Teoria Galois

Évariste Galois(1811–1832)

Teoria Galois– działmatematyki wyższejdefiniowany dwojako:

• w sensie węższym jest to gałąźalgebry abstrakcyjnejstosującateorię grupdo badaniaciałiwielomianów;
• w sensie szerszym jest badanie różnychstrukturza pomocą ich grupautomorfizmów.

Dziedzinę tę stworzył w I połowie XIX wiekuÉvariste Galois,od którego nazwiska jest nazwana. Opisał on związki międzypierwiastkamirzeczywistych i zespolonychwielomianówza pomocągrup permutacji;zasadnicze twierdzenie teorii Galoispodajewarunek równoważnyna rozwiązalność równania wielomianowego przezpierwiastniki.Tym sposobem podał on nowy dowódtwierdzenia Abela-Ruffiniegoi rozszerzył ten wynik negatywny o wynik pozytywny – wskazując, kiedy rozwiązanie równań tym sposobem jest możliwe. Galois podał też wszystkieciała skończone.Późniejsi badacze jakRichard Dedekind,Leopold Kronecker,Emil Artini inni opracowali nowe podejście do tej dyscypliny, oparte na badaniurozszerzeń ciałoraz automorfizmów tych rozszerzeń. Ten obszar badań bywa nazywanyalgebraiczną teorią Galoisdla kontrastu z późniejsząróżniczkową teorią Galois,która bada rozwiązalność liniowychrównań różniczkowych.

Teoria Galois dostarcza też prostego dowoduzasadniczego twierdzenia algebry.Czasem do wyników tej dziedziny zalicza się też warunek konstruowalności pewnych figur przezkonstrukcje klasyczne,ponieważ jest on sformułowany w języku rozszerzeń ciał. Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoriapołączeń Galois.

Historia

Początki teorii Galois sięgają badań nadfunkcjami symetrycznymi– współczynniki wielomianu są (z dokładnością do znaku)elementarnymi wielomianami symetrycznymipierwiastków. Przykładowo$(x-a)(x-b)=x^{2}-(a+b)x+ab,$gdzie$a+b$i$ab$są wielomianami elementarnymi stopni pierwszego i drugiego dwóch zmiennych.

Jako pierwszy formalnie ujął to szesnastowieczny matematyk francuskiFrançois Viètew tzw.wzorach Viète’adla dodatnich pierwiastków rzeczywistych. W opinii osiemnastowiecznego matematyka brytyjskiegoCharlesa Huttonawyrażenie współczynników wielomianu za pomocą pierwiastków (nie tylko dodatnich) zostało po raz pierwszy w pełni zrozumiane przez siedemnastowiecznego matematyka francuskiegoAlberta Girarda;Hutton pisze:

…[Girard był] pierwszą osobą, która zrozumiała ogólną metodę tworzenia współczynników potęg z sum pierwiastków i ich iloczynów. Był pierwszym, który odkrył zasady sumowania potęg pierwiastków dowolnego równania.

W duchu tymwyróżniknależy postrzegać jako symetryczną funkcję pierwiastków odzwierciedlającą ich własności – jest on równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastek wielokrotny, a dla wielomianów kwadratowych i sześciennych jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ich pierwiastki są rzeczywiste i różne oraz ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para różnych sprzężonych pierwiastków zespolonych.

Ogólne rozwiązanie równań sześciennych zostało częściowo podane przez żyjącego na przełomie XV i XVI wieku matematyka włoskiegoScipione del Ferrę;nie opublikował on jednak swoich wyników – jego metoda dawała rozwiązanie tylko dla jednej z trzech klas tych równań, które nie wymagają brania pierwiastków kwadratowych zliczb ujemnych.Należy jednak zaznaczyć, że nie znano jeszcze wówczasliczb zespolonych.Rozwiązanie to zostało niezależnie odkryte na nowo w 1535 roku przezNiccolò Fontanę Tartaglię,który podzielił się tym sekretem zGerolamo Cardanoprosząc go o jego niepublikowanie. Cardano rozszerzył otrzymane rozwiązanie o dwa pozostałe przypadki wykorzystując jako kroki pośrednie pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych; zob.metoda Cardano.Po odkryciu prac Ferra stwierdził on, że metoda Tartaglii nie jest już więcej tajemnicą, dlatego opublikował pełne rozwiązanie w pracy z1545roku pt.Ars Magna.Jego studentLodovico Ferraripodał rozwiązania dla wielomianów czwartego stopnia, które Cardano zawarł w swoimArs Magna.

