Latitude

Emgeografia,latitudeé umacoordenadaque especifica a posiçãonorte–sulde um ponto na superfície daTerraou de outro corpo celeste. A latitude é dada como um ângulo que varia de −90° no polo sul a 90° no polo norte, com 0° noEquador.Linhas de latitude constante,ouparalelos,correm de leste a oeste como círculos paralelos ao equador. Latitude elongitudesão usadas juntas como um par de coordenadas para especificar uma localização na superfície da Terra.

Grade da Terra. As linhas verticais de polo a polo são linhas de constantelongitude,oumeridianos.Os círculos paralelos aoequadorsão linhas de constante latitude, ouparalelos.A grade mostra a latitude e a longitude dos pontos na superfície. Neste exemplo, os meridianos estão espaçados a intervalos de 6° e os paralelos a intervalos de 4°.

Por si só, o termo "latitude" normalmente se refere àlatitude geodésica,conforme definido abaixo. Resumidamente, a latitude geodésica de um ponto é o ângulo formado entre o vetor perpendicular (ounormal) à superfície elipsoidal a partir do ponto e oplano do equador.

Contexto

Dois níveis de abstração são empregados nas definições de latitude e longitude. No primeiro passo, a superfície física é modelada pelogeoide,uma superfície que se aproxima donível médio do marsobre os oceanos e sua continuação sob as massas terrestres. O segundo passo é aproximar o geoide por uma superfície de referência matematicamente mais simples. A escolha mais simples para a superfície de referência é umaesfera,mas o geoide é mais precisamente modelado por umelipsoide de revolução.As definições de latitude e longitude em tais superfícies de referência são detalhadas nas seções seguintes. Linhas de latitude e longitude constantes juntas constituem umagradena superfície de referência. A latitude de um ponto na superfícierealé aquela do ponto correspondente na superfície de referência, a correspondência sendo ao longo danormalà superfície de referência, que passa pelo ponto na superfície física. Latitude e longitude, juntamente com alguma especificação dealtura,constituem umsistema de coordenadas geográficasconforme definido na especificação da norma ISO 19111.

Como existem muitoselipsoides de referênciadiferentes, a latitude precisa de uma característica na superfície não é única: isso é destacado na norma ISO, que afirma que "sem a especificação completa do sistema de referência de coordenadas, as coordenadas (ou seja, latitude e longitude) são, na melhor das hipóteses, ambíguas e, na pior, sem sentido". Isso é de grande importância em aplicações precisas, como oSistema de Posicionamento Global(GPS), mas no uso comum, onde não é necessária alta precisão, o elipsoide de referência geralmente não é declarado.

Em textos em inglês, o ângulo de latitude, definido abaixo, é geralmente denotado pela letra grega minúsculaphi(ϕouφ). É medido emgraus,minutos e segundosougraus decimais,ao norte ou ao sul do equador. Para fins de navegação, as posições são dadas em graus e minutos decimais. Por exemplo, o farol deThe Needlesestá a 50°39.734′ N 001°35.500′ W.

Este artigo relaciona-se a sistemas de coordenadas para a Terra: ele pode ser adaptado para cobrir a Lua, planetas e outros objetos celestes (latitude planetográfica).

Para um breve histórico, vejaHistória da latitude.

Determinação

Ver também:Determinação da longitude

Mais informações:Navegação celestial § Latitude

Nanavegação celestial,a latitude é determinada pelo método daaltura do meridiano. Medições mais precisas de latitude requerem uma compreensão do campo gravitacional da Terra, seja para configurarteodolitosou para determinar as órbitas dos satélites GPS. O estudo daforma da Terrajuntamente com seu campo gravitacional é a ciência dageodesia.

Latitude na esfera

Uma vista em perspectiva da Terra mostrando como latitude ($\phi$) e longitude ($\lambda$) são definidas em um modelo esférico. O espaçamento da grade é de 10 graus.

