Cone
Este artigonão citafontes confiáveis. (Setembro de 2011) |
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/20px-Disambig_grey.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Blue-cone.png/220px-Blue-cone.png)
Emgeometria,oconeé umsólido geométricoobtido quando se tem umapirâmidecuja base é umpolígono regular,o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.
Classificação
[editar|editar código-fonte]Os cones podem ser divididos em:
- Reto;
- Oblíquo;
- Equilátero.
Reto
[editar|editar código-fonte]O cone é dito reto quando a sua base é umcírculoe aretaque liga o vértice superior aocentrodacircunferênciada sua base (isto é, o seu eixo) éperpendicularao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada porgeratrizes(g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. Oconjuntodesses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por umtriângulo retânguloque roda sobre um eixo formado por um doscatetos,no caso de ser um cone reto.
Oblíquo
[editar|editar código-fonte]Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.
Equilátero
[editar|editar código-fonte]Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma regiãotriangular equiláterae neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
Cone de um espaço vetorial
[editar|editar código-fonte]Um subconjuntoCdoespaço vetorialEchama-se umconequando, para todo elementovpertencente aCe todot> 0real,tem-se quetvpertence aC.
Fórmulas
[editar|editar código-fonte]Ovolume,,de um cone de altura,,e base com raio,,édo volume docilindrocom as mesmas dimensões, ou seja:
O centro de massa (considerando que o cone possuidensidadeuniforme) está localizado no seu eixo ada distância da base ao eixo. Aáreada superfície de um coneé dada por:
onde,é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula,é a área da base, enquanto que o segundo termoé a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:
Com uso de cálculo integral
[editar|editar código-fonte]Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas decálculo diferencial e integral.Um cone de alturae raiocorresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:
em torno do eixo.
Volume
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Cone_of_revolution.svg/220px-Cone_of_revolution.svg.png)
Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:
Para um deslocamento infinitesimaltem-se o incremento de volume:
Então, integrando deaobtemos o volume do cone:
Área total
O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:
Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimalcorresponde a um deslocamento de comprimento de linhasobre a reta.PeloTeorema de Pitágorastemos que,ou seja:
Considerando a rotação do segmentoem torno do eixo,temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:
Substituindoeem função dee,obtemos:
Integrando dea,temos:
Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:
onde,.
Para cones equiláteros
[editar|editar código-fonte]A área da base do cone é:
PeloTeorema de Pitágorastemos que,logo,assim:
Como o volume do cone é obtido pordo produto da área da base pela altura, temos:
Similarmente, a área lateral é dada por:
e, a área total por:
Ver também
[editar|editar código-fonte]- Cônica
- Quádrica
- Círculo
- Circunferência
- Elipse
- Parábola
- Hipérbole
- Reta
- Ciclóide
- Cardióide
- Leminiscata
- Espiral
Ligações externas
[editar|editar código-fonte]- (em inglês)Volume de um cone truncado elíptica