Divisão

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Divisãoé aoperação matemáticainversa damultiplicação.O ato de dividir por algum elemento de umconjuntosó faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for umafunção bijetora.

Ilustração de 20 maçãs dividas igualmente em 4 grupos, totalizando 5 maças em cada grupo.

Noaneldosnúmeros inteirosa hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se definedivisão por zero.

Propriedades importantes

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que adivisão por zeronão produz como resultado um número real.

Nos números inteiros

Os números inteiros não formam umcorpo,portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que odividendonão é um múltiplo dodivisoré necessário definirquocienteeresto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com$b\geq a$), oquocienteda divisão de a por b é omaior número inteiro q tal que$bq\leq a$.Orestoda divisão de a por b com quociente q é onúmero inteiro r tal que$r=a-bq.$

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção decongruência.

Nosnúmeros racionais,reaise em outroscorpos

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional$q_{1}={\frac {a}{b}}$por$q_{2}={\frac {c}{d}}$(com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

${\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Em$\mathbb {Z} _{13}$(grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

${\frac {7}{5}}=7.5^{-1}=7.8=4$

Divisão de polinômios

Pode-se definir a operação de divisão parapolinômios.Então, como no caso dos inteiros, tem-se umresto.Vejadivisão polinomial.

Em estruturas mais gerais

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio darelação de ordem,pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos comdomínios euclidianos.

Representação

Sejamaebelementos do conjunto dos números inteiros, ebdiferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:

• Como umafração:${\frac {a}{b}},$(utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
• Através de umabarrainclinada:${}^{a}\!{/}\!{}_{b}$.(É utilizado para fazer operações em computadores);
• Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles:$a\div b$;
• Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal:$a:b$;
• Usando a notação doinverso multiplicativo:$ab^{-1}$.

Divisão de números consecutivos

Seja o número impar${\textstyle a>1}$e o seu consecutivo${\textstyle a+1}$.

Seja a divisão$a/(a+1)=s$.Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente$s$é menor do que$1$e tende para$1$com o aumento de$a$,então$\lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente$s$apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão$(a+1)/a=s'$.Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente$s'$é maior do que$1$e tende para$1$com o aumento de$a$,então$\lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente$s'$apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposições para$s,s'$ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

Divisão entre números consecutivos

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

Caso 1

sejam dois números consecutivos$A,B$com$A>B$e de paridade par.

A divisão$A/B=1+1/B$,e a outra divisão$B/A=1-1/A$.

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número$10$é dada por$10=2.5$,então a fração$1/B$só não será uma dizima infinita quando$B=5^{n}$pois$B$é um número de paridade impar.

A fração$1/A$só não será uma dizima infinita quando$A=2^{m}.10^{n}$.

A expressão$5^{n}$termina sempre com o número$25$exceto para$n=1$.

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número$A$tem que terminar com o número$26$exceto para o primeiro caso onde$A=6$,e o número$A$,terá que ser da forma$2^{m}$onde a expressão$1/A$não será uma dizima infinita.

Como os números da forma$2^{m}$com algarismo$6$na na última posição são sempre terminados em$16,56,96,36,76$jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo$25,26$e com a propriedade de serem da forma$5^{n},2^{m}$.

Caso 2

Sejam dois números consecutivos$B,A$com$B>A$e de paridade impar.

A divisão$B/A=1+1/A$e a outra divisão$A/B=1-1/B$

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número$10$é$10=2.5$,então a fração$1/A$só não uma dizima infinita quando$A=2^{m}$.

A fração$1/B$só não será uma dizima infinita quando$B=5^{n}$.

A expressão$5^{n}$termina sempre no número$25$exceto para$n=1$.

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número$A$tem que terminar em$24$,exceto para o primeiro caso onde$A=4$,e número$A$terá que ser da forma$2^{m}$,onde a expressão$1/A$não será uma dizima infinita.

O valor de$A$só termina em$24$,para$m=10,30,50,70,90,110...$e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em$25$é da forma$5^{n}$,impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em$24,25$que sejam da forma$2^{m},5^{n}$.

Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria, pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.

Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.

Ver também

• Critérios de divisibilidade
• Divisão por zero
• Multiplicação
• Anel (matemática)
• Corpo (matemática)
• Algoritmo de Euclides

Referências

• Vianna, João José Luiz (1914).Elementos de Arithmetica15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves
• Serrasqueiro, José Adelino (1906).Tratado de Algebra Elementar9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Piresi

Ligações externas

• Wikcionário

• Explicando o Algoritmo da Divisão