Área

Áreaé umconceitomatemáticoque pode ser definida como quantidade deespaçobidimensional, ou seja, desuperfície.

O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área${\frac {9}{4}}\pi$e o triângulo tem área${\frac {9}{2}}.$

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada ometro quadrado(m²) e os seusmúltiplos e sub-múltiplos.São também muito usadas as medidas agrárias:are,que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplohectare,que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são oacree oalqueire.

Nageografiaecartografia,o termo "área" corresponde àprojeçãonumplanohorizontal de uma parte dasuperfície terrestre.Assim, a superfície de umamontanhapoderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo umafunçãoade uma coleçãoMde figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

• Para qualquerSemM,a(S) ≥ 0.
• SeSeTestão emMentãoS∪TeS∩Ttambém estão e, além disso,a(S∪T) =a(S) +a(T) −a(S∩T).
• SeSeTestão emMeS⊆TentãoT−Sestá emMea(T−S) =a(T) −a(S).
• Se um conjuntoSestá emMeSé congruente aTentãoTtambém está emMea(S) =a(T).
• Todo retânguloRestá emM.Se o retângulo tem largurahe alturakentãoa(R) =hk.
• SejaQum conjunto limitado entre duasregiões com degraus,SeT.Umaregião com degrausé formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é,S⊆Q⊆T.Se existe um único númeroctal quea(S) ≤ c ≤a(T) para quaisquer regiõesstepSeT,entãoa(Q) =c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.

Unidades

Ver artigo principal:Unidades de área

Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cadaunidade de comprimentotem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado essecomprimento.Desta forma, as áreas podem ser medidas emmetros quadrados(²),centímetros quadrados(cm²),milímetros quadrados(mm²),quilómetros quadrados(km²),pés quadrados(ft²),jardas quadradas(yd²),milhas quadradas(mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado umaunidade derivada de SI.

Conversões

Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1Pé= 12polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

• 1 quilómetro quadrado = 1milhãode metros quadrados;
• 1 metro quadrado =10 000centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
• 1 centímetro quadrado =100milímetros quadrados;
• 1 jarda quadrada =9pés quadrados;
• 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.

Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. Oarefoi aunidade de medidaoriginal dosistema métricopara a área:

• 1 are = 100 metros quadrados.

Embora o are tenha caído em desuso, ohectareainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:

• 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem atétrade,hectadeemiríade.

Oacretambém é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:

• 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

História

Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas àgeometriae desenvolvidas pelos seres humanos ao longo daevolução humana.

Dentre os principaismatemáticosda antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-seTales de Mileto(VI a.C.), naGrécia,importando a geometria utilizada pelos egípcios;Pitágoras,conhecido pelo teorema aplicado aotriângulo retânguloque recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século,"os Elementos”deEuclidestrouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais comoponto,retaecírculo,como também nos cincopostulados.É um sistemaaxiomáticoque surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos naMesopotâmiae noEgito,os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.

No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento dacircunferênciae a área docírculo.Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos$C=2\pi r$,onde$\pi$vale aproximadamente$3,14$.

Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se queAmósis,um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com$A=\pi r^{2}$,com$\pi$valendo aproximadamente$3,14$.

Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia àmatemática,navegaçãoereligião.Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento doUniversoampliava-se velozmente e aescola de Pitágorasfez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a comoesféricaao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Fórmulas de cálculo

Retângulo

Retângulo com árealw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a doretângulo Dado um retângulo com basele alturaw,a sua área é:

$A=l\times w$(área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendolo comprimento do seu lado, a sua área é:

$A=l^{2}$(área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como umadefiniçãoouaxioma. Tendo ageometriasido desenvolvida antes daaritmética,o conceito de área pode ser usado para definir amultiplicaçãodenúmeros reais.

Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método dadissecção.Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, umparalelogramopode ser dividido numtrapezoidee numtriângulo retângulo,como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais.

$A=b\times h$(área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triânguloscongruentesatravés de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

$A={\frac {b\times h}{2}}$(área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas dotrapezoide,dolosangoe de outrospolígonosmais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

$A={\frac {B+b}{2}}\times h$(B = base maior; b = base menor; h = altura)

Área do losango:

$A={\frac {D\times d}{2}}$(D =diagonalmaior; d = diagonal menor)

Área de qualquerpolígono regular:

${\frac {P\times a}{2}}$(P =perímetro;a = comprimento doapótema)^{[carece de fontes]}

Círculo

Círculo dividido em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

A área de umcírculotambém pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo comraio$r$é possível dividi-lo emsetores.Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é$r$e a largura é metade dacircunferênciado círculo, ou seja,$\pi r.$Resulta que a área do círculo é$r\times \pi r,$ou seja,$\pi r^{2}$

$A=\pi \times r^{2}$(área do círculo; r = raio)

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.