Kolejnym kamieniem milowym była praca francusko-włoskiego matematykaJosepha Louisa Lagrange’az 1770 roku zatytułowanaRéflexions sur la résolution algébrique des équations,w której korzystając z opracowanej przez siebie metody znanej dziś jakorezolwenty Lagrange’aanalizował on rozwiązania Cardano i Ferrariego dla równań trzeciego i czwartego stopnia poprzez wyrażanie ich jakopermutacjipierwiastków. Poprzez wprowadzenie pomocniczego wielomianu trzeciego stopnia podejście to umożliwiło całościowe traktowanie rozwiązań, co niejako położyło podwaliny pod teorię grup i teorię Galois. Należy zaznaczyć, że Lagrange nie rozpatrywałzłożeńpermutacji. Ponadto metoda Lagrange’a nie obejmowała równań piątego stopnia i wyższych, gdyż rezolwenta ma wtedy wyższy stopień.

Fakt, iż nie można podać ogólnego rozwiązania równań piątego stopnia wyrażonych przezpierwiastniki,został nieomalże dowiedzione przezPaolo Ruffiniegow1799roku: kluczem było wykorzystaniegruppermutacji,a nie tylko pojedynczej permutacji. Rozwiązanie przez niego podane zawierało lukę, którąCauchyuważał za możliwą do uzupełnienia; mimo wszystko nie udało się jej usunąć nikomu, aż do 1824 roku, kiedy to norweski matematykNiels Henrik Abelopublikował dowód twierdzenia znanego dziś jakotwierdzenie Abela-Ruffiniego.

Choć Ruffini i Abel dowiedli, żeogólnerozwiązanie równań piątego stopnia nie istnieje, to jednak istniejąszczególnerozwiązania pewnych równań piątego stopnia; przykładem może być wielomian$(x-1)^{5}.$Dokładne kryterium określające rozwiązalnośćdanegowielomianu piątego lub wyższego stopnia zostało sformułowane przezÉvariste’a Galoisw 1830 roku, który pokazał, że rozwiązalność wielomianu jest równoważna temu, czy grupa permutacji jego pierwiastków ma określoną strukturę – w języku współczesnym: czy jegogrupa Galoisjestrozwiązalna.Grupa ta jest zawsze rozwiązalna dla wielomianów stopnia czwartego i mniejszych, jednak nie zawsze dla wielomianów stopnia piątego i wyższych, co tłumaczy, dlaczego nie istnieją ogólne rozwiązania równań wyższych stopni.

Twórcy teorii, Abel i Galois, zwracali uwagę na znaczenie ich odkryć dla teorii funkcji zespolonych, np.funkcji eliptycznych;później okazało się, że mieli rację: odpowiednie grupy Galois niezależnie zdefiniowano topologicznie, jako grupyprzekształceń nakrywającychrozgałęzionychnakryćsfery.

Teoria Galois, a właściwie prace Galois, Abela i Ruffiniego nie znalazły szerokiego oddźwięku wśród współczesnych, co było zarówno kwestią mody (brak zainteresowania matematyką dyskretną), jak i zwięzłości stylu oraz krótkiego życia twórców. Teoria Galois uzyskała rozgłos dziękiJosephowi Liouville’owi,który wydał prace Galois iCamille’owi Jordanowi,a głównie jegoTraité des substitutions et des équations algebraiquez 1870 roku. Jordan podjął badania tam, gdzie zakończyła je śmierć Galois, co umożliwiło dalszy rozwój teorii grup.

Teoria Galois podlegała dalszemu rozwojowi w XX wieku, np. opracowano teorię Galois dla pierścieni, znalazła także szereg zastosowań wteorii liczb algebraicznych,teorii algebr nad ciałami,wgeometrii algebraicznej;rozwinęły się z niej nowe dziedziny, np.kohomologie Galois.W samej teorii Galois wciąż intensywnie badane jest na przykładzagadnienie odwrotne teorii Galois.

