Ângulo

Nota:Para outros significados, vejaÂngulo (desambiguação).

Um ângulo agudo

Ânguloé a reunião de duassemirretasque possuem uma origem em comum, chamadavérticedoângulo.Trata-se de um dosconceitos fundamentais da matemáticae é objeto de estudo emGeometria.

Elementos conceituais, componentes e aplicações

O ramo damatemáticaque se relaciona com o conceito deânguloé atrigonometria.Além dasfunções da trigonometria,as principaisfunções(ouoperações) com ângulos são asoma,asubtração,amultiplicaçãoedivisãopor umnúmero.

Semirretassão os lados do ângulo.Origemouvérticeé o ponto onde as duas semirretas se encontram.Bissetrizé a semirreta com origem novérticedesse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos númerospiee,ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já namatemática aplicadaé muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos doconhecimentoem que isto ocorre são acartografia,ageografia,aengenharia,afísica,aquímica,abiologia,vários ramos damedicina,como aortopedia,aodontologia,aastronomia,aaviação.

Embora o senso comum preveja apenas ângulospositivos,a matemática admite a existência de ângulosnegativos,ou seja, ângulos têmsinal.Tal questão é importante mormente no tratamento devetoresnaforma polar,em alternativa àforma cartesiana.

Do mesmo modo, é definida naconvenção matemáticaa noção deângulos entrecurvas,como sendo o ângulo entre as retastangentesno ponto deinterseção.

Unidades de medidas

Amedida emradianosde um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo.OSIutiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial.Senoseco-senoscujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em basee.

Amedida emgrausde um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito°.2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

Ogradiano,também chamado degrado,é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais emtriangulação.

Opontoé usado emnavegação,e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

Ocírculo completoouvolta completarepresenta o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medição

O ânguloθé o quociente desporr.

Para medir um ânguloθ,um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arcosé então dividido pelo raio do círculor,e multiplicado por uma variávelk,que depende daunidade de medidaselecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus,$k\approx 57,29577951^{\circ }.$

$$\theta ={\frac {s}{r}}(k).$$

Cabe mencionar que valor deθé independente do tamanho do círculo (a proporçãos/ré mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Classificações

Quanto à medida

Ângulo agudo.

Ângulo reto.

Ângulo raso.

Ângulo giro ou ângulo completo.

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

• Nulo:um ângulo nulo mede 0°;
• agudo:ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
• reto:um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados emretas perpendiculares;
• obtuso:é um ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°;
• raso:ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;
• côncavooureentrante:ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
• girooucompleto:ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc.

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à doângulo negativocom o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

Ângulos Consecutivos:dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo;ângulos adjacentes:Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum;ângulos opostos pelo vértice:Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Quanto a complementações

Ângulos complementaresaeb(bé o complemento dea,eaé o complemento deb).

Os ângulosaebsão suplementares;aé agudo ebé obtuso.

Para facilitar a memorização dos termos correlatos desta parte dageometria euclidiana,utilizamos a seguinte frase:Com oSenhorEstou aRezar (C = complemento, S = suplemento, E = explemento e R = replemento).

• Ângulos complementares:dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
• Ângulos suplementares:dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
• Ângulos replementares:dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
• Ângulos explementares:Dois ângulos são explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

Dois ângulos complementares

Na geometria euclidiana, doisângulos complementaressão ângulos cujas medidas somadas resultam em 90grausou π/2radianos.Por exemplo, o ângulo$\alpha$e o ângulo$90-\alpha$são complementares. Propriedades dos ângulos complementares:

• Em geometria euclidiana, os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares. Isto acontece porque, sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo 180 graus e um ângulo é de 90 graus, sobra para os outros ângulos 90 graus.
• Quando se tem doisângulos adjacentescomplementares, esses dois ângulos juntos formam umângulo reto.Exemplo: a+b=90º graus

Dois ângulos suplementares

Emgeometria,doisângulos suplementaressão ângulos que somados, dão 180 graus ou$\pi$radianos.Por exemplo, o ângulo$\alpha$e o ângulo$180-\alpha$(b) são suplementares. A aplicação do conceito de ângulos suplementares é fundamental em diversos momentos, principalmente na geometria euclidiana e nageometria esférica.Por exemplo, pode-se vê-lo presente no seguinte teorema:

• Teorema: Os ângulos internos de umparalelogramosão dois a dois suplementares.
• Prova: Sejam$\alpha,\beta,\gamma \ {\mbox{e}}\ \delta$os ângulos do paralelogramo. Então, temos que$(\alpha,\beta ),(\beta,\gamma ),(\gamma,\delta )\ {\mbox{e}}\ (\delta,\alpha )$são pares de ângulos colaterais internos. Por propriedade, suas somas valem 180° (ou seja,$\alpha +\beta =\beta +\gamma =\gamma +\delta =\delta +\alpha =180$°). logo, eles são suplementares.$\square$

Oângulo replementarde qualquerânguloé o ângulo que, somado com o primeiro, dá 360 graus,${2\pi }$radianos.

Ângulos explementaressão ângulos cujas medidas subtraídas resultam em 180 graus ou π radianos. Por exemplo, 10º e 190º são explementares.

Histórico

Euclidesdefiniu umângulo planocomo ainclinaçãoentre duas linhas que se encontram em um mesmoplano.De acordo comProclo,um ângulo deve ser umaquantidade,qualidadeourelação.O primeiro conceito (quantidade) foi usado porEudemus,que via o ângulo como desvio de uma linha reta. O segundo conceito (qualidade) foi usado porCarpus de Antioch,que o via como intervalo ou espaço entre linhas intersecantes. Euclides adotou o terceiro conceito, no entanto, sua definição de ângulo reto, agudo e obtuso era claramente quantitativa.

Um dos conhecidostrês problemas clássicos da matemática gregafoi o datrissecção do ângulo.

OPrincipia mathematica,um compêndio que tentou demonstrar do início osfundamentos da matemática,tinha um quarto volume previsto, especialmente para ageometria,mas que nunca foi realizado.

Significações derivadas

Existem vários significados para a palavraângulo,todos eles derivadas da sua significação matemática, comoponto de vista,imagemque se vê através de umalenteeesquina.Ângulo também pode significar o local nogol,emfutebol,de onde se podem ver os noventa graus da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo" é a expressão da jogada exata.

Ver também

• Arco (matemática)
• Círculo
• Seno
• Cosseno
• Tangente
• Geometria

Ligações externas

• Wikilivros
• Wikcionário

• Ângulos - Brasil Escola
• Ângulo. Medidas de um ângulo - Escola Kids
• Ângulos - Geometria Básica - Guia do Estudante
• Ângulos - Só Matemática