego$x\in \mathbb {R}$(a nawet$x\in \mathbb {C}$). Zachodzą własności (1–6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2–3):

$\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$

oraz

$\exp(0)=1.$

Dowodzi się równieżciągłościimonotonicznościfunkcji$\exp$oraz tego, iż

$\exp(1)=e.$

Mając daną funkcję wykładniczą, definiuje się funkcjęlogarytmu naturalnego$\ln(x),$będącą przypadkiem szczególnymfunkcji logarytmicznej,jakofunkcją odwrotnądo$\exp(x)$dla$x\in \mathbb {R}$(stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem

$x^{y}=\exp(y\ln(x)),$

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla$x>0$oraz$y\in \mathbb {R}.$

Ujemna podstawa

Równanie$x^{n}=a$nie ma rozwiązań rzeczywistych dla$a<0$oraz parzystego$n,$choć ma jedno dla$n$nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista$x$będąca rozwiązaniem równania$x^{2}=-1,$dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik sąwzględnie pierwsze) wymaga użyciajednostki urojonej$i$będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ$e^{x}>0$dla dowolnej$x\in \mathbb {R},$stąd dla$a\leqslant 0$liczba$\ln y$nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespoloneliczb ujemnych,wybierając logarytm zespolony z$y.$

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona naciągłości.Funkcja$f(x)=a^{x}$ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego$a>0,$lecz okazuje się, że jeżeli$a<0,$to funkcja$f$nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Na przykład jeśli$a=-1,$to pierwiastkiem$n$-tego stopnia z$-1$dla każdej nieparzystej liczby naturalnej$n>0$jest$-1.$Niech$n$będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas$(-1)^{m/n}=-1$dla$m$nieparzystych i$(-1)^{m/n}=1$dla$m$parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych$q,$dla których$(-1)^{q}=1$jestgęstyw zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych$q,$dla których$(-1)^{q}=-1,$co oznacza, że funkcja$(-1)^{q}$jest nieciągła w dowolnym punkcie$q$należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

Liczby zespolone

Wykładnik zespolony

Funkcja wykładnicza$e^{z}$może być zdefiniowana jakogranicaciągu$(1+z/N)^{N},$dla$N$dążącego do nieskończoności, stąd$e^{i\pi }$jest granicą ciągu$(1+i\pi /N)^{N}e^{i\pi }.$W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości$N.$Wartość$(1+i\pi /N)^{N}$jest przedstawiona jako wynik$N$kolejnych mnożeń napłaszczyźnie zespolonej,gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg$(1+i\pi /N)^{N}$dąży do −1 wraz ze wzrostem$N.$Stąd$1=e^{i\pi }=-1,$równanie to znane jest jakotożsamość Eulera.

Kluczem do zrozumienia$\exp(ix)$dla rzeczywistych wartości$x$jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby$e,$czyli funkcji wykładniczej$\exp.$Niech dany będzie napłaszczyźnie zespolonejtrójkąt prostokątnyo wierzchołkach$(0,1,1+{\tfrac {ix}{n}}).$Dla dużych wartości$n$jest nieomalżewycinkiem kołowymo rozwartości kąta środkowego równej${\tfrac {x}{n}}$radianów.Trójkąty$(0,(1+{\tfrac {ix}{n}})^{k},(1+{\tfrac {ix}{n}})^{k+1})$sąpodobnedla wszystkich$k.$Stąd dla dużych$n$punkt graniczny ciągu$(1+{\tfrac {ix}{n}})^{n}$jest punktemokręgu jednostkowego,którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi$x$radianów.Współrzędnymi biegunowymi(postacią trygonometryczną) tego punktu są$1=(r,\theta )=(1,x),$awspółrzędnymi prostokątnymi(postacią algebraiczną) para$(\cos x,\sin x).$W ten sposób$1=e^{ix}=\cos x+i\sin x.$Zależność ta nazywana jestwzorem Eulerai łączy onaalgebręztrygonometriąpoprzezliczby zespolone.