Podejście klasyczne

Może się zdarzyć, że dla danego wielomianu niektóre z jego pierwiastków związane są ze sobą różnego rodzajurównaniami algebraicznymi.Przykładowo może okazać się, że dla dwóch spośród jego pierwiastków oznaczanych dalej$A$i$B$spełnione jest równanie$A^{2}+5B^{3}=7.$Zasadniczą ideą teorii Galois jest rozpatrywanie tychpermutacji(uporządkowań) pierwiastków, dla którychdowolnerównanie algebraiczne spełniane przez te pierwiastki jestnadal spełnianepo zmianie uporządkowania pierwiastków. Istotne jest zastrzeżenie ograniczenia się do równań algebraicznych o współczynnikachwymiernych(można również określić pewneciało,do którego powinny należeć współczynniki, lecz w poniższych prostych przykładach wykorzystywane będzie ciało liczb wymiernych).

Permutacje te tworzą razemgrupę permutacjinazywanągrupą Galoiswielomianu (nad liczbami wymiernymi). Wyjaśnione to zostanie w przykładzie.

Przykład: równanie kwadratowe

Niech dane będzierównanie kwadratowe

$x^{2}-4x+1=0.$

Rozwiązując je znajduje się dwa pierwiastki

$A=2+{\sqrt {3}},$

$B=2-{\sqrt {3}}.$

Równaniami algebraicznymi spełnianymi przez$A$i$B$są m.in.

$A+B=4$

oraz

$AB=1.$

Oczywiście zamieniając w dowolnym z powyższych równań kolejność pierwiastków$A$i$B$uzyskuje się inne prawdziwe zdanie. Przykładowo$A+B=4$staje się po prostu$B+A=4.$Co więcej, choć jest to mniej oczywiste, że jest tak dlakażdegorównania algebraicznegoo współczynnikach wymiernych spełnianego przez pierwiastki$A$i$B;$dowiedzenie tego wymaga teoriiwielomianów symetrycznych.

Można więc wnosić, że grupa Galois wielomianu$x^{2}-4x+1$składa się z dwóch permutacji: permutacji tożsamościowej, która pozostawia$A$i$B$niezmienionymi oraz permutacjatransponująca,która zamienia$A$i$B.$Jest togrupa cyklicznarzędu dwa, jest więcizomorficznaz$\mathbb {Z} _{2}.$

Można by przypuszczać, iż$A$i$B$związane są ze sobą jeszcze jednym równaniem algebraicznym,

$A-B-2{\sqrt {3}}=0,$

któreniejest spełnione przy zamianie$A$i$B.$Równanie to nie jest jednak istotne, gdyż nie ma ono współczynników wymiernych; w szczególności liczba$-2{\sqrt {3}}$jestniewymierna.

Podobnie ma się rzecz z dowolnym wielomianem kwadratowym$ax^{2}+bx+c,$gdy$a,b,c$są liczbami wymiernymi.

• Jeżeli wielomian ma tylko jeden pierwiastek, np.$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},$to grupa Galois jesttrywialna,tzn. zawiera wyłącznie permutację tożsamościową.
• Jeżeli ma on dwa różnewymiernepierwiastki, przykładowo$x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1),$to grupa Galois znowu jest trywialna.
• Jeżeli ma ona dwaniewymiernepierwiastki (także, gdy są onezespolone), to grupa Galois zawiera dwie permutacje, jak w powyższym przykładzie.

Przykład: równanie dwukwadratowe

Zadaniem jest opisanie grupy Galois, znowu nad ciałemliczb wymiernych,wielomianu

$x^{4}-10x^{2}+1,$

który może być zapisany jako

$(x^{2}-5)^{2}-24.$

Ma on cztery pierwiastki:

$A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},$

$B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},$

$C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},$

$D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.$

Istnieją 24 sposoby ich uporządkowania, jednak nie wszystkie z tych permutacji należą do grupy Galois. Elementy grupy Galois muszą zachowywać dowolne równanie algebraiczne o współczynnikach wymiernych zawierające$A,B,C,D.$Jednym z nich jest

$A+D=0.$

Jednakże ponieważ

$A+C=2{\sqrt {3}}\neq 0,$

to permutacja

$(A,B,C,D)\mapsto (A,B,D,C)$

nie jest dozwolona: przekształca ona poprawne równanie$A+D=0$w nieprawidłowe równanie$A+C=0.$

Innym równaniem, które spełniają pierwiastki jest

$(A+B)^{2}=8.$

Wyklucza ona kolejne permutacje, takie jak np.

