Esfera

Uma esfera.

Nota:Para outros significados, vejaEsfera (desambiguação).

Aesferapode ser definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum". É tida também como umsólidogeométrico formado por umasuperfíciecurva contínua, cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior, chamado centro, ou seja: é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro; ou ainda: de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de umsemicírculoem torno de seudiâmetro.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamentesimétrico.Namatemática,o termo se refere à superfície de umabola.Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto àgeometria analítica,uma esfera é representada (emcoordenadas retangulares) pela equação:$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leq r^{2}$em que a, b, c são as coordenadas do centro da esfera noseixosx, y, z respectivamente, e r é oraioda esfera. A esfera é uma forma circular ou seja esférica como a forma de uma bola.

Área e volume

semi-esfera

Aáreade uma superfície esférica é obtida pela fórmula:

$A=4\pi r^{2}$

Ovolumede uma esfera é dado pela fórmula:

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

onderé o raio da esfera e π é aconstante pi.

Calota x segmento esférico

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja",demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

$Ac=2\pi \cdot R\cdot h$

Área do Segmento Esférico:

$As=At-Ac$

Em que,Asé a área do segmento,Atárea total da esfera e,Acárea da calota.

Logo, o volume do segmento é:

$V={\pi \cdot h^{2} \over 3}\cdot (3\cdot R-h)$

Fuso x cunha

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por um "gomo de tangerina"(metaforicamente). Formalmente, o fuso é a interseção da superfície de uma esfera com umdiedrocuja aresta contém um diâmetro da mesma.

Área do fuso:

$Af={\alpha \over 360}\cdot 4\pi \cdot r^{2}$

$\alpha$é o ângulo (em graus) do fuso.

Uma cunha é a interseção de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera.

O volume da cunha é:

$Vc={\alpha \over 360}\cdot {4 \over 3}\cdot \pi r^{3}$

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

Volume

Esfera de Arquimedes

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixox,dex = r(y = 0) atéx = 0onde o disco tem raior(y = r).

Num dadox,o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no pontoxpela largura (δx):

$\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.$

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

$V_{\frac {1}{2}}\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.$

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

$V_{\frac {1}{2}}=\int _{x=0}^{x=r}\pi y^{2}dx.$

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando umtriângulo retânguloconectandox,yerà origem, obedecendo aoteorema de Pitágoras:

$r^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Substituindo y:

$V_{\frac {1}{2}}=\int _{x=0}^{x=r}\pi (r^{2}-x^{2})dx.$

Calculando aintegral:

$V_{\frac {1}{2}}=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=0}^{x=r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.$

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Área

Cálculos de superfície de uma esfera

Uma vez provado o volume, podemos demonstrar a área da superfície a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra" ):

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)dr.$

Usando a primeira parte doteorema fundamental do cálculo,onde$F(r)=\int _{0}^{r}A(r)dr$,temos que$F'(r)=A(r)$,logo:

$4\pi r^{2}=A(r).$

Que pode ser abreviada como:

$A=4\pi r^{2}.$

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento infinitesimal de área de superfície da esfera, emcoordenadas esféricasé dado por:

$dA=r^{2}\mathrm {sen} \,\theta \,d\theta \,d\phi.$

Logo, a área total será:

$A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\mathrm {sen} \,\theta \,d\theta \,d\phi \ =4\pi r^{2}.$

Equação da esfera em R³

Emgeometria analítica,uma esfera com centro (x₀,y₀,z₀) e raioré olugar geométricotal que:

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.$

Na forma parametrizada

$x=x_{0}+r\mathrm {cos} \,\theta \;\operatorname {sen} \varphi$

$y=y_{0}+r\mathrm {sen} \,\theta \;\mathrm {sen} \,\varphi \qquad (0\leq \theta \leq 2\pi {\mbox{ e }}0\leq \varphi \leq \pi )$

$z=z_{0}+r\cos \varphi$

Ver também

• Esfera tridimensional
• Bola e esfera

Ligações externas

• Venturi, Jacir J. (2003).Cônicas e Quádricas(PDF).Curitiba: Unificado. 246 páginas.ISBN85-85132-48-5