Circuito RLC

Nota:Para outros significados de RLC, vejaRLC.

Umcircuito RLC(também conhecido comocircuito ressonanteoucircuito aceitador) é umcircuito elétricoconsistindo de umresistor(R), umindutor(L), e umcapacitor(C), conectados emsérieou emparalelo.

O circuito RLC é chamado de circuito desegunda ordemvisto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por umaequação diferencialde segunda ordem.

Parâmetros fundamentais

Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: afrequência de ressonânciae o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.

Frequência de ressonância

Afrequência natural ou de ressonânciasem carga de um circuito RLC (emradianospor segundo) é:

$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

Utilizando a unidadehertz,a frequência de ressonância fica:

$f_{o}={\omega _{o} \over 2\pi }={1 \over 2\pi {\sqrt {LC}}}$

A ressonância ocorre quando aimpedância complexaZ_LCdo ressonador LC se torna zero:

$Z_{LC}=Z_{L}+Z_{C}=0$

Ambas estas impedâncias são função de umafrequência angularscomplexa:

$Z_{C}={1 \over Cs}$

$Z_{L}=Ls$

Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo paras,tem-se:

$s=\pm j\omega _{o}=\pm j{1 \over {\sqrt {LC}}}$

onde a frequência de ressonância ω_oé dada pela expressão acima.

Fator de carga

Ofator de cargado circuito (emradianosporsegundo) é:

$\zeta ={R \over 2L}$

Para aplicações em circuitososciladores,é geralmente desejável que o fator de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o fator de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução naresistênciaRno circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RLC torna-se uma boa aproximação docircuito LCideal, que não é realizável na prática (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).

Alternativamente, para aplicações emfiltros passa-banda,o factor de carga é escolhido baseado nalargura de bandadesejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior fator de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor fator de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos daresistênciaRe doindutorLno circuito.

Parâmetros derivados

Os parâmetros derivados incluemlargura de banda,fator Q e frequência de ressonância com carga.

Largura de banda

O circuito RLC pode ser utilizado como um filtropassa-faixaourejeita-faixa,e a sualargura de banda(em radianos por segundo) é:

$\Delta \omega =2\zeta ={R \over L}$

Alternativamente, a largura de banda emhertzé

$\Delta f={\Delta \omega \over 2\pi }={\zeta \over \pi }={R \over 2\pi L}$

A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que apotênciaé proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a${1 \over {\sqrt {2}}}$nas frequências de metade da potência.

Qualidade ou factor Q

A qualidade do circuito, ou factor Q (verEqualizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância$\omega _{o}$e a largura de banda$\Delta \omega$(em radianos por segundo):

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\zeta }={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$

Ou, em hertz:

$Q={f_{o} \over \Delta f}={2\pi f_{o}L \over R}={1 \over {\sqrt {R^{2}C/L}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$

Q é umaunidade adimensional.

Ressonância com carga

A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que

$\zeta <\omega _{o}$

então pode-se definir a ressonância com carga como

$\omega _{d}={\sqrt {\omega _{o}^{2}-\zeta ^{2}}}$

Em um circuito oscilador

$\zeta \ll \omega _{o}$.

E, como resultado

$\omega _{d}=\omega _{o}\$(approx).

Configurações

Todo circuito RLC consiste de dois componentes: umafonte de alimentaçãoe umressonador.Existem dois tipos de fontes de alimentação, afonte de Thévenine afonte de Norton.Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, osLCsérie e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:

• LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin;
• LC série com fonte de alimentação do tipo Norton;
• LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin;
• LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton.

Análise do circuito

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin

Neste circuito, ostrêscomponentes estão todos em série com afonte de tensão.

RLC series circuit

Notações do circuito RLC série: v- a tensão dafonte de alimentação(medida emvoltsV) i- a corrente do circuito (medida emampèresA) R- aresistênciadoresistor(medida emohms= V/A); L- aindutânciadoindutor(medida emhenries= H =Wb/A = V·s/A) C- acapacitânciadocapacitor(medida emfarads= F =C/V = A·s/V)

Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando aLei da Tensão de Kirchoffé:

${v_{R}+v_{L}+v_{C}=v}\,$

Para uma tensão variável com o tempov(t),isto se torna

$Ri(t)+L{{di} \over {dt}}+{1 \over C}\int _{-\infty }^{t}i(\tau )\,d\tau =v(t)$

Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinteequação diferencialde segunda ordem:

${{d^{2}i} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{di} \over {dt}}+{1 \over {LC}}i(t)={1 \over L}{{dv} \over {dt}}$

Definem-se agora dois parâmetros chave:

$\zeta ={R \over 2L}$

e

$\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

sendo ambos medidos emradianosporsegundo.

Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:

${{d^{2}i} \over {dt^{2}}}+2\zeta {{di} \over {dt}}+\omega _{0}^{2}i(t)={1 \over L}{{dv} \over {dt}}$

A solução paraResposta de Entrada Zero(ZIR)

Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:

${{d^{2}i} \over {dt^{2}}}+2\zeta {{di} \over {dt}}+\omega _{o}^{2}i(t)=0$

com as condições iniciais para a corrente do indutor, I_L(0), e a tensão do capacitor V_C(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).

O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto

$i(0)=i_{L}(0)\,$

A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:

$v_{R}(0)+v_{L}(0)+v_{C}(0)=0\,$

$\Rightarrow i(0)R+i'(0)L+v_{C}(0)=0\,$

$\Rightarrow i'(0)={1 \over L}\left[-v_{C}(0)-I(0)R\right]$

Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω₀,tem-se

$i''+2\zeta i'+\omega _{0}^{2}i=0$

Convertendo a forma da equação para seupolinomial característico

$\lambda ^{2}+2\zeta \lambda +\omega _{0}^{2}=0$

Utilizando a fórmula quadrática, acham-se asraízescomo

$\lambda =-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

Dependendo dos valores de α e ω₀,existem três casos possíveis:

Sobrecarga/Regime superamortecido (aperiódico)

Respostas do circuito RLC série com superamortecido

$\zeta >\omega _{0}\Rightarrow RC>4{L \over R}\,$

Neste caso, as soluções do polinomial característico são doisnúmeros reaisnegativos. Isto é chamado de "sobrecarga".

Duas raízes reais negativas, as soluções são:

$I(t)=Ae^{\lambda _{1}t}+Be^{\lambda _{2}t}$

Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)

Circuito RLC série com Amortecimento Crítico

$\zeta =\omega _{0}\Rightarrow RC=4{L \over R}\,$

Neste caso, as soluções da polinomial característica são doisnúmeros reaisnegativosidênticos.Isto é chamado de "carga crítica".

As duasraízessão idênticas ($\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda$). As soluções são:

$I(t)=(A+Bt)e^{\lambda t}$

para constantes arbitráriasAeB

Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)

$\zeta <\omega _{0}\Rightarrow RC<4{L \over R}\,$

Neste caso. as soluções do polinomial característico são umconjugado complexoe possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.

As soluções consistem de duas raízes conjugadas

$\lambda _{1}=-\zeta +i\omega _{c}$

e

$\lambda _{2}=-\zeta -i\omega _{c}$

onde

$\omega _{c}={\sqrt {\omega _{o}^{2}-\zeta ^{2}}}$

As soluções são:

$i(t)=Ae^{(-\zeta +i\omega _{c}).t}+Be^{(-\zeta -i\omega _{c}).t}$

para constantes arbitráriasAeB.

Utilizando afórmula de Euler[$e^{ix}=cos\left(x\right)+isen\left(x\right)$], pode-se simplificar a solução para

$i(t)=e^{-\zeta t}\left[C\sin(\omega _{c}t)+D\cos(\omega _{c}t)\right]$

para constantes arbitráriasCeD.

Estas soluções são caracterizadas por umarespostasinusoidalcomdecaimento exponencial.O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, oufator Q.Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.

Solução paraResposta de Estado Zero(ZSR)

Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinteequação:

$\left\{{\begin{matrix}{{d^{2}I} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{dI} \over {dt}}+{1 \over {LC}}I(t)={1 \over L}{{dV} \over {dt}}\\\\I(0^{-})=I'(0^{-})=0\end{matrix}}\right.$

${{d^{2}i} \over {dt^{2}}}+{2\zeta }{{di} \over {dt}}+{\omega _{o}^{2}}i(t)={1 \over L}{{dv} \over {dt}}$

Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:

1. Atransformada de Laplace
2. AIntegral de convolução.

Transformada de Laplace

Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace daequação diferencialde segunda ordem:

$(s^{2}+2\zeta s+\omega _{o}^{2})I(s)={s \over L}V(s)$

ondeV(s)é a transformada de Laplace do sinal de entrada:

$V(s)={\mathcal {L}}\left\{v(t)\right\}$

Então resolve-se para aadmitânciacomplexaY(s)(emsiemens):

$Y(s)={I(s) \over V(s)}={s \over L(s^{2}+2\zeta s+\omega _{o}^{2})}$

Pode-se utilizar a admitânciaY(s)e a transformada de Laplace da tensão de entradaV(s)para encontrar a corrente elétrica complexaI(s):

$I(s)=Y(s)\times V(s)$

Finalmente, pode-se encontrar acorrente elétricano domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:

$i(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{I(s)\right\}$

Exemplo:

Suponha$v(t)=Au(t)$

ondeu(t)é afunção de passo Heaviside.