$(A,B,C,D)\mapsto (A,C,B,D).$

Kontynuując w ten sposób okazuje się, że jedynymi permutacjami (spełniającymi jednocześnie oba równania) są

$(A,B,C,D)\mapsto (A,B,C,D),$

$(A,B,C,D)\mapsto (C,D,A,B),$

$(A,B,C,D)\mapsto (B,A,D,C),$

$(A,B,C,D)\mapsto (D,C,B,A),$

w ten sposób grupa Galois jest izomorficzna zczwórkową grupą Kleina.

Podejście współczesne

We współczesnym podejściu wychodzi się odrozszerzenia ciała$L/K$(czytaj:LprzezK) i bada grupęautomorfizmówciała$L/K;$są to odwzorowania postaci$\ Alpha \colon L\to L,$gdzie$\ Alpha (x)=x$dla wszystkich$x$należących do$K.$Obserwującpunkty stałewspomnianych automorfizmów bada się w istocie najmniejsze rozszerzenie ciała, w którym dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe (tzn. ma wszystkiepierwiastki).

Związek między tymi dwoma podejściami jest jak następuje. Współczynniki badanego wielomianu powinny być wybrane z ciała bazowego$K.$Ciało nakrywające$L$powinno być ciałem uzyskanym poprzez dołączenie pierwiastków badanego wielomianu do ciała bazowego. Każda permutacja pierwiastków spełniających równania algebraiczne, jak to opisano wyżej, odpowiada pewnemu automorfizmowi$L/K$(i na odwrót).

W pierwszym z powyższych przykładów badano rozszerzenie$\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q},$gdzie$\mathbb {Q}$jest ciałemliczb wymiernych,zaś$\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$jest ciałem uzyskanym z$\mathbb {Q}$poprzez dołączenie${\sqrt {3}}.$W drugim przypadku badano rozszerzenie$\mathbb {Q} (A,B,C,D)/\mathbb {Q}.$

Istnieje kilka istotnych powodów, dla których dziś preferuje się raczej podejście współczesne, a nie klasyczne podejście opisane wyżej:

• Wyrażeniepodstawowego twierdzenia teorii Galoisjest istotnie prostsze.
• W wielu działach matematyki wykorzystanie ciała bazowego innego niż$\mathbb {Q}$jest kluczowe. Przykładowo walgebraicznej teorii liczbteorię Galois wykorzystuje się często stosując jako ciała bazoweciała liczbowe,ciała skończone,czyciała lokalne.
• Badanie rozszerzeń nieskończonych jest znacząco prostsze, co znowu jest sprawą kluczowej wagi w algebraicznej teorii liczb, gdzie na przykład rozważa się częstoabsolutną grupę Galoisciała$\mathbb {Q}$określoną jako grupę Galois$K/\mathbb {Q},$gdzie$K$jestdomknięciem algebraicznym$\mathbb {Q}.$
• Umożliwia rozważanierozszerzeń nierozdzielczych.Problem ten nie powstaje w ramach teorii klasycznej, ponieważ zawsze cicho zakłada się, iż arytmetyka ma miejsce w cielecharakterystykizero. Mimo wszystko w teorii liczb igeometrii algebraicznejspotyka się często ciała niebędące charakterystyki zero.
• Usuwa raczej sztuczne poleganie na poszukiwaniu pierwiastków wielomianu: różne wielomiany mogą dawać te same rozszerzenia ciał, zaś podejście współczesne dostrzega związek między tymi wielomianami.

Grupy rozwiązalne i rozwiązania pierwiastnikowe

Abel zauważył, że ciało$L$powstaje z ciała$K$przez dołączenie pewnej liczby pierwiastków różnych stopni z elementów ciała$K,$gdy grupa Galois rozszerzenia$L/K$jest przemienna – stąd też pochodzi inna nazwa tych grup:grupa abelowa.Oznacza to, że pierwiastki wielomianu dają się wyrazić przez elementy ciała$K$przy pomocypierwiastników,tzn. czterech działań ciała i pierwiastków elementów z ciała.