Rozwiązaniem równania$e^{z}=1$są całkowite wielokrotności$2\pi i{:}$

$\{z\colon e^{z}=1\}=\{2k\pi i\colon k\in \mathbb {Z} \}.$

Ogólniej, jeśli$e^{b}=a,$to każde rozwiązanie$e^{z}=a$może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności$2\pi i$do$b{:}$

$\{z\colon e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i\colon k\in \mathbb {Z} \}.$

Zespolona funkcja wykładnicza jest zatemfunkcją okresowąo okresie głównym$2\pi i.$

Ostatecznie:

$e^{\pi i}=-1,$

$e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).$

Ze wzoru Eulera wynika też, żefunkcje trygonometrycznesinusa i cosinusa spełniają zależności:

$\cos(z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\qquad \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}.$

Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowanewzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznychdo prostego wzoru na potęgowanie:

$e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}.$

W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.

Potęgę$e^{x+iy}$oblicza się jako$e^{x}e^{iy},$gdzie czynnik rzeczywisty$e^{x}$jestmodułem,zaś$e^{iy}$tokierunek(wraz ze zwrotem,$y$nazywany jestargumentem) liczby$e^{x+iy}.$

Potęga zespolona

Jeżeli$a$jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a$z$dowolną liczbą zespoloną, to potęgę$a^{z}$definiuje się wzorem

$a^{z}=e^{z\ln a},$

gdzie$x=\ln a$jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania$e^{x}=a.$

Jeżeli$a$jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej$\ln(x)$jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi$2k\pi i$dla$k\in \mathbb {Z},$to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie, miewając nieskończoną liczbę wartości.

Niech$z=\mathrm {Ln} (x)$będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu$x,$wówczas:

$x^{y}=e^{y(z+2k\pi i)}=e^{yz}e^{y2k\pi i},$

czylimoduł$x^{y}$wynosi wtedy$\exp(y\mathrm {Ln} (x))\in \mathbb {R},$zaś jejargumentprzyjmuje dowolną z wartości$2k\pi y.$Potęga będzie miała$n$wartości tylko wtedy, gdy$y=c/n,$gdzie$c$i$n$sąwzględnie pierwsze). Jeżeli$y\in \mathbb {Z},$to wygodnie jest korzystać zewzoru de Moivre’a.

Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym$0^{0}$i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

$((-1)^{2})^{\tfrac {1}{2}}=1\neq -1=(-1)^{2\cdot {\tfrac {1}{2}}}.$

Funkcja potęgowa

Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna, również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór(5)). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności (ciągłość,monotonicznośćnaprzedziałach).

Własności

Potęgowanie nie jest działaniemprzemiennym,np.$8=2^{3}\neq 3^{2}=9.$Nie jest takżełączne,np.$2^{(3^{2})}=2^{9}=512,$lecz${(2^{3})}^{2}=8^{2}=64.$

Złożone potęgowanie, zgodnie z regułamikolejności wykonywania działań,traktuje się jako prawostronnie łączne, np.$2^{3^{2}}=2^{(3^{2})}.$

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:

• $a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s},$
• $(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}.$

Jeżeli mnożenie jestprzemienne,to zachodzi również

• $(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}.$

Jeżeli$a^{s}$jest elementem odwracalnym, to

• $a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}.$

Dla$r=0$powyższy wzór oznacza:

• $a^{-s}={\frac {1}{a^{s}}}.$

Jeżeli tak$b,$jak i$b^{r}$są odwracalne, to

• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}.$

Podstawa	Wykładnik	Potęga
całkowita dodatnia	całkowity nieujemny	całkowita dodatnia
całkowita	całkowity nieujemny	całkowita
wymierna dodatnia	całkowity	wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
algebraiczna	wymierny	algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1	zespolony, który nie jest liczbą wymierną	przestępna
przestępna	wymierny różny od 0	przestępna
rzeczywista dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna	rzeczywisty	zespolona
zespolona	całkowity	zespolona (jednoznaczna)
zespolona	wymierny	zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona	zespolony niebędący liczbą wymierną	zespolona (nieskończenie wiele wartości)

Zero do potęgi zerowej

Wykres$z=|x|^{y};$czerwone krzywe dają różne granice, gdy$(x,y)$dąży do$(0,0),$podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy1.

Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi$0^{0},$lecz dochodzą do różnych wniosków, czydefiniowaćwyrażenie$0^{0},$czy też nie (zob. następną podsekcję).

W większości przypadków, którenie wykorzystują ciągłości(na przykład ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie$0^{0}$jako$1$upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, którewykorzystują ciągłość). Na przykład:

• postrzeganie$0^{0}$jakoiloczynu pustegozer sugeruje wartość równą$1;$
• interpretacją kombinatoryczną$0^{0}$jest liczba pustychkrotekelementówzbioru pustego:istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
• równoważnieinterpretacją teoriomnogościową$0^{0}$jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja –funkcja pusta;
• znacząco upraszcza teorięwielomianówiszeregów potęgowychdzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako$ax^{0}$dla dowolnego$x,$np.
  • wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
  • dladzielników zera(elementówpierścienispełniających$a,b\neq 0,$ale$ab=0$) z własności potęgowania otrzymuje się$1=a^{0}b^{0}=(ab)^{0}=0^{0};$
  • tożsamości postaci$\textstyle {\tfrac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$i$\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {x^{n}}{n!}}$nie są poprawne dla$x=0,$jeśli$0^{0}\neq 1.$
  • twierdzenie o dwumianie$\textstyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}$nie jest poprawne dla$x=0,$jeżeli$0^{0}\neq 1$;
• wrachunku różniczkowymwzór na różniczkę jednomianu${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}x^{n}=nx^{n-1}$nie jest poprawny dla$n=1$w punkcie$x=0,$gdy$0^{0}\neq 1.$

Z drugiej strony$0^{0}$musi być uważane zawyrażenie nieoznaczonew kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

• jeżeli$f(t)$i$g(t)$są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do$0$(gdy$t$zbiega do liczby rzeczywistej bądź$\pm \infty$), gdzie$f(t)>0,$to funkcja$f(t)^{g(t)}$nie musi zbiegać do$1.$Rzeczywiście, w zależności od$f$i$g$granica$f(t)^{g(t)}$może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź$+\infty$albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa sięnieoznaczonym(ma postać nieoznaczoną)

Przykładowo funkcje niżej są postaci$f(t)^{g(t)},$gdzie$f(t),g(t)\to 0$dla$t\to 0^{+}$(zob.granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:

$\lim _{t\to 0^{+}}t^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}.$

Tak więc$0^{0}$jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja$x^{y}$dwóch zmiennych choć jestciągłąna zbiorze$\{(x,y)\colon x>0\},$nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym$(0,0),$nie ważne jak zdefiniuje się$0^{0}$.

• Funkcja$z^{z}$jest określona dla niezerowychliczb zespolonych$z$przez wybraniegałęzi$\log z$i przyjęcie$z^{z}:=e^{z\log z},$ponieważ nie ma gałęzi$\log z$zdefiniowanej w$z=0,$tylko w otoczeniu zera.Nie istniejefunkcja holomorficznaokreślona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z$z^{z}$dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych$z.$

Historia różnych punktów widzenia

Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:

• Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość$0^{0}$zależy od kontekstu, przez cozdefiniowaniejej raz na zawsze jest problematyczne.Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999),„The choice whether to define$0^{0}$is based on convenience, not on correctness.”(Wybór czy definiować$0^{0}$jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
• Inni twierdzą, że$0^{0}$jest równe$1.$Zgodnie ze s. 408 pracyKnutha(1992), „[it]hasto be$1$”(musi być równa$1$), choć kontynuuje on: „Cauchy had good reason to consider$0^{0}$as an undefinedlimiting form”(Cauchy miał dobry powód, by uważać$0^{0}$za nieokreślonąpostać graniczną) oraz„in this much stronger sense, the value of$0^{0}$is less defined than, say, the value of$0+0$”(w tym dużo silniejszym sensie wartość$0^{0}$jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość$0+0$;wyróżnienia oryginalne)

Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że$0^{0}=1,$jednak w 1821Cauchyumieścił$0^{0}$wraz z wyrażeniami postaci${\tfrac {0}{0}}$w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libriopublikował nieprzekonujący dowód, iż$0^{0}=1,$w czym wsparł goMöbiusbłędnie twierdząc, że$\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1,$jeżeli$\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0.$Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład$(e^{-1/t})^{t}$(który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów, przyjmując$a=1$), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż$0^{0}$nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992).

