Forma canónica

No campo damatemática,aforma canónicarefere-se de forma geral à forma normal e clássica de representar uma dada relação.

Dizemos que umaequação diferencial parcialestá na forma canónica quando ela está escrita na sua forma mais simples, ou seja, sem os termos dederivadas mistas.A ideia básica está em classificar e equação diferencial parcial quanto ao tipo, determinar as equações características e pelo processo deintegraçãoencontrar as curvas características, onde as constantes serão as coordenadas características. Utilizando aregra da cadeiaparaderivadas parciaisdeterminamos as derivadas para as novasvariáveise fazendo a substituição na equação original chega-se, assim a forma canônica.Resumidamente, a forma canónica de, por exemplo, de um monómio, é a sua forma antes de ser resolvida.

Equações

Suponhamos que as funções$A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$não são nulas. Então podemos escolher novas variáveis$\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$de modo que os coeficiente${\bar {A}}\ {\textrm {e}}\ {\bar {B}}$sejam nulos. Para isso devemos ter

${\bar {A}}=A\left({\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \xi \partial \xi }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \xi }{\partial y}}\right)^{2}\equiv 0;$

${\bar {C}}=A\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \eta \partial \eta }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\equiv 0$

Notamos que as duas equações tem a mesma forma. Então, discutiremos a equação

$A\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \psi \partial \psi }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)^{2}=0,$

onde$\psi$representa ora,$\xi,$ora$\eta$.Podemos ainda escrever a equação anterior na seguinte forma

$A\left({\frac {\partial \psi /\partial x}{\partial \psi /\partial y}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \psi /\partial x}{\partial \psi /\partial y}}+C=0.$

Ao longo de umacurva$\psi =\ {\textrm {constante}}$no plano$(x,y)$temos

$d\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy=0,$

de onde obtemos

${\frac {{\partial \psi }/{\partial x}}{\partial \psi /{\partial y}}}=-{\frac {dy}{dx}},$

com a qual nossa equação para$\psi$toma a forma

$A\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-B\left({\frac {dy}{dx}}\right)+C=0$

As raízes destaequação de segundo grausão

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2A}}(B+{\sqrt {\Delta }})$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2A}}(B-{\sqrt {\Delta }}),$

onde$\Delta =B^{2}-4AC.$

As duas equações de primeira ordem são chamadasequações característicase as respectivas integrais são chamadascurvas características.Visto que tais equações são de primeira ordem elas admitem uma constante de integração cada uma. Devemos notar ainda que se os coeficientes$A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$são constantes as equações características levam a duas famílias de retas, e a equação é do mesmo tipo em todos os pontos de seu domínio, uma vez que$\Delta$também será constante.

Equação do tipo hiperbólico

Se$\Delta >0$temos duas famílias distintas de curvas características e a equação diferencial original se reduz a

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=H_{1}\left(\xi,\eta,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)$

onde$H_{1}={\bar {H}}/{\bar {B}},\ {\textrm {com}}\ {\bar {B}}\neq 0.$ Esta é a chamadaprimeira forma canônicada equação hiperbólica. Ao introduzirmos um segundo par de variáveis independentes

$\alpha =\xi +\eta;\quad \beta =\xi -\eta$

obtemos asegunda forma canônica

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \beta ^{2}}}=H_{2}\left(\alpha,\beta,u,{\frac {\partial u}{\partial \alpha }},{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)$

Exemplo

Reduza a forma canônica seguinte EDP

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(x,y)$.

Solução

(i) classificação:identificando os coeficientes$A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$e calculando$\Delta$temos: $A=1,\ B=0\ {\textrm {e}}\ C=-x^{2}\Rightarrow \Delta =B^{2}-4\cdot A\cdot C=-4\cdot 1\cdot (-x^{2})=4x^{2}.$

Equação do tipo parabólico

Se o discriminante$\Delta =0$as equações características são idênticas. Neste caso só existe uma família de curvas características, de onde obtemos somente uma curva integral$\xi ={\textrm {constante}}({\textrm {ou}}\ \eta ={\textrm {constante}})$.Logo a forma canônica para a equação do tipo parabólico e dada por.

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}=H_{3}\left(\xi,\eta,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)\ {\textrm {para}}\ {\bar {C}}\neq 0\ \ {\textrm {e}}\ \ \xi ={\textrm {constante}},$

Ou

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}={\bar {H_{3}}}\left(\xi,\eta,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)\ {\textrm {para}}\ {\bar {A}}\neq 0\ \ {\textrm {e}}\ \ \eta ={\textrm {constante}}.$

Equação do tipo elíptico

Neste caso$\Delta <0,$e as curvas características não são reais. Entretanto, se os coeficientes$A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$sãofunções analíticaspodemos considerar a equação

$A\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-B\left({\frac {dy}{dx}}\right)+C=0,$

para oscomplexos$x\ {\textrm {e}}\ y$.Desde que$\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$sãocomplexos conjugados,podemos introduzir as variáveis reais

$\alpha ={\frac {\xi +\eta }{2}}\quad {\textrm {e}}\quad \beta ={\frac {\xi -\eta }{2i}},$

Depois de todas as transformações obtemos:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \beta ^{2}}}=H_{0}\left(\alpha,\beta,u,{\frac {\partial u}{\partial \alpha }},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \beta }}\right),\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(\alpha,\beta ),$

que é chamada forma canônica da equação elíptica.

Exemplos

• Forma canónica de Jordan
• Forma canónica da forma quadrática

Referências

• Álgebra linearcomo introdução a matemática aplicada - Luis T. Magalhães