Pojęciegrupy rozwiązalnejzteorii grupumożliwia określenie, czy dany wielomian jest rozwiązalny za pomocą pierwiastników w zależności od tego, czy jego grupa Galois ma własność rozwiązalności (twierdzenie Galois). Dokładniej, każde rozszerzenie ciała$L/K$odpowiadagrupie ilorazowejwciągu kompozycyjnymgrupy Galois. Jeżeli grupa ilorazowa ciągu kompozycyjnego jestcyklicznarzędu$n,$a odpowiadające jej rozszerzenie ciała zawierapierwiastek pierwotny z jedynki,to jest to rozszerzenie pierwiastnikowe i elementy$L$mogą być wówczas wyrażone za pomocąpierwiastka$n$-tego stopnia pewnego elementu z$K.$

Jeżeli wszystkie grupy ilorazowe ciągu kompozycyjnego są cykliczne, to grupę Galois nazywa sięrozwiązalnąi wszystkie elementy odpowiadającego ciała dają się wyrazić za pomocą wyciągania pierwiastków, brania iloczynów i sum elementów ciała bazowego, którym zwykle jest$\mathbb {Q}.$

Jednym z donioślejszych triumfów teorii Galois był dowód, że dla każdego$n>4$istnieją wielomiany stopnia$n,$które nie są rozwiązalne przy pomocy pierwiastników – tzw.twierdzenie Abela-Ruffiniego.Jest to spowodowane faktem, iż dla każdego$n>4$grupa symetryczna$S_{n}$zawieraprostą,niecyklicznąpodgrupę normalną(podgrupę alternującą).

Przykład: nierozwiązywalne równanie piątego stopnia

Van der Waerdencytuje wielomian$f(x)=x^{5}-x-1.$Na mocytwierdzenia o pierwiastkach wymiernychnie ma on wymiernych miejsc zerowych. Podobnie nie ma on czynników liniowychmodulo$2$lub$3.$

Wielomian$f(x)$rozkłada się na$(x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)$modulo$2,$co oznacza, że jej grupą Galois modulo$2$jest grupa cykliczna rzędu$6.$

Ponieważ$f(x)$nie ma czynnika kwadratowego modulo$3,$to jej grupa Galois modulo$3$ma rząd$5.$

Wiadomo,że grupa Galois moduloliczba pierwszajest izomorficzna zpodgrupągrupy Galois nad liczbami wymiernymi. Grupa permutacji pięciu obiektów o operacjach rzędów szóstego i piątego musi być grupą symetryczną$S_{5},$która to musi być grupą Galois$f(x).$Jest to jeden z prostszych przykładów nierozwiązywalnego wielomianu piątego stopnia.Serge Langtwierdził, że Artin szczególnie lubił ten przykład.

Zastosowania w konstrukcjach klasycznych

Teoria Galois podaje rozwiązania zadań konstrukcyjnych wykonywanych za pomocącyrkla i linijki;w tym przedstawia ona elegancką charakteryzację stosunków długości, które mogą być skonstruowane tą metodą, dzięki czemu względnie łatwoodpowiedzieć na takie klasyczne problemy geometrii jak:

• Dlaczego nie jest możliwe w ogólnym przypadkupodzielenie kąta na trzy równe części?,
• Czy można dla danego sześcianuskonstruować sześcian o dwa razy większej objętości?,
• Czy możnaskonstruować kwadrat o polu równym danemu kołu?(wykorzystując fakt, iż liczbapi(π) jestprzestępna);
• Którewielokątyforemne sąwielokątami konstruowalnymi?.

Odwrotne zagadnienie Galois

Wszystkie grupy skończone mogą wystąpić jako grupy Galois. Można podać konstrukcje rozszerzenia ciała z daną grupą skończoną jako grupą Galois rozszerzenia, o ile nie wskaże się uprzednio ciała wyjściowego.

Należy więc wskazać ciało$K$oraz grupę skończoną$G.$Twierdzenie Cayleyamówi, że$G$jest (z dokładnością do izomorfizmu) podgrupągrupy symetrycznej$S$elementów$G.$Wybrawszy niewiadome$\{x_{\ Alpha }\},$po jednej dla każdego elementu$\ Alpha$grupy$G,$dołącza się je do ciała$K,$aby uzyskać ciało$F=K{\bigl (}\{x_{\ Alpha }\}{\bigr )}.$Ciało$F$zawiera ciało$L$symetrycznychfunkcji wymiernychzmiennych$\{x_{\ Alpha }\}.$Grupą Galois rozszerzenia$F/L$jest$S,$co wynika z podstawowego wyniku Emila Artina. Grupa$G$działa na$F$poprzez zawężenie działania grupy$S.$Jeżeli$M$jest ciałem stałym tego działania, to zpodstawowego twierdzenia teorii Galoiswynika, że$G$jest grupą Galois$F/M.$