Języki programowania i kalkulatory

Wśród języków programowania komputerów, które przypisują$0^{0}$wartość$1$,można wymienićbc,Common Lisp,Haskell,J,Java,JavaScript,LISP,MATLAB,ML,Perl,PHP,Python,R,Ruby,SchemeczySQL.W.NET FrameworkmetodaSystem.Math.Powtraktuje$0^{0}$jak$1.$

Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnychMicrosoft Excelgeneruje błąd przy próbie wyznaczenia$0^{0},$podczas gdyOpenOffice.orgw wersji 3 zwraca$1.$Google DocsSpreadsheet również zwraca$1.$

Kalkulator systemuMicrosoft Windows,Wyszukiwarka Google,DeriveorazPARI/GPobliczają$0^{0}$równe$1.$

Mapleupraszcza$a^{0}$do$1,$zaś$0^{a}$do$0$nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na$a$(uproszczenia te są poprawne tylko dla$a\neq 0$), z kolei$0^{0}$ma wartość$1.$

Mathematicaupraszcza$a^{0}$do$1$nawet, gdy brak ograniczeń dla$a.$Nie upraszcza jednak$0^{a}$i przyjmuje, iż$0^{0}$jest symbolem nieoznaczonym.

Sageupraszcza$a^{0}$do$1$nawet, jeżeli nie ograniczono w żaden sposób$a.$Nie upraszcza$0^{a}$i przyjmuje, że$0^{0}$ma wartość$1.$

KalkulatoryTI-83 PlusiTI-84zwracają błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania$0^{0},$leczTI-89zwraca$1.$TI-89 Titaniumzwraca wartośćundef.

Notacja

Jak wspomniano na początku, potęgowanie zapisuje się zwykle, umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np.$x^{y}.$Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy$x{\hat {\ }}y,$$x**y$lub$x\uparrow y.$

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba$e$(podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu$e^{x}$stosuje się często zapis$\exp(x)$(pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby$e$pokrywają się z wartościami funkcji$\exp.$

Funkcje

Choć zapis$f^{n}(x)$dla$n\in \mathbb {N}$może oznaczać$(f(x))^{n},$czyli potęgęobrazu(patrz niżej), to jednak jeśliprzeciwdziedzinafunkcji zawiera się w jejdziedzinie,to zapis$f^{n}(x)$oznacza zwykle$n$-krotnezłożenie funkcjisamej ze sobą, czyli jej$n$-tąiterację,tzn.

$f^{3}=f\circ f\circ f$

lub dokładniej

$f^{3}(x)=f(f(f(x))).$

Wtedy w szczególności,$f^{-1}$oznaczafunkcję odwrotnądo funkcji$f,$oznaczeniem tym zapisuje się równieżprzeciwobrazfunkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.

W przypadkufunkcji trygonometrycznychihiperbolicznychprzyjęła się konwencja według której$\sin ^{n}x$oznacza$(\sin x)^{n}$dla$n>0$oraz$\sin ^{-1}x=\arcsin x.$Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu:$\log ^{3}(x)=(\log x)^{3}.$

Z kolei podobny zapis$f^{(n)}(x)$oznacza najczęściej$n$-tąpochodną funkcji.

Programowanie

Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórychjęzykach programowania:

• x ↑ y:Algol,Commodore BASIC
• x ^ y:BASIC,J,Matlab,Microsoft Excel,większość systemówComputer Algebra System(TeX,jak większość jego rozszerzeń, używa tego oznaczenia dlaindeksu górnego$x^{y}$)
• x ** y:Ada,Fortran,FoxPro,Perl,Python,Ruby,SAS
• x * y:APL
• Power(x, y):Microsoft Excel
• pow(x, y):C,C++,PHP
• Math.pow(x, y):Java,JavaScript,Modula-3
• Math.Pow(x, y):C#
• (expt x y):Common Lisp,Scheme
• GLib.Math.pow(x, y)(skracane doMath.pow(x, y)):Vala

Choć w języku (Turbo)Pascalnie ma standardowej funkcji potęgowania, można ją zdefiniować następująco:

functionpower(x,y:real):real;
begin
power:=exp(ln(abs(x))*y);
end;

Uogólnienia

Macierze

Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dlamacierzykwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniamimacierz jednostkowa.

Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję$\exp$wzorem

$\exp \mathbf {A} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{k}}{k!}}.$

Tak jak dla liczby rzeczywistych czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniurównań różniczkowychliniowych.

