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Conjuntos de números
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Umnúmero inteiroé umnúmeroque pode ser escrito sem umcomponente fracional.Por exemplo, 21, 4, 0, e −2048 são números inteiros, enquanto 9.75,52,e√2não são. O conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo,cuja letra é originada da palavra alemãZahlen([ˈtsaːlən],"números" ).[1][2]
Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menorgrupoque contém omonoideaditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjuntoinfinito contável.
Os números inteiros podem ser simétricos, quando os números têm sinais opostos, ou pode existir também o valor absoluto de um número inteiro, que é a distância entre a origem e o número.
Conjunto dos inteiros não nulos
+Conjunto dos inteiros não negativos
+Conjunto dos inteiros não negativos, excluindo zero
-Conjunto dos inteiros não positivos
-Conjunto dos inteiros não positivos, excluindo zero
Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada deanel de integridade.O campo dos inteiros,,é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas:
Para todos:
- [a operaçãoé fechada]
- [a operaçãoé fechada]
- [associatividade da]
- [associativa da]
- [0 é o elemento neutro da]
- [1 é o elemento neutro da]
- [comutatividade da]
- [comutatividade da]
- tal que[é o simétrico de]
- [distributividade da]
- ou[integridade da]
Unicidade do elemento neutro da multiplicação
Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicaçãoe,com
Comoé elemento neutro da multiplicação, então:
Comoé elemento neutro da multiplicação, então:
Temos:[Comutatividade da multiplicação]
É absurdo, poisé diferente depor hipótese.
Então o elemento neutro da multiplicação é único.
Unicidade do elemento simétrico
Vamos supor que existem dois simétricosede,tal que.
[Existência do elemento neutro]
[Existência do inverso na adição]
[Associativa]
[Comutativa]
[Associativa]
[Existência do elemento neutro]
Notação para o simétrico deé.
Como por hipótesenão podemos ter.
Logo o simétrico da adição é único.
Com isso podemos definir a subtração:
Multiplicação por
Distributividade
[Comutativa]
[Distributiva e Comutativa]
Sendoenúmeros inteiros:
Observe que, parae
Logo temos,(vem da definição de soma em)
Agora podemos provar:
[Associatividade]
Sendoenúmeros inteiros
[Comutatividade]
[Distributiva]
Logoou,como,por hipótese temos:
Temos que seouisso significa que
Com isso os números inteiros ficam divididos em:
Inteiros não negativos
Inteiros não positivos
Inteiros positivos
Inteiros negativos
Observação:temosno caso particular,temos,somente se
Notação:
As relaçõesesão compatíveis com a adição e a multiplicação, conforme os resultados:
Proposição:
Sendo
A relação de ordem é preservada na adição:
Esta demonstração é de forma análoga à anterior.
A relação de ordem é preservada na multiplicação por inteiros positivos:
Observe que quando
para,ou seja,
para,ou seja,
O valor absoluto de um número inteiroé a distância modular, e é definido como a distância do número até a origem(0):
Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo, e apagar seu sinal, caso ele seja negativo.
Exemplo:
,
O divisor de um número inteiro,é todo inteirocapaz de transformar o inteironum produto de inteiros:(para algum número inteiro).
Sempre quefor divisor de,também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas:
"o inteirodivide",o que pode ser abreviado com a notação:;
"o inteiroé múltiplo de"
Exemplo:
Os divisores desão
Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente:
Atenção:
- zero só é divisor de si mesmo;
- todos os inteiros são divisores de zero.
Seé divisor de,entãotambém é.
Hipótese:
Tese:
Temos que
Então
,sendo
,pela definição de divisor
Seé divisor deeé divisor de,entãoou
Hipótese:e
Tese:
Temos que,
,
ou
- Para
- Para
Comosempre são divisores de cada número inteiro,dizemos que eles são osdivisores triviais,ou osdivisores impróprios, de.
Nos casos em quee,temos exatamente dois divisores triviais. Contudo, em todos os demais casos de,temos exatamente quatro divisores triviais.
Número primoé todo inteirocujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que umnúmero primoé todo inteirocom exatamente quatro divisores:.
Número compostoé todo inteiroque tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que umnúmero compostoé todo inteirocom cinco ou mais divisores.
Chamamos dedivisor comumde dois ou mais números inteiros, todo inteiro que seja divisor de cada um desses inteiros.
Exemplo:
Os divisores desão,enquanto que os divisores desão.Assim, os divisores comuns deesão.
Dizemos que dois números inteiros sãorelativamente primos,ouprimos entre sise tiverem como divisores comuns apenas os divisores triviaise.
Proposição:todo número primo que não dividir um inteirodado, é relativamente primo com.
Demonstração:Sendoum primo dado eum número inteiro. Temos que os divisores desão,,e,comonão divide,seus únicos divisores comuns serãoe.
Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notaçãoindicará o máximo divisor comum dos inteiros,.
Exemplo:
Temos,pois os divisores comuns deesãoe.
Note que:
- osempre existe, a menos que.
- o conjunto de divisores comuns de qualquer conjunto de dois ou mais números inteiros nunca é vazio (poissempre são divisores comuns deles) e é finito (pois os divisores deestão entree).
- o,em particular, sempre é positivo.
- .
- Dizer que dois númerosesão primos entre si, é o mesmo que dizer que.
Fatoração:sendo,cominteiros, dizemos quesão fatores dee queé uma fatoração desse.
Ex:
O mdc também pode ser calculado a partir doAlgoritmo de Euclides.
A ideia da divisão euclidiana consiste em separar um todo em partes iguais. Essa divisão pode ocorrer de forma exata (quando a união dessas partes resulta no número original) ou de forma inexata (quando ocorre o contrário). No contexto dos números inteiros,corresponde ao todo, ecorresponde a cada uma das partes iguais. Ou seja:
- A divisão exata deporequivale a dizer que existe um número inteirotal que:.
Exemplo:
- A divisão inexata deporequivale a dizer que existe um número inteirotal que:,onde(resto) é menor que
Exemplo:
Há apenas uma maneira de fazer uma divisão exata, mas há maneiras diferentes de se fazer uma divisão inexata. Podemos dividí-las em: inexatas por falta (a mais utilizada, como) e inexatas por excesso (como).
Este teorema afirma que os números primos funcionam como base para a construção de todo e qualquer número inteiro (excetoe), fazendo apenas multiplicações. Este teorema tem uma importância tão grande que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética.
A fatoração em primos de um inteiro,pode ser escrita de diversas maneiras, como por exemplo:
- Existem primospossivelmente repetidos, tais que.
- Existem primostais que.
- Existem primos distintos,e respectivos inteiros positivos,tais que.
Assim, por exemplo,
Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.
A ordem deZé dada por... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 <... e faz deZumaordenação totalsem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiropositivoos inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:
- sea<bec<d,entãoa+c<b+d
- sea<be 0 <c,entãoac<bc
Inteiro é frequentemente um tipo primitivo emlinguagem de programação,normalmente com 1, 2, 4, ou 8bytesde comprimento (8, 16, 32, ou 64bits). Observe, porém, que um computador pode apenas representar umsubconjuntodos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (para bytes,para arquiteturas de 32 bits, etc). No entanto, o uso de técnicas deinteligência artificialpermitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.
ORSAé o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam noMITe é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção deste sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.
Referências