Então

$V(s)={A \over s}$

$I(s)={A \over L(s^{2}+2\zeta s+\omega _{o}^{2})}$

Integral de convolução

Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando aconvolução.Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, afunção deltadeDirac.

Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é umsistema linear,a sua derivada será a solução para a função delta.

A equação então será, para t>0:

$\left\{{\begin{matrix}{{d^{2}I_{u}} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{dI_{u}} \over {dt}}+{1 \over {LC}}I_{u}(t)=0\\I(0^{+})=0\qquad I'(0^{+})={1 \over L}\end{matrix}}\right.$

Assumindo que λ₁e λ₂são raízes de

$P(\lambda )=\lambda ^{2}+2\zeta \lambda +\omega _{o}^{2}$

então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:

Sobrecarga

Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:

$I_{u}(t)={1 \over {L(\lambda _{1}-\lambda _{2})}}\left[e^{\lambda _{1}t}-e^{\lambda _{2}t}\right]$

$\Rightarrow I_{\delta }(t)={1 \over {L(\lambda _{1}-\lambda _{2})}}\left[\lambda _{1}e^{\lambda _{1}t}-\lambda _{2}e^{\lambda _{2}t}\right]$

Carga crítica

Nesta caso, as raízes são idênticas ($\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda$), a solução é:

$I_{u}(t)={1 \over L}te^{\lambda t}$

$\Rightarrow I_{\delta }(t)={1 \over L}(\lambda t+1)e^{\lambda t}$

Subcarga

Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas ($\lambda _{1}={\bar {\lambda }}_{2}=\zeta +i\omega _{c}$), a solução é:

$I_{u}(t)={1 \over {\omega _{c}L}}e^{\zeta t}\sin(\omega _{c}t)$

$\Rightarrow I_{\delta }(t)={1 \over {\omega _{c}L}}e^{\zeta t}\left[\zeta \sin(\omega _{c}t)+\omega _{c}\cos(\omega _{c}t)\right]$

Domínio da frequência

O circuito RLC série pode ser analisado nodomínio da frequênciautilizando as relações deimpedânciacomplexa.Se afonte de tensãoacima produz umaforma de ondaexponencialcomplexa com a amplitude V(s) efrequência angular$s=\sigma +i\omega$,aLei de Kirchoff para Tensãopode ser aplicada:

$V(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)$

onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:

$I(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}V(s)$

E rearranjando, obtém-se

$I(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V(s)$

Admitância complexa

A seguir, a resolução para aadmitânciacomplexa Y(s):

$Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}$

Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ω_o

$Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{o}^{2}\right)}}$

Note que estaexpressãoparaY(s)é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.

Pólos e Zeros

OszerosdeY(s)são os valores destais que$Y(s)=0$:

$s=0$e$s=\infty$

OspólosdeY(s)são os valores destais que$Y(s)=\infty$:

$s=-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$

Note que os pólos deY(s)são idênticos às raízes$\lambda _{1}$e$\lambda _{2}$dopolinómio característico.

Estado sinusoidal constante

Supondo$s=i\omega$,obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:

$|Y(s=i\omega )|={\frac {1}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}}$

A seguir, encontra-se a magnitude dacorrentecom uma função de ω

$|I(i\omega )|=|Y(i\omega )|\times |V(i\omega )|$

Se os valores escolhidos fossemR= 1ohm,C= 1farad,L= 1henry,eV= 1volt,então o gráfico da magnitude da correnteI(emamperes) como uma função de ω (emradianosporsegundo) seria:

Análise do estado sinusoidal constante

Note que existe um pico em$I_{mag}(\omega )=1$.Este é conhecido como afrequência de ressonância.Resolvendo para este valor, encontra-se:

$\omega _{o}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

Circuito RLC paralelo

Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso danão-dimensionalização.

Notações do circuito RLC paralelo: V- a tensão da fonte de alimentação (medida emvoltsV) I- a corrente do no circuito (medida emampèresA) R- aresistênciado resistor (medida emohms= V/A); L- aindutânciado indutor (medida emhenrys= H =Wb/A = V·s/A) C- acapacitânciado capacitor (medida emfarads= F =C/V = A·s/V)

Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:

$C{\frac {d^{2}\Phi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{R}}{\frac {d\Phi }{dt}}+{\frac {1}{L}}\Phi =I_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )$

com substituições obtém-se:

$\Phi =\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=LI_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta ={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}},\ \Omega =\omega t_{c}.$

A primeiravariávelcorresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo

As expressões para alargura de bandanas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e ofactor Q,respectivamente.

Aplicações dos circuitos ajustados

Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de umespectrototal de ondas de rádio.

Ligações externas

• Calculadora - Circuito RLC em estado estacionário