Mostrar código-fonte de Paralelismo

[[Imagem:Parallel lines.png|thumb|200px|As retas a e b são paralelas.]]

Em [[geometria]], '''paralelismo''' é uma noção que indica se dois objetos ([[reta]]s ou [[plano (geometria)|plano]]s) estão na mesma direção.<ref>{{citar web|url=https://www.grupoescolar.com/pesquisa/paralelismo.html|titulo=Paralelismo|data=|acessodata=27 de julho de 2018|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>

==Paralelismo de duas retas no plano euclidiano==

Sejam duas [[Reta|retas]] <math>r</math> e <math>s</math> pertencentes a um [[Plano (geometria)|plano]] <math>A</math>. Diz-se que <math>r</math> é paralela a <math>s</math> (<math>r</math>//<math>s</math>) se, e somente se, <math>r</math> e <math>s</math> são coincidentes (<math>r</math> = <math>s</math>) ou se a [[Interseção|intersecção]] de <math>r</math> e <math>s</math> é um [[conjunto vazio]], ou seja, se elas não possuem [[Ponto (matemática)|pontos]] comuns.<ref name= ":0" >{{citar livro|título=Fundamentos da Matemática Elementar 9: geometria plana|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|ultimo2=Pompeo|primeiro2=José Nicolau|editora=Atual|ano=2013|edicao=9|local=São Paulo|páginas=|isbn=|acessodata=}}</ref>

===Teorema das retas paralelas===

''' "Se duas retas [[Coplanaridade|coplanares]] e distintas <math>r</math> e <math>s</math>, e uma [[transversal]] <math>t</math>, determinam um par de [[Ângulo|ângulos]] alternos (ou ângulos correspondentes) [[Congruência (geometria)|congruentes]], então <math>r</math> é paralela a <math>s</math>." ''' <ref name= ":0" /> <ref group = "demonstração" >

Demonstração:

Hipótese (fato, condição já definida no enunciado do teorema): <math>r</math>, <math>s</math>, <math>t</math> pertencem a um mesmo plano, supomos <math>\alpha</math>, com <math>r</math> distinta de <math>s</math> e os ângulos â e ê são congruentes (possuem a mesma [[Medida (matemática)|medida]]), sendo â e ê ângulos alternos das retas <math>r</math> e <math>s</math> interceptadas por <math>t</math>.

Tese (o que deve ser provado de acordo com o enunciado do teorema): <math>r</math> é paralela à <math>s</math> (<math>r</math> // <math>s</math>).

Sem perda de generalidade, supomos que â seja o ângulo pertencente a intersecção entre as retas <math>r</math> e <math>t</math> e que ê seja o ângulo pertencente à intersecção entre as retas <math>s</math> e <math>t</math>, onde â e ê são ângulos alternos internos.

Se <math>r</math> e <math>s</math> não fossem paralelas, então existiria um ponto <math>P</math> comum à <math>r</math> e à <math>s</math>, ou seja, <math>r</math> e <math>s</math> iriam se interseccionar. Considerando agora os pontos <math>A</math> e <math>B</math>, respectivamente intersecções das retas <math>r</math> e <math>s</math> com a transversal <math>t</math>, teríamos o [[triângulo]] ABP.

De acordo com o teorema do ângulo externo, que define que no triângulo, qualquer um de seus ângulos externos é maior do que cada um dos ângulos internos não [[Vizinhança (teoria dos grafos)|adjacentes]] a ele, teríamos as seguintes possibilidades:

# se o ângulo ê fosse interno ao triângulo ABP, então â seria maior que ê.
# se o ângulo â fosse interno ao triângulo ABP, então ê seria maior que â.

Por 1. e 2., segue que:
: â > ê ou ê > â

o que, de acordo com a hipótese â <math>\equiv</math> ê, é um absurdo.

Logo, <math>r</math> é paralela a <math>s</math> (ou <math>r</math> // <math>s</math>).

Note que se â e ê forem ângulos alternos externos congruentes, basta utilizar seus ângulos opostos pelo [[vértice]]. Suponha que sejam, respectivamente â' e ê'. Como â <math>\equiv</math> â' e ê <math>\equiv</math> ê', então â' <math>\equiv</math> ê'. Perceba que â' e ê' são ângulos alternos internos e o teorema vale, como provado anteriormente. Assim, segue que o teorema das retas paralelas vale para ângulos alternos externos congruentes.