Dlamacierzy diagonalnychwystarczy obliczyć wartości$\exp x$na przekątnej: jeżeli

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},$

to

$\exp \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$

Jeżeli$\mathbf {A} =\mathbf {UDU} ^{-1}$i$\mathbf {D}$jest diagonalna, to:

$\exp \mathbf {A} =\mathbf {U} \exp(\mathbf {D} )\mathbf {U} ^{-1}$

Dlamacierzy nilpotentnej$\mathbf {N}$wartość$\exp \mathbf {N}$można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia naszereg potęgowy,gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

$\exp \mathbf {N} =\mathbf {I} +\mathbf {N} +{\tfrac {1}{2!}}\mathbf {N} ^{2}+{\tfrac {1}{3!}}\mathbf {N} ^{3}+\ldots +{\tfrac {1}{(q-1)!}}\mathbf {N} ^{q-1},$

jeśli$\forall _{k\geqslant q}\;\mathbf {N} ^{k}=\mathbf {0}.$

Zbiory i liczby kardynalne

Zapis$A^{n},$gdzie$A$jestzbiorem,a$n$liczbą naturalnąoznacza najczęściej$n$-krotnyiloczyn kartezjańskizbioru$A.$

Zapis$A^{B},$gdzie$A$i$B$są zbiorami, oznacza zbiór wszystkichfunkcji$f$o dziedzinie$B$i przeciwdziedzinie$A.$Zastępując zbiory ichmocami,otrzymuje siędefinicje potęgowanialiczb kardynalnych.

Zastosowania

Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw.przedrostki układu SI,w szczególności wnotacji naukowejdo zapisywania wielkich liczb iwielkości fizycznych.

Z racji konstrukcji współczesnych komputerów winformatyceczęsto spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład$2^{n}$jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z$n$bitów(każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich$n$). Z tego powodu zwykle operuje się teżwielokrotnościamiliczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzyoktet(lubbajt), szesnaście –słowo.Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np.kilobajtto 1024, a nie 1000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw.przedrostki dwójkowe).

Funkcji wykładnicza$\exp,$czyli funkcja wykładnicza o podstawie$e,$jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często wanalizie matematycznejczyrachunku prawdopodobieństwa.

Potęgowanie modulo jest używane wkryptografii,np. w algorytmieRSA.

Algorytmika

Złożoność obliczeniowanaiwnegoalgorytmupotęgowania (zob. wzór po(2)) wynosi$\operatorname {O} (n)$.Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywanyalgorytmem szybkiego potęgowania,korzystający z metodydziel i zwyciężaj,którego złożoność obliczeniowa jest rzędu$\operatorname {O} (\log n)$.

Historia

Współczesny symbol potęgowania został wprowadzony przezKartezjuszaw dzieleGeometria.Oprócz współczesnej notacji Kartezjusz używał także zapisu wykładnika dokładnie nad wyrażeniem, które podnosił do potęgi.

Dawniej stosowano nazwy potęg oparte na kwadracie i sześcianie:

Potęga	Nazwa arabska	NazwaDiofantosa
a	Radix (pierwiastek)	Latus (flanka)/Radix
a2	Quadratum (kwadrat)	Quadratum
a3	Cubus (sześcian)	Cubus
a4	Quadratoquadratum/Biquadratum	Quadratoquadratum
a5	Surdesolidum (głucha bryła)	Quadratocubus
a6	Quadratum cubi	Cubobubus
a7	Surdesolidum secundum	Quadratoquadratocubus
a8	Quadrati quadrati quadratum	Quadratocubocubus
a9	Cubus cubi	Cubocubocubus
a10	Quadratum surdesolidi
a11	Surdesolidum tertium

Zobacz też

• funkcja W Lamberta

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Tomasz Miller,Potęgowanie i „najpiękniejszy wzór matematyki” | Zacznijmy od zera #4,kanałCentrum Kopernika Badań InterdyscyplinarnychnaYouTube,23 listopada 2021 [dostęp 2023-11-26].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W.,Power,[w:]MathWorld,Wolfram Research(ang.).[dostęp 2024-02-02].
• Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W.,Exponent Laws,[w:]MathWorld,Wolfram Research(ang.).[dostęp 2024-02-02].
• Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W.,Complex Exponentiation,[w:]MathWorld,Wolfram Research(ang.).[dostęp 2024-02-02].
• Power(ang.),Encyclopedia of Mathematics, encyclope điểu fmath.org [dostęp 2024-02-02].