A grade na esfera

A grade é formada pelas linhas de latitude constante e longitude constante, que são construídas com referência ao eixo de rotação da Terra. Os pontos de referência primários são ospolosonde o eixo de rotação da Terra intersecta a superfície de referência. Planos que contêm o eixo de rotação intersectam a superfície nosmeridianos;e o ângulo entre qualquer plano meridiano e aquele através de Greenwich (oMeridiano Principal) define a longitude: meridianos são linhas de longitude constante. O plano através do centro da Terra e perpendicular ao eixo de rotação intersecta a superfície em um grande círculo chamadoEquador.Planos paralelos ao plano equatorial intersectam a superfície em círculos de latitude constante; esses são os paralelos. O Equador tem latitude de 0°, oPolo Nortetem latitude de 90° Norte (escrito 90° N ou +90°), e oPolo Sultem latitude de 90° Sul (escrito 90° S ou −90°). A latitude de um ponto arbitrário é o ângulo entre o plano equatorial e o normal à superfície nesse ponto: o normal à superfície da esfera está ao longo do vetor radial.

A latitude, conforme definida desta forma para a esfera, é frequentemente chamada de latitude esférica, para evitar ambiguidades com a latitude geodésica e as latitudes auxiliares definidas nas seções subsequentes deste artigo.

Latitudes nomeadas na Terra

A orientação da Terra no solstício de dezembro

Além do equador, outros quatro paralelos são significativos:

Círculo Polar Ártico	66° 34′ (66.57°) N
Trópico de Câncer	23° 26′ (23.43°) N
Trópico de Capricórnio	23° 26′ (23.43°) S
Círculo Polar Antártico	66° 34′ (66.57°) S

O plano da órbita da Terra ao redor do Sol é chamado deeclíptica,e o plano perpendicular ao eixo de rotação da Terra é o plano equatorial. O ângulo entre a eclíptica e o plano equatorial é chamado de inclinação axial, obliquidade ou inclinação da eclíptica, e é convencionalmente denotado pori.A latitude dos círculos tropicais é igual aie a latitude dos círculos polares é seu complemento (90° -i). O eixo de rotação varia lentamente ao longo do tempo e os valores fornecidos aqui são para aépocaatual. A variação do tempo é discutida mais detalhadamente no artigo sobreinclinação axial.

A figura mostra a geometria de umasecção transversaldo plano perpendicular à eclíptica e através dos centros da Terra e do Sol no solstício de dezembro, quando o Sol está diretamente sobre algum ponto doTrópico de Capricórnio.As latitudes polares sul abaixo doCírculo Polar Antárticoestão sob luz do dia, enquanto as latitudes polares norte acima do Círculo Polar Ártico estão na noite. A situação é invertida no solstício de junho, quando o Sol está diretamente sobre o Trópico de Câncer. Apenas nas latitudes entre os doistrópicosé possível que o Sol esteja diretamente acima (nozênite).

Emprojeções de mapasnão há uma regra universal sobre como os meridianos e paralelos devem aparecer. Os exemplos abaixo mostram os paralelos nomeados (como linhas vermelhas) na projeção deMercatorcomumente usada e na projeção deMercator Transversa.Na primeira, os paralelos são horizontais e os meridianos são verticais, enquanto na última não há relação exata entre paralelos e meridianos com horizontais e verticais: ambos são curvas complicadas.

	Mercator Normal		Mercator Transversa
		\

Latitude no elipsoide

Elipsoides

Ver artigo principal:Elipsoide de revolução

Em 1687,Isaac Newtonpublicou oPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica,no qual ele provou que um corpo fluido auto-gravitante em rotação em equilíbrio assume a forma de um elipsoideoblato.(Este artigo usa o termoelipsoideem preferência ao termo mais antigoesferoide.) O resultado de Newton foi confirmado por medições geodésicas no século XVIII. (VejaArco de meridiano.) Um elipsoide oblato é a superfície tridimensional gerada pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo mais curto (eixo menor). "Elipsoide oblato de revolução" é abreviado para 'elipsoide' no restante deste artigo. (Elipsoides que não possuem um eixo de simetria são denominadostriaxiais.)

Muitoselipsoides de referênciadiferentes foram usados na história dageodesia.Antes dos satélites, eles foram desenvolvidos para fornecer um bom ajuste aogeoidesobre a área limitada de um levantamento, mas, com o advento doGPS,tornou-se natural usar elipsoides de referência (como oWGS84) com o centro no centro de massa da Terra e eixo menor alinhado com o eixo de rotação da Terra. Esses elipsoides geocêntricos geralmente estão dentro de 100 m (330 pé) do geoide. Como a latitude é definida em relação a um elipsoide, a posição de um determinado ponto é diferente em cada elipsoide: não se pode especificar exatamente a latitude e longitude de uma característica geográfica sem especificar o elipsoide usado. Muitos mapas mantidos por agências nacionais são baseados em elipsoides mais antigos, então é necessário saber como os valores de latitude e longitude são transformados de um elipsoide para outro. Dispositivos GPS incluem software para realizartransformações de datumque ligam o WGS84 ao elipsoide de referência local com sua grade associada.

A geometria do elipsoide

Uma esfera de raioacomprimida ao longo do eixozpara formar um elipsoide oblato de revolução.

A forma de um elipsoide de revolução é determinada pela forma daelipseque é rotacionada ao redor de seu eixo menor (mais curto). São necessários dois parâmetros. Um é invariavelmente o raio equatorial, que é osemi-eixo maior,a.O outro parâmetro é geralmente (1) o raio polar ousemi-eixo menor,b;ou (2) oachatamento(primeiro),f;ou (3) aexcentricidade,e.Esses parâmetros não são independentes: eles estão relacionados por

$f={\frac {a-b}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.$

Muitos outros parâmetros (vejaelipse,elipsoide) aparecem no estudo da geodesia, geofísica e projeções de mapas, mas todos podem ser expressos em termos de um ou dois membros do conjuntoa,b,fee.Tantofquantoesão pequenos e frequentemente aparecem em expansões em série em cálculos; eles são da ordem de1298e 0,0818, respectivamente. Valores para vários elipsoides são fornecidos emForma da Terra.Os elipsoides de referência são geralmente definidos pelo semi-eixo maior e peloachatamento inverso,1f.Por exemplo, os valores de definição para o elipsoideWGS84,usado por todos os dispositivos GPS, são

• a(raio equatorial): 63 78 137,0 m exatamente
• 1f(achatamento inverso): 298,257223563 exatamente

dos quais são derivados

• b(raio polar):7006635675231425000♠6356752.31425m
• e²(excentricidade ao quadrado): 0,006 694 379 990 14

A diferença entre os semi-eixos maior e menor é cerca de 21 km e como fração do semi-eixo maior, é igual ao achatamento; em um monitor de computador, o elipsoide poderia ser dimensionado como 300 por 299 pixels. Isso mal seria distinguível de uma esfera de 300 por 300 pixels, então as ilustrações geralmente exageram o achatamento.

Latitudes geodésica e geocêntrica

Ver também:Coordenadas geodésicas § Geodésica vs. coordenadas geocêntricas

A definição de latitude geodésica ($\phi$) e longitude ($\lambda$) em um elipsoide. A normal à superfície não passa pelo centro, exceto no equador e nos polos.

A grade no elipsoide é construída exatamente da mesma forma que na esfera. A normal em um ponto na superfície de um elipsoide não passa pelo centro, exceto para pontos no equador ou nos polos, mas a definição de latitude permanece inalterada como o ângulo entre a normal e o plano equatorial. A terminologia para latitude deve ser tornada mais precisa distinguindo:

• Latitude geodésica:o ângulo entre a normal e o plano equatorial. A notação padrão em publicações em inglês éϕ.Esta é a definição assumida quando a palavra latitude é usada sem qualificação. A definição deve ser acompanhada por uma especificação do elipsoide.
• Latitude geocêntrica(também conhecida comolatitude esférica,após oÂngulo polar 3D): o ângulo entre o raio (do centro ao ponto na superfície) e o plano equatorial. (Figuraabaixo). Não há notação padrão: exemplos de vários textos incluemθ,ψ,q,ϕ′,ϕ_c,ϕ_g.Este artigo usaθ.