Para provar o caso de ângulos correspondentes congruentes, basta utilizar novamente os ângulos opostos pelo vértice. Assim, se â e ê forem ângulos correspondentes (supomos â externo e ê interno), então representando o ângulo oposto pelo vértice de â por â', teríamos, â <math>\equiv</math> â' e â <math>\equiv</math> ê, de modo que, ê <math>\equiv</math> â'. Como ê e â' são ângulos alternos internos, segue que o teorema vale para ângulos correspondentes congruentes. </ref><ref name= ":0" />

O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:

Sejam <math>r</math> e <math>s</math> retas paralelas e distintas. Se <math>t</math> intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.<ref name= ":0" />

Caso as retas estejam no [[Espaço matemático|espaço]], então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.<ref>{{citar livro|título=Matemática: ciência e aplicações|ultimo=Iezzi|primeiro=Gelson|ultimo2=Dolce|primeiro2=Osvaldo|ultimo3=Degenszajn|primeiro3=David|ultimo4=Périgo|primeiro4=Roberto|ultimo5=Almeida|primeiro5=Nilze de|editora=Atual|ano=2004|edicao=2|local=São Paulo|páginas=|isbn=85-357-0426-4|acessodata=}}</ref> Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.

==Unicidade e transitividade do paralelismo de retas==
Também conhecido como postulado de Euclides ou [[postulado das paralelas]] define que:

"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." <ref name= ":0" />

Agora, caso <math>r</math> e <math>s</math> forem retas paralelas, bem como as retas <math>s</math> e <math>t</math> forem paralelas, vale que <math>r</math> e <math>t</math> serão paralelas. <ref name= ":1" >{{citar livro|título=Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|ultimo2=Pompeo|primeiro2=José Nicolau|editora=Atual|ano=2013|local=São Paulo|páginas=|acessodata=}}</ref>

==Paralelismo de uma reta e de um plano no espaço euclidiano==
No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.<ref>{{citar web|url=http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/Fundamentos_de_geometria_espacial-sergio-02.pdf|titulo=Fundamentos da geometria espacial|data=2013|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=|autor=Paulo Antônio Fonseca Machado}}</ref>

Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta <math>r</math> e um plano <math>\pi</math>, com <math>r</math> não contida em <math>\pi</math>, se existir uma outra reta <math>s</math> contida no plano <math>\pi</math>, de modo que <math>r</math> e <math>s</math> sejam paralelas, então a reta <math>r</math> será paralela ao plano <math>\pi</math>.<ref name= ":1" /> <ref group = "demonstração" >

Demonstração:

Seja <math>r</math> uma reta que não está contida no plano <math>\pi</math>. Ainda, por hipótese, seja <math>r</math> paralela a uma reta <math>s</math> contida em <math>\pi</math>. Logo, <math>r</math> e <math>s</math> não se interseccionam e existe um plano <math>\beta</math> que contém <math>r</math> e <math>s</math> (pela definição de retas paralelas). Por construção, <math>s</math> <math>\subset</math> <math>\beta</math> e <math>s</math> <math>\subset</math> <math>\alpha</math>, sendo <math>\beta</math> <math>\neq</math> <math>\pi</math>. Ou seja, <math>s</math> é a reta de intersecção dos planos <math>\alpha</math> e <math>\beta</math>. Supomos que <math>r</math> e <math>\pi</math> possuam um ponto <math>P</math> em comum. Portanto, segue que <math>P</math> <math>\in</math> <math>\pi</math> e <math>P</math> <math>\in</math> <math>\beta</math> (já que <math>r</math> <math>\subset</math> <math>\beta</math>). Desse modo, <math>P</math> pertence a intersecção de <math>\pi</math> e <math>\beta</math>, ou seja, <math>P</math> <math>\in</math> <math>s</math>. Logo, <math>P</math> <math>\in</math> <math>r</math> e <math>P</math> <math>\in</math> <math>s</math>, o que é um absurdo, pois, por hipótese, <math>r</math> e <math>s</math> são paralelas e não possuem pontos em comum. Assim, concluímos que <math>r</math> e <math>\pi</math> não possuem pontos em comum, e portanto, <math>r</math> é paralela à <math>\pi</math>. </ref> <ref name= ":1" />

Porém, caso a reta <math>r</math> e o plano <math>\pi</math> forem paralelos, então necessariamente a reta <math>r</math> será paralela a uma reta do plano <math>\pi.</math><ref name= ":1" /> <ref group = "demonstração" >

Demonstração:

Por hipótese, a reta <math>r</math> e o plano <math>\pi</math> são paralelos. Logo, eles não se interceptam. Construindo um plano <math>\alpha</math> que contenha a reta <math>r</math> e intercepte <math>\pi
</math>, obtém-se uma reta <math>s</math>, resultante da intersecção dos planos <math>\pi
</math> e <math>\alpha</math>. Note que as retas <math>r</math> e <math>s</math> pertencem ao plano <math>\alpha</math>, porém não possuem pontos em comum. Assim, segue pela definição de retas paralelas, que <math>r</math> é paralela a <math>s</math>, ou seja, <math>r</math> é paralela a uma reta do plano <math>\pi</math>. </ref> <ref name= ":1" />

==Paralelismo de planos no espaço euclidiano==
No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:

#se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
#se são coincidentes (iguais). <ref name= ":1" />

Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,<ref name= ":1" /> ou seja, para que dois planos distintos <math>\alpha</math> e <math>\pi</math> sejam paralelos, deve-se ter ou <math>\alpha</math> ou <math>\pi</math> com duas [[retas concorrentes]] que sejam paralelas ao outro plano.<ref name= ":4" >{{citar livro|título=Matemática: contexto e aplicações|ultimo=Dante|primeiro=Luiz Roberto|editora=Ática|ano=2010|volume=2|local=São Paulo|páginas=|acessodata=}}</ref>

Sendo assim, se dois planos <math>\alpha</math> e <math>\pi</math> são paralelos e distintos, todas as retas do plano <math>\alpha</math> são paralelas ao plano <math>\pi</math>, assim como todas as retas do plano <math>\pi</math> são paralelas ao plano <math>\alpha</math>. Ainda, cada uma das retas de <math>\pi</math> é paralela a pelo menos uma reta de <math>\alpha</math> e vice-versa.<ref name= ":4" />

== Paralelismo de retas no plano de acordo com a geometria analítica==
Representa-se uma reta na [[geometria analítica]] por meio de uma [[equação]] de 1º grau que possui duas [[Incógnita|incógnitas]]. Para determiná-la são necessários:
* 2 pontos distintos pertencentes à reta;
ou
* 1 ponto da reta e o valor do ângulo de inclinação da reta.<ref name= ":12" >{{citar livro|título=Matemática: interação e tecnologia|ultimo=Balestri|primeiro=Rodrigo|editora=Leya|ano=2016|edicao=2|volume=3|local=São Paulo|páginas=|acessodata=}}</ref>

Para que três pontos <math>(x_1, y_1), (x_2,y_2)</math> e <math>(x_3, y_3)</math>estejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante

<math>\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}</math>

seja igual a zero. Logo, supondo que <math>A(x_1, y_1)</math> e <math>B(x_2, y_2)</math> sejam pontos distintos pertencentes à uma reta <math>t</math>, para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos <math>A</math>, <math>B</math> e um ponto genérico <math>P(x, y)</math> pertencente à <math>t</math>.<ref name= ":12" /> Os valores para <math>P</math> são fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.

Como o resultado do determinante deve ser igual a 0, então:

<math>\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x & y & 1\end{vmatrix} = 0</math>

<math>\Rightarrow x_1y_2 + xy_1 + x_2y - (xy_2 + x_1y + x_2y_1) = 0</math>

<math>\Rightarrow xy_1 - xy_2 + x_2y - x_1y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0</math>

<math>\Rightarrow x(y_1 - y_2) + y(x_2 - x_1) + x_1y_2 - x_2y_1 = 0</math>

Como a equação da reta é da forma <math>ax + by + c = 0</math>, sendo <math>a\neq0</math>e <math>b\neq0</math>, neste caso <math>a = y_1 - y_2</math>, <math>b = x_2 - x_1</math> e <math>c = x_1y_2 - x_2y_1</math>.<ref name= ":12" />

Partindo da equação geral da reta, é possível descobrir o valor do ângulo de inclinação da reta, de modo a verificar outras retas com mesmo ângulo de inclinação e portanto, paralelas.

