Curva de Bézier

Exemplo de uma curva de Bézier cúbica

Acurva de Bézieré uma curva polinomial expressa como ainterpolação linearentre alguns pontos representativos, chamados depontos de controle.É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como oIllustrator,Freehand,Fireworks,GIMP,Photoshop,Processing,Inkscape,KritaeCorelDRAW,e formatos deimagem vetorialcomo oSVG.Esse tipo de curva também pode originarSuperfícies de Bézier,bastante utilizadas emmodelagem tridimensional,animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francêsPierre Bézier,funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi estruturada a partir doalgoritmodePaul de Casteljau,daCitroën,em 1957, e foi formalizada na década de 60.

Descrição

Animação de uma curva de Bézier linear,tem [0,1]

Animação de uma curva de Bézier quadrática,tem [0,1]

Animação de uma curva de Bézier cúbica,tem [0,1]

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

${\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\,\!.\;\;x=t\;,\;y=(1-t)$

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos$n+1$pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar.$\scriptstyle {n \choose k}$sãocoeficientes binomiais.Por exemplo, para a resolução de$(t+(1-t))^{2}$usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio$(t+(1-t))^{3}$usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle$B_{i}$podem ser escolhidos aleatoriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é umpolinômioda forma:

$P_{in}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}$

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

${B}(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{in}(t)*{B}_{i}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}*{B}_{i}$

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que$t\in \Re,0\leq t\leq 1$,$B_{i}$é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seufecho convexo.

Curva de Bézier Linear

$\mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} _{0}+t\mathbf {B} _{1}{\mbox{, }}t\in [0,1]$

Curva de Bézier Quadrática

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {B} _{0}+2t(1-t)\mathbf {B} _{1}+t^{2}\mathbf {B} _{2}{\mbox{, }}t\in [0,1].$

Curva de Bézier Cúbica

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {B} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {B} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {B} _{2}+t^{3}\mathbf {B} _{3}{\mbox{, }}t\in [0,1].$

Ver também

• Binómio de Newton
• Superfícies de Bézier

Ligações externas

• «The math behind the Bézier curve»(em inglês)