Otwartym problemem jest dowiedzenie istnienia rozszerzenia ciała liczb wymiernych$\mathbb {Q}$dla danej grupy skończonej jako jego grupy Galois. Hilbert brał udział w rozwiązywaniu problemu dla wszystkich grup symetrycznych i alternujących.Igor Shafarevichdowiódł, że każda rozwiązalna grupa skończona jest grupą Galois pewnego rozszerzenia$\mathbb {Q}.$Rozwiązano odwrotny problem Galois dla wybranych nieabelowychgrup prostych.Wykazano istnienie rozwiązań dla wszystkich poza co najwyżej jedną (grupą MathieuM₂₃) z 26 sporadycznych grup prostych. Istnieje nawet wielomian o współczynnikach całkowitych, którego grupą Galois jestgrupa Monster.

Bibliografia

• H. Gray Funkhouser.A short account of the history of symmetric functions of roots of equations.„American Mathematical Monthly”. 37 (7), 1930.DOI:10.2307/2299273.

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Stanisław Balcerzyk:Wstęp do algebry homologicznej.Warszawa: PWN, 1970.Brak numerów stron w książce
• Andrzej Białynicki-Birula:Zarys algebry.Warszawa: PWN, 1987.Brak numerów stron w książce
• J. Browkin:Teoria ciał.Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria:Biblioteka Matematyczna.Brak numerów stron w książce
• Serge Lang:Algebra.Warszawa: PWN, 1973.Brak numerów stron w książce
• Witold Więsław:Grupy, pierścienie, ciała.Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, 1983.Brak numerów stron w książce

Anglojęzyczna

• Emil Artin:Galois Theory.Dover Publications, 1998.ISBN0-486-62342-4.Brak numerów stron w książce(Przedruk wydania drugiego poprawionego z 1944 roku, Wydawnictwa Uniwersytetu Notre Dame).
• Jörg Bewersdorff:Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective.American Mathematical Society, 2006.ISBN0-8218-3817-2.Brak numerów stron w książce.
• Harold M. Edwards:Galois Theory.Springer-Verlag,1984.ISBN0-387-90980-X.Brak numerów stron w książce(Oryginalna praca Galois z wyczerpującym komentarzem).
• Nathan Jacobson:Basic Algebra I.Wyd. II. W.H. Freeman and Company, 1985.ISBN0-7167-1480-9.Brak numerów stron w książce(Rozdział 4 stanowi wprowadzenie do podejścia wykorzystującego teorię ciał do teorii Galois).
• G. Janelidze, Francis Borceux:Galois theories.Cambridge University Press,2001.ISBN978-0-521-80309-0.Brak numerów stron w książce(Książka stanowi wprowadzenie do teorii Galois Grothendericka i pewnych jej uogólnień zmierzając dogrupoidówGalois).
• Serge Lang:Algebraic Number Theory.Berlin, Nowy Jork:Springer-Verlag,1994.ISBN978-0-387-94225-4.Brak numerów stron w książce
• M.M. Postnikov:Foundations of Galois Theory.Dover Publications, 2004.ISBN0-486-43518-0.Brak numerów stron w książce
• Ian Stewart:Galois Theory.Chapman and Hall, 1989.ISBN0-412-34550-1.Brak numerów stron w książce
• Helmut Völklein:Groups as Galois groups: an introduction.Cambridge University Press,1996.ISBN978-0-521-56280-5.Brak numerów stron w książce
• Bartel Leendert van der Waerden:Algebra.1930.Brak numerów stron w książce
• Florian Pop:(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic.2001.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• MariaM.Donten-BuryMariaM.,Symetrie ciał i grupy: teoria Galois,„Delta”,październik 2017,ISSN0137-3005[dostęp 2022-07-02].

Obcojęzyczne

• Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W.,Galois Theory,[w:]MathWorld,Wolfram Research[dostęp 2020-12-12](ang.).

Samouczki on-line dotyczące teorii Galois można znaleźć na:

• https://web.archive.org/web/20201019222130/http:// math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
• http:// jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Podręczniki online w językach francuskim, niemieckim, włoskim i angielskim znajdują się na:

• http:// galois-group.net/