Cilindro

Nota:Para outros significados, vejaCilindro (desambiguação).

Um cilindro.

EmGeometria,umcilindroé o objeto tridimensionaldelimitado pela superfície de translação completa de um segmento de reta que se move paralelamente a si mesmo, e se apoia em uma circunferência. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aparência redonda, com o mesmodiâmetroao longo de todo o comprimento. Ao considerar-se um prisma de base regular, e fazer o número de lados/vértices da base tender ao infinito, o prisma tenderá a um cilindro.

Elementos

Os elementos do cilindro são

• Duas bases:são dois círculos congruentes e paralelos.
• Geratrizes:segmentos congruentes e paralelos entre os pontos da circunferência de uma base e os pontos correspondentes na outra base.
• Altura:distância entre os planos das bases.

Classificação

Os cilindros podem ser divididos em duas categorias, referentes ao ângulo entre a sua altura e o plano da base:

• Reto:se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases;
• Oblíquo:se as geratrizes são oblíquas (não-perpendiculares) aos planos das bases.

E, referente à relação entre a altura e o raio da base, apenas uma categoria relevante de classificação:

• Equilátero:é todo cilindro reto em que a altura é igual ao diâmetro da base,ou seja$$g=h=2r$$Assim, a secção meridiana é umquadrado.

Área e volume

Cilindro reto

Para um cilindro reto de raio$r$e altura$h$,

• Ovolumeé:$V=\pi r^{2}h$

• Aáreada base circular é igual à área de um círculo,$A_{B}=\pi r^{2}$,e a área lateral é$A_{L}=2\pi rh$

• A área total de sua superfície é$A_{T}=2A_{B}+A_{L}$,ou seja:$A_{T}=2\pi r(h+r)$

Otimização

Área mínima

Dado um volume fixo, pode-se descobrir qual a razão entre a altura e o raio de um cilindro reto para que a área seja mínima. Calcular a área mínima é útil em problemas de otimização de custo de produção, que deve ser diretamente proporcional à área.

Seja um cilindro reto de raio${\textstyle r}$,altura${\textstyle h}$e volume fixo${\textstyle V}$.A condição para que a área seja mínima é${\textstyle h=2r}$.

Inicialmente, o volume é dado por:$$V=\pi r^{2}h$$Em seguida, a área em função de${\textstyle r}$e${\textstyle V}$é:
$$A=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+{\frac {2V}{r}}$$Perceba que a função vai para o infinito positivo tanto quando o valor de${\textstyle r}$vai para${\textstyle \infty }$quanto para${\textstyle 0}$.Logo, deve possuir um valor mínimo. O valor mínimo da função será umponto crítico,quando aderivadafor nula:
$${\begin{aligned}A(r)&=2\pi r^{2}+{\frac {2V}{r}}\\A'(r)&=4\pi r-{\frac {2V}{r^{2}}}\\A'(r)&=0\Leftrightarrow 4\pi r={\frac {2V}{r^{2}}}\Leftrightarrow V=2\pi r^{3}\end{aligned}}$$Igualando a equação volume-raio da área mínima com a equação inicial de volume:$$\pi r^{2}h=2\pi r^{3}$$Logo,$$h=2r$$Portanto, o cilindro reto de menor área dado um volume fixo é ocilindro equilátero,em que a altura é igual ao diâmetro da base. Tal otimização também é equivalente amaximizaro volume, dada uma área fixa.

Ver também

• Cone

Ligações externas

• Venturi, Jacir J. (2003).Cônicas e Quádricas(PDF)5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas.ISBN8585132485