Olimiteda área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente$\pi r^{2},$que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos docálculo.No passado, ométodo da exaustãofoi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor docálculo integral.Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando umintegral:

$A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.$

Área de uma superfície

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de umcilindropode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de umconepode ser cortada e endireitada numsetorde um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de umaesferaé mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos comcurvatura gaussianadiferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foiArquimedesna sua obraSobre a Esfera e o Cilindro.Provou que a área evolumeda esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos docálculo.

Á área de uma esfera com raio$r$é:

$A=4\pi r^{2}$(área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comumente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero	${\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$	$L$é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$	$p$é metade do perímetro,$a,$$b$e$c$é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo	${\tfrac {1}{2}}ab\mathrm {sen} \,(C)$	$a$e$b$são quaisquer dois lados, e$C$é o ângulo entre eles.
Triângulo	${\tfrac {1}{2}}bh$	$b$e$h$são abaseealtura(medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado	$l^{2}$	$l$é o comprimento de um dos lados do quadrado.
Retângulo	$ab$	$a$e$b$são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$e$b$são o comprimento de cada uma dasdiagonaisdo losango.
Paralelogramo	$bh$	$b$é o comprimento da base e$h$é a altura medida na perpendicular.
Trapézio	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h$	$a$e$b$são os lados paralelos e$h$a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágonoregular	${\frac {3L^{2}}{2}}{\sqrt {3}}$	$L$é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógonoregular	$2(1+{\sqrt {2}})l^{2}$	$l$é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular	${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)$	$l$é o comprimento de um dos lados e$n$o número de lados.
Polígono regular	${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \mathrm {sen} \,(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)$	$R$é o raio do círculo circunscrevente,$r$o raio do círculo interior, e$n$é o número de lados.
Polígono regular	${\tfrac {1}{2}}ap$	$a$é oapótema(raio do círculo interior ao polígono) e$p$é o perímetro do polígono.
Círculo	$\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$é o raio e$d$odiâmetro.
Setor circular	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$	$r$e$\theta$são, respetivamente, o raio e ângulo (emradianos).
Elipse	$\pi ab$	$a$e$b$são osemieixo maioresemieixo menor,respetivamente.
Área total da superfície docilindro	$2\pi r(r+h)$	$r$e$h$são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro	$2\pi rh$	$r$e$h$são o raio e altura do cilindro.
Superfície total docone	$\pi r(r+l)$	$r$e$l$são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total daesfera	$4\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ \pi d^{2}$	$r$e$d$são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total dapirâmide	$B+{\frac {PL}{2}}$	$B$é a área da base,$P$o perímetro da base e$L$a distância do vértice aos cantos da base.

Aplicações

Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

Notação

Usa-se a escrita$(ABC...N)$para indicar a área de um polígono de$N$vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

Área de um triângulo

Critério para equivalência de triângulos

Propriedade 1

Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.

Demonstração:Dadas duas retas paralelas$r$e$s$,a uma distância$d$,marcamos sobre a reta$r$,os pontos$A$e$B$,e sobre a reta$s$,marcamos os pontos,$C$e$C^{\prime }$,conforme figura abaixo.

Essa é uma consequência docorolário:Sejam$ABC$e$ABC^{\prime }$triângulos tais que$AB//CC^{\prime }$.Então$(ABC)=(ABC^{\prime })$.

Analisando as áreas dos triângulos$ABC$e$ABC^{\prime }$,temos que:

$(ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}$

$(ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}$

Assim, como$r//s$e a distância de$r$a$s$dada por$d(r,s)=d$,se$A$e$B$pertencem a reta$r$e$C$pertence a reta$s$,obtendo um ponto qualquer$C^{\prime }$sobre a reta$s$,temos$AB//CC^{\prime }$,portanto os dois triângulos$ABC$e$ABC^{\prime }$possuem a mesma base$AB$e a mesma altura$d$,logo suas áreas são iguais.

Propriedade 2

Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.

Na triângulo$ABC$,foi traçada umacevianaa partir do vértice$A$intersectando o lado$BC$no ponto$X$,ficando assim determinados dois triângulos:$AXB$e$AXC$,de mesma altura$AH$.

Demonstração:Fazendo a razão entre as áreas temos,

${\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}$

Portanto,

${\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}$

Triângulos semelhantes

Ver artigo principal:Semelhança de triângulos

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.

Sejam$ABC$e$MNP$dois triângulos semelhantes, sendo$k$a razão de semelhança entre seus lados:

${\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k$,então temos${\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}$

Demonstração:Como$NP=k\cdot BC$e$HM=k\cdot AH$,temos pelas áreas dos triângulos:

${\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}$

Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança$k$entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será$k^{2}$.