Denotaremos por <math>\beta</math> o ângulo de inclinação da reta <math>t</math>. Este ângulo deve partir do eixo <math>x</math> no sentido anti-horário. A [[tangente]] do ângulo <math>\beta</math> é denominada [[coeficiente]] angular ou declividade da reta.<ref name= ":12" /> É comum indicar o coeficiente angular por <math>m:</math>

<math>tg \beta = m.</math>

Há quatro possibilidades para <math>m</math>, as quais possuem algumas peculiaridades:

* <math>\beta = 0\,^{\circ};</math>
* <math>0\,^{\circ}<\beta<90\,^{\circ};</math>
* <math>\beta = 90\,^{\circ};</math>
* <math>90\,^{\circ}<\beta<180\,^{\circ}.</math>

Caso <math>\beta = 90\,^{\circ}</math>, segue que a reta é paralela ao eixo y (mas o valor da tangente de 90° não está definido). Porém, se <math>\beta = 0\,^{\circ}</math>, observa-se que sua declividade é nula e assim, a reta é paralela ao eixo x.<ref name= ":12" />

Para os dois outros casos, pode-se calcular <math>m</math>partindo dos valores das [[Sistema de coordenadas|coordenadas]] dos pontos <math>A</math>e <math>B</math>, bastando definir um ponto <math>C</math>, tal que ABC seja um [[triângulo retângulo]] em <math>C</math>. Sem perda de generalidade, supomos <math>y_2>y_1</math>, <math>x_2 \neq x_1</math> e fixemos <math>C(x_2, y_1)</math>. O cateto oposto do triângulo retângulo irá medir <math>|y_2 - y_1|</math>e o cateto adjacente <math>|x_2 - x_1|</math>(o valor está em [[Função modular|módulo]] pois indica uma medida. No cálculo da tangente ele não será utilizado). Logo, sabendo que a tangente de um ângulo é dada pela [[Razão (matemática)|razão]] entre o cateto oposto e a [[hipotenusa]]:

<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.</math>

Se <math>m>0</math>, então a declividade será positiva. Já se <math>m<0</math>, então a declividade será negativa.<ref name= ":12" />

Porém, caso a equação da reta esteja expressa na forma reduzida, reconhecer retas paralelas a ela será mais simples, bastando observar o valor do coeficiente que acompanha a incógnita da abscissa.

Para isso, considere uma reta <math>p</math>em que se conheça o valor do coeficiente angular, supomos <math>m</math>, além de um ponto <math>D(x_0, y_0)</math> que pertença à <math>p</math>. Considere também um ponto genérico <math>P(x, y)</math>, tal que <math>P \neq D</math>.

Sabemos que:

<math>m = \frac{y - y_0}{x - x_0}</math>

<math>\Rightarrow y - y_0 = m (x - x_0).</math>

Se escolhermos <math>D</math> de modo que ele seja o ponto em que a reta <math>p</math> intercepta o eixo y, então o valor da sua abscissa será 0, e portanto, <math>D(0, y_0)</math>, ou seja:

<math>y - y_0 = m(x - 0)</math>

<math>\Rightarrow y - y_0 = mx</math>

<math>\Rightarrow y = mx + y_0.</math><ref name= ":12" />

Qualquer outra reta com um mesmo coeficiente angular <math>m</math> será paralela a <math>p</math>.<ref>{{citar web|url=https://blogdoenem.com.br/paralelismo-e-perpendicularismo/|titulo=Matemática analítica – Paralelismo e perpendicularismo entre retas|data=|acessodata=|publicado=Blog do Enem|ultimo=|primeiro=}}</ref>

== Paralelismo no espaço euclidiano tridimensional de acordo com a geometria analítica ==

=== Retas paralelas ===
Seja <math>\vec{v} </math> um [[Vetor (matemática)|vetor]] que passa pela origem <math>O(0,0,0) </math> com extremidade em <math>F(a,b,c) </math>. Então <math>\vec{v} = \vec{OF} </math>, ou seja, <math>\vec{v} = (a, b, c) </math>. A equação da reta com mesma direção de <math>\vec{v} </math>, que passa pelo ponto <math>F(a,b,c) </math> e pela origem pode ser representada por:

<math>Q = t\vec{v} </math>

<math>\Rightarrow (x, y, z) = t(a, b, c) </math>

em que <math>t </math> é um valor [[Número real|real]], variando de <math>-\infty </math> a <math>+\infty </math> e <math>Q = (x, y, x) </math>.

Caso o objetivo for determinar uma reta <math>p </math> paralela à <math>r </math>, com <math>p </math> passando por um ponto <math>P(x_0,y_0,z_0) </math>, basta fazer:

<math>(x, y, z) = t(a, b, c) + (x_0, y_0, z_0) </math>

<math>\Rightarrow (x, y, z) = (ta + x_0, tb + y_0, tc + z_0). </math><ref name= ":3" />

O vetor <math>\vec{v} </math> é chamado de vetor diretor da reta.<ref name= ":2" /> Logo, qualquer reta com mesma direção de <math>\vec{v} </math> será paralela à reta <math>r </math>. Desse modo, as retas:

<math>r: P = A + \vec{v}t </math>

<math>s: P' = B + \vec{u}t </math>

são paralelas se <math>\vec{v} = k\vec{u} </math>, sendo <math>k </math> um número real.

=== Planos paralelos ===
A equação de um plano <math>\pi</math> pode ser obtida a partir de uma reta que seja [[Perpendicularidade|ortogonal]] a todos os vetores do plano e de um ponto <math>P</math> pertencente ao plano.<ref name= ":2" >{{citar web|url=http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/livros/geometria-analitica/split/cap3.pdf|titulo=Retas e planos|data=|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Seja <math>\vec{u} = (a, b, c)</math> um vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores de <math>\pi</math> e sejam <math>P(x, y, z)</math> e <math>P_1(x_1, y_1, z_1)</math> pontos pertencentes a <math>\pi</math>. O vetor <math>\vec{u}</math> é chamado de [[vetor normal]] ao plano <math>\pi</math>. Os vetores de <math>\vec{P_1P}</math> e <math>\vec{u}</math> são ortogonais, ou seja, o resultado de seu [[produto escalar]] é 0 (por isso o vetor <math>\vec{u}</math> não deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):<ref name= ":2" />

<math>\vec{P_1P}.\vec{u} = 0 </math>

<math>\Rightarrow (x - x_1, y - y_1, z - z_1).(a, b, c) = 0 </math>

<math>\Rightarrow a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0 </math>

<math>\Rightarrow ax - ax_1 + by - by_1 + cz - cz_1 = 0 </math>

<math>\Rightarrow ax + by + cz = ax_1 + by_1 + cz_1. </math>

<math>ax_1 + by_1 + cz_1 </math> é comumente denotado por <math>d </math> e assim:

<math>ax_1 + by_1 + cz_1 = d. </math>

Qualquer ponto que satisfaça a equação anterior pertence ao plano <math>\pi</math>.<ref name= ":2" />

Sendo assim, dois planos serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, ou seja, para

<math>\alpha: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 </math>

e

<math>\beta: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 </math>

vale que <math>\alpha </math> e <math>\beta </math> serão paralelos se

<math>\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}. </math><ref name= ":3" >{{citar livro|título=Geometrias: geometrias analítica e vetorial: euclidianas e não-euclidianas|ultimo=De Maio|primeiro=Waldemar|ultimo2=Chiummo|primeiro2=Ana|editora=LTC|ano=2008|local=Rio de Janeiro|páginas=|acessodata=}}</ref>

Ainda, <math>\alpha </math> e <math>\beta </math> serão paralelos e distintos se não houver pontos em comum entre eles, caso contrário <math>\alpha </math> e <math>\beta </math> serão coincidentes e todos os pontos pertencentes a um pertencerão ao outro.

=== Reta e plano paralelos ===
Para que uma reta <math>t </math> seja paralela a um plano <math>\alpha </math>, basta que <math>t </math> seja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta

<math>t: (x, y, z) = \alpha(a_1, b_1, c_1) + (x_0, y_0, z_0) </math>

e o plano

<math>\beta: a_2x + b_2y + c_2z + d = 0 </math>

segue que se os produto escalar dos vetores <math>(a_1, b_1, c_1) </math> e <math>(a_2, b_2, c_2) </math>, respectivamente o vetor diretor da reta <math>t </math> e o vetor normal do plano <math>\beta </math>, resultar em 0, então <math>t </math> e <math>\beta </math> serão paralelos.<ref name= ":3" />

Porém, há duas possibilidades. Caso a reta <math>t </math> e o plano <math>\beta </math> possuam pontos em comum, então <math>t </math> estará contida em <math>\beta </math> e de acordo com o paralelismo de uma reta e um plano no espaço euclidiano, <math>t </math> e <math>\beta </math> não serão paralelos. Caso não haja nenhum ponto em comum, então <math>t </math> não estará contida em <math>\beta </math> e <math>t </math> e <math>\beta </math> serão paralelos.

==Demonstrações==
<references group= "demonstração" />

==Ver também==
*[[Retas paralelas]]
*[[Perpendicularidade]]
{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Geometria]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]

<references />