Latitude geográficadeve ser usada com cuidado, pois alguns autores a usam como sinônimo de latitude geodésica, enquanto outros a usam como alternativa àlatitude astronômica."Latitude" (não qualificada) deve normalmente se referir à latitude geodésica.

A importância de especificar o datum de referência pode ser ilustrada por um exemplo simples. No elipsoide de referência para WGS84, o centro daTorre Eiffeltem uma latitude geodésica de 48° 51′ 29″ N, ou 48.8583° N e longitude de 2° 17′ 40″ E ou 2.2944°E. As mesmas coordenadas no datumED50definem um ponto no solo que está 140 metros (460 pés) distante da torre.^{[carece de fontes]}Uma busca na web pode produzir vários valores diferentes para a latitude da torre; o elipsoide de referência raramente é especificado.

Distância do meridiano

Ver artigo principal:Arco de meridiano

Ver também:Comprimento de um grau de longitude

O comprimento de um grau de latitude depende daforma da Terraassumida.

Distância do meridiano na esfera

Na esfera, a normal passa pelo centro e a latitude (ϕ) é portanto igual ao ângulo subtendido no centro pelo arco do meridiano do equador até o ponto em questão. Se adistância do meridianofor denotada porm(ϕ)então

$m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {graus} }=R\phi _{\mathrm {radianos} }$

ondeRdenota oraio médioda Terra.Ré igual a 6 371 km ou 3 959 milhas. Nenhuma precisão mais alta é apropriada paraR,pois resultados de maior precisão exigem um modelo elipsoide. Com este valor paraR,o comprimento do meridiano de 1 grau de latitude na esfera é de 111,2 km (69,1 milhas estatutárias) (60,0 milhas náuticas). O comprimento de 1 minuto de latitude é de 1 853 km (1 151 milhas estatutárias) (1,00 milhas náuticas), enquanto o comprimento de 1 segundo de latitude é de 30,8 m ou 101 pés (vejamilha náutica).

Distância do meridiano no elipsoide

EmArco de meridianoe textos padrãoé mostrado que a distância ao longo de um meridiano da latitudeϕaté o equador é dada por (ϕem radianos)

$m(\phi )=\int _{0}^{\phi }M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '$

ondeM(ϕ)é oraio de curvaturameridional.

A distância domeridiano de um quartodo equador até o polo é

$m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,$

ParaWGS84esta distância é 10 001,965 729 km.

A avaliação da integral da distância do meridiano é central para muitos estudos em geodesia e projeção de mapas. Ela pode ser avaliada expandindo a integral pela série binomial e integrando termo por termo: vejaArco de meridianopara detalhes. O comprimento do arco do meridiano entre duas latitudes dadas é obtido substituindo os limites da integral pelas latitudes em questão. O comprimento de umpequenoarco de meridiano é dado por

$\delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi$

$\phi$	Δ1 lat	Δ1 long
0°	110,574 km	111,320 km
15°	110,649 km	107,550 km
30°	110,852 km	96,486 km
45°	111,132 km	78,847 km
60°	111,412 km	55,800 km
75°	111,618 km	28,902 km
90°	111,694 km	0,000 km

Quando a diferença de latitude é de 1 grau, correspondente aπ180radianos, a distância do arco é de aproximadamente

$\Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}$

A distância em metros (correta até 0,01 metro) entre as latitudes$\phi$− 0,5 graus e$\phi$+ 0,5 graus no elipsoide WGS84 é

$\Delta _{\text{lat}}^{1}=111\ 132,954-559,822\cos 2\phi +1,175\cos 4\phi$

A variação dessa distância com a latitude (noWGS84) é mostrada na tabela juntamente com ocomprimento de um grau de longitude(distância leste-oeste):

$\Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,$

Uma calculadora para qualquer latitude é fornecida pelaAgência Nacional de Inteligência Geoespacial(NGA) do governo dos EUA.

O gráfico a seguir ilustra a variação de um grau de latitude e de um grau de longitude com a latitude.

A definição de latitude geodésica (ϕ) e latitude geocêntrica (θ).

Latitudes auxiliares

Existem seislatitudes auxiliaresque têm aplicações para problemas especiais em geodesia, geofísica e teoria de projeções de mapas:

• Latitude geocêntrica
• Latitude paramétrica (ou latitude reduzida)
• Latitude retificadora
• Latitude autálica
• Latitude conforme
• Latitude isométrica

As definições dadas nesta seção relacionam-se a locais na superfície de referência elipsoidal, mas as duas primeiras latitudes auxiliares, como a latitude geodésica, podem ser estendidas para definir umsistema de coordenadas geográficastridimensional, como discutidoabaixo.As demais latitudes não são usadas dessa forma; são usadasapenascomo construções intermediárias em projeções de mapas do elipsoide de referência para o plano ou em cálculos de geodésicas no elipsoide. Seus valores numéricos não são de interesse. Por exemplo, ninguém precisaria calcular a latitude autálica da Torre Eiffel.

As expressões abaixo fornecem as latitudes auxiliares em termos da latitude geodésica, do semi-eixo maior,a,e da excentricidade,e.(Para inversos, vejaabaixo.) As formas fornecidas são, exceto variantes notacionais, aquelas na referência padrão para projeções de mapas, a saber "Map projections: a working manual" de J. P. Snyder.Derivações dessas expressões podem ser encontradas em Adamse publicações online de Osbornee Rapp.

Latitude geocêntrica

Ver também:§ Latitudes geodésica e geocêntrica

A definição de latitude geodésica (ϕ) e latitude geocêntrica (θ)

Alatitude geocêntricaé o ângulo entre o plano equatorial e o raio do centro para um ponto de interesse.

Quando o ponto está na superfície do elipsoide, a relação entre a latitude geocêntrica (θ) e a latitude geodésica (ϕ) é:

$\theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.$

Para pontos que não estão na superfície do elipsoide, o relacionamento envolve adicionalmente aaltura elipsoidalh:

$\theta (\phi,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)$

ondeNé o raio de curvatura do primeiro vertical. As latitudes geodésica e geocêntrica são iguais no equador e nos polos, mas em outras latitudes elas diferem por alguns minutos de arco. Tomando o valor da excentricidade ao quadrado como 0,0067 (depende da escolha do elipsoide), pode-se mostrar que a diferença máxima de$\phi {-}\theta$é de cerca de 11,5 minutos de arco a uma latitude geodésica de aproximadamente 45° 6′.

Latitude paramétrica (ou reduzida)

Definição da latitude paramétrica (β) no elipsoide

Alatitude paramétricaoulatitude reduzida,β,é definida pelo raio desenhado do centro do elipsoide até aquele pontoQna esfera circundante (de raioa) que é a projeção paralela ao eixo da Terra de um pontoPno elipsoide na latitudeϕ.Foi introduzida por Legendree Besselque resolveram problemas para geodésicas no elipsoide transformando-os em um problema equivalente para geodésicas esféricas usando esta latitude menor. A notação de Bessel,u(ϕ),também é usada na literatura atual. A latitude paramétrica está relacionada à latitude geodésica por:

$\beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)$

O nome alternativo surge da parametrização da equação da elipse descrevendo uma seção meridiana. Em termos de coordenadas cartesianasp,a distância do eixo menor, ez,a distância acima do plano equatorial, a equação daelipseé:

${\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.$

As coordenadas cartesianas do ponto são parametrizadas por

$p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;$

Cayley sugeriu o termolatitude paramétricapor causa da forma dessas equações.

A latitude paramétrica não é usada na teoria das projeções de mapas. Sua aplicação mais importante é na teoria das geodésicas elipsoidais, (Vincenty,Karney).

Latitude retificadora

Ver também:Raio retificador

Alatitude retificadora,μ,é a distância do meridiano escalonada de modo que seu valor nos polos seja igual a 90 graus ouπ2radianos:

$\mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}$

onde a distância do meridiano do equador até uma latitudeϕé (vejaArco de meridiano)

$m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,$

e o comprimento do quadrante do meridiano do equador ao polo (adistância polar) é

$m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.$

Usar a latitude retificadora para definir uma latitude em uma esfera de raio

$R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}$

define uma projeção do elipsoide para a esfera de modo que todos os meridianos tenham comprimento verdadeiro e escala uniforme. A esfera pode então ser projetada para o plano com umaprojeção equirretangularpara dar uma projeção dupla do elipsoide para o plano, de modo que todos os meridianos tenham comprimento verdadeiro e escala meridiana uniforme. Um exemplo do uso da latitude retificadora é aprojeção cônica equidistante.(Snyder, Seção 16).A latitude retificadora também é de grande importância na construção daProjeção de Mercator Transversa.

Latitude autálica

Ver também:Raio autálico

Alatitude autálica(do grego para "mesma área"),ξ,fornece uma projeção deárea igualpara uma esfera.

$\xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)$

onde

${\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}$

e

${\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}$

e o raio da esfera é tomado como

$R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.$

Um exemplo do uso da latitude autálica é aprojeção cônica de Albers de área igual.

Latitude conforme

Alatitude conforme,χ,fornece uma transformação que preserva o ângulo (conforme) para a esfera.

${\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}$

ondegd(x)é aFunção Gudermanniana.(Veja tambémProjeção de Mercator.)

A latitude conforme define uma transformação do elipsoide para uma esfera deraio arbitráriode modo que o ângulo de interseção entre quaisquer duas linhas no elipsoide seja o mesmo que o ângulo correspondente na esfera (de modo que a forma depequenoselementos seja bem preservada). Uma nova transformação conforme da esfera para o plano dá uma projeção conforme dupla do elipsoide para o plano. Esta não é a única forma de gerar tal projeção conforme. Por exemplo, a versão 'exata' daProjeção de Mercator Transversano elipsoide não é uma projeção dupla. (Ela envolve, no entanto, uma generalização da latitude conforme para o plano complexo).

Latitude isométrica

Alatitude isométrica,ψ,é usada no desenvolvimento das versões elipsoidais daProjeção de Mercatornormal e daProjeção de Mercator Transversa.O nome "isométrica" surge do fato de que em qualquer ponto do elipsoide, incrementos iguais deψe longitudeλdão origem a deslocamentos de distância iguais ao longo dos meridianos e paralelos, respectivamente. Agradedefinida pelas linhas de constanteψe constanteλ,divide a superfície do elipsoide em uma malha de quadrados (de tamanho variável). A latitude isométrica é zero no equador, mas diverge rapidamente da latitude geodésica, tendendo ao infinito nos polos. A notação convencional é dada em Snyder (página 15):

${\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}$

Para anormalProjeção de Mercator (no elipsoide), esta função define o espaçamento dos paralelos: se o comprimento do equador na projeção éE(unidades de comprimento ou pixels), então a distância,y,de um paralelo de latitudeϕdo equador é

$y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.$

A latitude isométricaψestá intimamente relacionada à latitude conformeχ:

$\psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.$

Fórmulas inversas e séries

As fórmulas nas seções anteriores fornecem a latitude auxiliar em termos da latitude geodésica. As expressões para as latitudes geocêntrica e paramétrica podem ser invertidas diretamente, mas isso é impossível nos quatro casos restantes: as latitudes retificadora, autálica, conforme e isométrica. Existem dois métodos para prosseguir.

• O primeiro é uma inversão numérica da equação de definição para cada valor particular da latitude auxiliar. Os métodos disponíveis sãoiteração de ponto fixoeNewton–Raphsonpara encontrar raízes.
  • Ao converter de isométrica ou conforme para geodésica, duas iterações de Newton-Raphson fornecem precisãodupla precisão.
• A outra abordagem, mais útil, é expressar a latitude auxiliar como uma série em termos da latitude geodésica e, em seguida, inverter a série pelo método daReversão de Lagrange.Tais séries são apresentadas por Adams, que usa expansões em séries de Taylor e fornece coeficientes em termos da excentricidade.Orihuelafornece séries para as conversões entre todos os pares de latitudes auxiliares em termos do terceiro achatamento,n= (a-b)/(a+b).Karneyestabelece que os erros de truncamento para tais séries são consistentemente menores que as séries equivalentes em termos da excentricidade. O método de séries não é aplicável à latitude isométrica e deve-se encontrar a latitude conforme em um passo intermediário.

Comparação numérica de latitudes auxiliares

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O gráfico à direita mostra a diferença entre a latitude geodésica e as latitudes auxiliares, exceto a latitude isométrica (que diverge ao infinito nos polos), para o caso do elipsoide WGS84. As diferenças mostradas no gráfico estão em minutos de arco. No hemisfério norte (latitudes positivas),θ≤χ≤μ≤ξ≤β≤ϕ;no hemisfério sul (latitudes negativas), as desigualdades são invertidas, com igualdade no equador e nos polos. Embora o gráfico pareça simétrico em torno de 45°, os mínimos das curvas na verdade se situam entre 45° 2′ e 45° 6′. Alguns pontos de dados representativos são fornecidos na tabela abaixo. As latitudes conforme e geocêntrica são praticamente indistinguíveis, fato que foi explorado nos dias dos cálculos manuais para agilizar a construção de projeções de mapas.

Na primeira ordem no achatamentof,as latitudes auxiliares podem ser expressas comoζ=ϕ−Cfsin 2ϕonde a constanteCassume os valores [1⁄2,2⁄3,3⁄4,1, 1] para ζ= [β,ξ,μ,χ,θ].

Diferença aproximada da latitude geodésica (ϕ)

ϕ	Paramétrica β−ϕ	Autálica ξ−ϕ	Retificadora μ−ϕ	Conforme χ−ϕ	Geocêntrica θ−ϕ
0°	0,00′	0,00′	0,00′	0,00′	0,00′
15°	−2.88′	−3,84′	−4,32′	−5,76′	−5,76′
30°	−5,00′	−6,66′	−7,49′	−9,98′	−9,98′
45°	−5,77′	−7,70′	−8,66′	−11,54′	−11,55′
60°	−5,00′	−6,67′	−7,51′	−10,01′	−10,02′
75°	−2,89′	−3,86′	−4,34′	−5,78′	−5,79′
90°	0,00′	0,00′	0,00′	0,00′	0,00′

Latitude e sistemas de coordenadas

A latitude geodésica, ou qualquer uma das latitudes auxiliares definidas no elipsoide de referência, constitui com a longitude umsistema de coordenadasbidimensional nesse elipsoide. Para definir a posição de um ponto arbitrário é necessário estender tal sistema de coordenadas para três dimensões. Três latitudes são usadas desta forma: as latitudes geodésica, geocêntrica e paramétrica são usadas em coordenadas geodésicas, coordenadas polares esféricas e coordenadas elipsoidais, respectivamente.

Coordenadas geodésicas

Ver artigo principal:Coordenadas geodésicas

Coordenadas geodésicasP(ɸ,λ,h)

Em um ponto arbitrárioP,considere a linhaPNque é normal ao elipsoide de referência. As coordenadas geodésicasP(ɸ,λ,h)são a latitude e longitude do pontoNno elipsoide e a distânciaPN.Essa altura difere da altura acima do geoide ou de uma altura de referência, como a altura acima do nível médio do mar em um local específico. A direção dePNtambém diferirá da direção de uma linha vertical de prumo. A relação dessas diferentes alturas requer conhecimento da forma do geoide e também do campo gravitacional da Terra.

Coordenadas polares esféricas

Coordenada geocêntrica relacionada às coordenadas polares esféricasP(r,θ′,λ)

A latitude geocêntricaθé o complemento doângulo polaroucolatitudeθ′nas coordenadaspolares esféricasconvencionais nas quais as coordenadas de um ponto sãoP(r,θ′,λ)onderé a distância dePdo centroO,θ′é o ângulo entre o vetor radial e o eixo polar eλé a longitude. Como a normal em um ponto geral no elipsoide não passa pelo centro, é claro que os pontosP'na normal, que têm todos a mesma latitude geodésica, terão latitudes geocêntricas diferentes. Sistemas de coordenadas polares esféricas são usados na análise do campo gravitacional.

Coordenadas harmônicas elipsoidais

Coordenadas elipsoidaisP(u,β,λ)

A latitude paramétrica também pode ser estendida para um sistema de coordenadas tridimensional. Para um pontoPque não está no elipsoide de referência (semieixosOAeOB), construa um elipsoide auxiliar que seja confocal (mesmos focosF,F′) com o elipsoide de referência: a condição necessária é que o produtoaedo semieixo maior e da excentricidade seja o mesmo para ambos os elipsoides. Sejauo semi-eixo menor (OD) do elipsoide auxiliar. Além disso, sejaβa latitude paramétrica dePno elipsoide auxiliar. O conjunto(u,β,λ)define ascoordenadas harmônicas elipsoidaisou simplesmentecoordenadas elipsoidais(embora esse termo também seja usado para se referir à coordenada geodésica). Essas coordenadas são a escolha natural em modelos do campo gravitacional para um corpo elipsoidal em rotação. O acima se aplica a um elipsoide biaxial (um esferoide, como emcoordenadas esferoidais oblatas); para uma generalização, vejacoordenadas elipsoidais triaxiais.

Conversões de coordenadas

As relações entre os sistemas de coordenadas acima e também as coordenadas cartesianas não são apresentadas aqui. A transformação entre coordenadas geodésicas e cartesianas pode ser encontrada emconversão de coordenadas geográficas.A relação entre coordenadas cartesianas e polares esféricas é dada emsistema de coordenadas esféricas.A relação entre coordenadas cartesianas e elipsoidais é discutida em Torge.

Latitude astronômica

1. Oceano
2. Elipsoide
3. Linha de prumo local
4. Continente
5. Geóide

Latitude astronômica(Φ) é o ângulo entre o plano equatorial e a verdadeiradireção verticalem um ponto na superfície. A verdadeira vertical, a direção de umalinha de prumo,é também adireção da gravidade(o resultado daaceleração gravitacional(baseada em massa) e daaceleração centrífuga) nessa latitude.A latitude astronômica é calculada a partir de ângulos medidos entre ozênitee estrelas cujadeclinaçãoé conhecida com precisão.

Em geral, a verdadeira vertical em um ponto na superfície não coincide exatamente com a normal ao elipsoide de referência ou com a normal ao geoide. O geoide é uma forma idealizada e teórica "ao nível médio do mar". Pontos em terra não estão exatamente no geoide, e a vertical em um ponto em um momento específico é influenciada por forças de maré que o geoide teórico média. O ângulo entre as normais astronômica e geodésica é chamado dedesvio verticale geralmente é de alguns segundos de arco, mas é importante na geodesia.

A latitude astronômica não deve ser confundida comdeclinação,a coordenada que osastrônomosusam de maneira semelhante para especificar a posição angular das estrelas ao norte-sul doequador celestial(vejacoordenadas equatoriais), nem comlatitude da eclíptica,a coordenada que os astrônomos usam para especificar a posição angular das estrelas ao norte-sul daeclíptica(vejacoordenadas eclípticas).

Ver também

• Altitude(nível médio do mar)
• Bowditch's American Practical Navigator
• Direção cardeal
• Círculo de latitude
• Colatitude
• Declinaçãonaesfera celeste
• Projeto de Confluência de Graus
• Geodesia
• Datum geodésico
• Sistema de coordenadas geográficas
• Distância geográfica
• Latitude geomagnética
• Geotagging
• Distância de círculo máximo
• História da latitude
• Latitudes dos cavalos
• Serviço Internacional de Latitude
• Lista de países por latitude
• Longitude
• Código de Área Natural
• Navegação
• Ordem de grandeza (comprimento)
• Sistema Geodésico Mundial

Referências

Ligações externas

• Servidor de Nomes GEONets.Arquivado em2008-03-09 noWayback Machine.acesso ao banco de dados de nomes de características geográficas estrangeiras daNational Geospatial-Intelligence Agency(NGA).
• Recursos para determinar sua latitude e longitudeArquivado em2008-05-19 noWayback Machine
• Converter graus decimais em graus, minutos, segundos
• Cálculo de distância com base em latitude e longitude– versão em JavaScript
• Levantamento de Latitude do Século XVI
• Determinação de Latitude por Francis Drake na Costa da Califórnia em 1579