A prova doteorema de Pitágorase outrasrelações métricas no triângulo retânguloatravés do cálculo de áreas

Seja$ABC$um triângulo retângulo no vértice$A$,onde a hipotenusa$BC=a$,e seus catetos$AB=c$e$AC=b$,considerando ainda a altura relativa à hipotenusa$AH=h$,bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa$BH=m$e$CH=n$,temos:

Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:

• I.$ah=bc$
• II.$c^{2}=am$e$b^{2}=na$
• III.$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Demonstração I:

I.a) Calculando a área$(ABC)$a partir da base$BC$e altura$AH$:

$(ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h$

I.b) Calculando a área$(ABC)$a partir da base$AC$e altura$AB$:

$(ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c$

Decorre de I.a) e I.b) temos que$(ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c$.

Logo$a\cdot h=b\cdot c$

Demonstração II:

II.a) Dado o triângulo$ABC$,retângulo em$A$,constrói-se quadrados sobre a hipotenusa$BC$e os catetos$AC$e$AB$,respectivamente de medidas$a$,$b$e$c$.Depois prolonga-se a altura$AH$até interceptar o lado$FG$do quadrado$BCGF$no ponto$I$.

Observando os segmentos paralelos$BG$e$AI$,percebe-se dois triângulos$GBA$e$GBH$de mesma área, cujas bases medem$a$e as alturas medem$m$.

Assim,$(GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m$

Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos$GBA$e$BDC$são congruentes pelo caso LAL, pois$BD\equiv BA$,$BC\equiv BG$e$\angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }$.Logo,$(BDC)=(GBA)$.E como os segmentos$BD$e$AC$são paralelos temos que$(BDA)=(BDC)$,visto que a base$BD$e a altura$AB$são comuns aos dois triângulos.

Assim:$BD=AB=c$,então$(BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}$

Daí,$(GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am$

II.b) De maneira análoga, é provado que$b^{2}=an$

Como$AI//CF$,temos nos triângulos$ACF$e$HCF$que$(ACF)=(HCF)$,pois possuem a mesma base$CF$e mesma altura$CH$,sendo assim:

$(ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}$

Temos ainda que os triângulos$BCJ$e$ACF$são congruentes pelo caso LAL, pois$AC\equiv CJ=b$;$CF\equiv BC=a$;$\angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }$.Então, como$AK//CJ$temos:

$(ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}$

Portanto, da congruência$BCJ$e$ACF$,temos:

$(BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an$

Demonstração III:

De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:

$b^{2}=an$e$c^{2}=am$,logo$b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)$

Como$n+m=a$,temos:

$b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$(Teorema de Pitágoras)

Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:

$BCJ\equiv ACF$,pelo caso LAL, então$(BCJ)=(ACF)$.Temos também que$(ACJ)=(BCJ)=(ACF)$e$(ACF)=(CHF)=(BCJ)$.Daí,$(ACJ)=(CHF)$.

Logo,$(ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)$.

Por outro lado, da demonstração II. b), onde$GBA\equiv BDC$,pelo caso LAL, então$(GBA)=(BDC)$.Temos ainda que$(ABD)=(BDC)=(ABG)$e$(ABG)=(BHG)=(BDC)$.Daí,$(ABD)=(BHG)$.

Logo,$(ABDE)=2(ABD)=2(BHG)$.

Portanto, analisando a área do quadrado$BCGF$de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:

$(BCFG)=(CHIF)+(BHGI)$

$(BCFG)=2(CHF)+2(BHG)$

$(BCFG)=(ACJK)+(ABDE)$

Concluindo,$(BCFG)=a^{2}$,$(ACJK)=b^{2}$e$(ABDE)=c^{2}$

Então,$a^{2}=b^{2}+c^{2}$(Teorema de Pitágoras)

Área de um trapézio

No trapézio$ABCD$de altura$h$,temos os lados paralelos$AB$e$DC$,tal que $AB=a$e$DC=b$.

Demonstração:Vamos supor, sem perda de generalidade, que$AB>DC$,e traçar pelo vértice$B$um segmento paralelo ao lado$AD$de forma que intercepte o lado$DC$no ponto$E$. Assim, como$AB//DC$e$AD//BE$,temos o paralelogramo$ABED$de altura$h$e base$DE=AB=a$,e temos ainda um triângulo$BCE$de base$EC=DC-DE=b-a$,e altura$h$.

Note que:

$(ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}$

Portanto,

$(ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}$

Área de um losango

De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então$(ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD$.

Demonstração:Dado o losango$ABCD$,cujas diagonais interceptam-se no ponto$M$,simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais$AC$e$BD$.

Como$AB=BC=CD=DA$,os triângulos determinados pelas diagonais$AC$e$BD$,sãoisóscelese como$M$é ponto médio destas diagonais, temos que,$AM=MC$,$BM=MD$,portanto os triângulos$ABD$e$BCD$sãocongruentespelo caso LAL, assim como os triângulos$ADC$e$ABC$,pelo mesmo caso.

Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal$BD$.

$(ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM$

$(ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)$.

Como$AM+MC=AC$,temos:

$(ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD$

Ver também

• Unidades de área
• Volume
• Comprimento da circunferência

Ligações externas

WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades