Operador diferencial

Na matemática, umoperador diferencialé definido como uma função do operador dediferenciação.É útil, primeiramente por questão de notação, ao considerar diferenciação como uma operação abstrata que recebe uma função e retorna outra função (no estilo de uma função de ordem maior em ciência da computação).

Este artigo considera principalmente operadores lineares, que são o tipo mais comum. Porém, operadores não-lineares, como a derivada Schwarziana, também existem.

Definição

Assuma que haja uma transformação$A$de umespaço funcional${\mathcal {F}}_{1}$para outro espaço funcional${\mathcal {F}}_{2}$e uma função$f\in {\mathcal {F}}_{2}$tal que$f$é a imagem de$u\in {\mathcal {F}}_{1}$,ou seja,$f=A(u)$.Um operador diferencial é representado como uma combinação linear, finitamente gerada por$u$e suas derivadas de alto grau, tal como

$P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\,$

em que o conjunto de inteiros não-negativos,$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{n})$,é umíndice múltiplo,$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$é chamado de comprimento,$a_{\alpha }(x)$são funções em algum domínio aberto em um espaço n-dimensional e$D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}\.$

Notação

Ooperador diferencialé denotado por$D$,que representa a ação de tomar aderivadaem si, de modo que, dada uma função$y=f(x)$,temos que as representações comuns para a primeira derivada em relação à uma variável x incluem:

${d \over dx},D,\,D_{x},\,$e$\partial _{x}.$

Quando tomando derivadas de maior grau, n, o operador pode também ser escrito como:

${d^{n} \over dx^{n}},Dn,{\displaystyle D^{n}\,,}D^{n}\,$e$D_{x}^{n}.\,$

A derivada de uma função$f$de argumento$x$é às vezes dada em uma das seguintes formas:

$[f(x)]'\,\!$,$f'(x).\,\!$

A criação e uso da notação$D$é creditada àOliver Heaviside,que considerouoperadores diferenciaisda forma

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

em seu estudo sobreequações diferenciais.

Um dosoperadores diferenciaismais vistos é o operador Laplaciano, definido como

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Na escrita, seguindo a convenção matemática padrão, o argumento dooperador diferencialé usualmente colocado do lado direito do próprio operador. Às vezes, porém, uma notação alternativa é usada: o resultado de aplicar o operador na função do lado esquerdo do operador e do lado direito, e a diferença obtida quando aplicando o operador diferencial à funções de ambos os lados, são denotadas por flechas da maneira seguinte:

$f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f$

$f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g$

$f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.$

Tal notação de flecha bidirecional é frequentemente usada para descrever a corrente de probabilidade na mecânica quântica.

Del

Artigo principal:Del

O operador diferencialdel,também chamado deoperador nabla,é um importanteoperador diferencialvetorial. Ele aparece frequentemente na física em locais como a forma diferencial dasequações de Maxwell.Nas coordenadas tridimensionais Cartesianas, del é definido como:

$\nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {\hat {x}} +{\partial \over \partial y}\mathbf {\hat {y}} +{\partial \over \partial z}\mathbf {\hat {z}}.$

O del é usado para calcular ogradiente,rotacional,divergente,e oLaplacianode diversos objetos.

Adjunto de um operador

Dado umoperador diferenciallinear$T$

$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$,

oadjunto desse operadoré definido como o operador$T^{*}$tal que

$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$

onde a notação$\langle \cdot,\cdot \rangle$é usada para oproduto escalarouproduto interno.Esta definição portanto depende da definição de produto escalar.

Adjunto formal em uma variável

No espaço funcional defunções quadrado-integráveis,o produto escalar é definido como

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx,$

onde${\overline {g(x)}}$é o par conjugado complexo de g(x). Se mais do que isso é adicionada a condição de que f ou g desaparece quando$x\to a$e$x\to b$,pode-se definir o adjunto de T como

$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u].\,$

Essa fórmula não depende explicitamente da definição de produto escalar. Ela é, portanto, às vezes escolhida como a definição de operador adjunto. Quando$T^{*}$é definido por essa fórmula, é chamado deadjunto formalde T. Umoperador autoadjunto(formal) é um operador igual ao seu próprio adjunto (formal).

Várias variáveis

Se Ω é o domínio emRⁿ,e P um operador diferencial em Ω, então o adjunto de P é definido noEspaço LpL²(Ω) por dualidade de maneira análoga:

$\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$

para todas as funçõesL²suaves f, g. Como funções suaves são densas emL²,isto define o adjunto de um subconjuntoL²denso: P^*é um operador densamente definido.

Exemplo

O operador deSturm-Liouvilleé um exemplo bem conhecido de um operador autoadjunto formal. Este operador diferencial linear de segunda ordem pode ser escrito na forma

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!$

Essa propriedade pode ser provada usando a definição de adjunto formal acima:

${\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}$

Esse operador é importante na Teoria de Sturm-Liouville, onde as funções-eigen (análogas a vetores-eigen) desse operador são consideradas.

Polinômio de Operadores

Como consequência imediata da definição de operadores, podemos escrever

$D(D(y))=D(y')=y''$.

Ou seja:

$D^{2}(y)=y''$.

Generalizando, definimos

$D^{n}(y)=y^{(n)}$como a derivada de$y$de ordem$n$,para qualquer inteiro não negativo.

Podemos agora definir um polinômio de operadores$P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0}$,onde

$a_{0},a_{1},...,a_{n-1},a_{n}$são números reais, como:

$(a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0})y=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y^{(1)}+a_{0}y$.

Operações com polinômios em D

De certa forma é possível realizar operações com polinômios em D da mesma forma que se realiza com polinômios convencionais, estando bem definidas as operações de Adição, Subtração e Multiplicação, como mostrado a seguir:

Sejam$P(D)$e$Q(D)$polinômios em$D$,$\alpha \in \mathbb {R}$e$f$uma função infinitamente diferenciável. Definimos:

1. $(P(D)+Q(D))f=P(D)f+Q(D)f$
2. $(\alpha P(D))f=\alpha P(D)f$
3. $P(D)(Q(D)f)=P(D)Q(D)f$

Observação: a operação de Multiplicação é comutativa, ou seja,$P(D)Q(D)=Q(D)P(D)$.

Resolução de sistemas de equações diferenciais com operadores

Sistemas de equações diferenciaisnão muito complexos podem ser resolvidos comOperadores Diferenciais,visto a praticidade de se representar equações diferenciais com os mesmos, e pelo fato de se poder operá-los como polinômios convencionais, ou seja, pode-se operar polinômios em$D$como se fossem coeficientes constantes. No entanto, deve-se lembrar que a operação de Divisão de Operadores não foi definida, logo não se deve dividir operadores diferenciais nos métodos em que estes são úteis para sistemas de equações.

Anel de operadores diferenciais polinomiais

Anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes

Seja R um anel, e$R\langle D,X\rangle$um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis D e X, e$I$o ideal dual gerado por DX-XD-1, então o anel deoperadores diferenciaispolinomiais invariantes em R é o anel quociente$R\langle D,X\rangle /I$.Esse é um anel não-comutativo simples. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma$X^{a}D^{b}\mod {I}$.Ele suporta um análogo da divisão Euclidiana de polinômios. Módulos diferenciais em$R[X]$(para a derivação padrão) podem ser identificados com módulos em$R\langle D,X\rangle /I$.

Anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes

Seja R um anel, e$R\langle D_{1},\ldots,D_{n},X_{1},\ldots,X_{n}\rangle$um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis$D_{1},\ldots,D_{n},X_{1},\ldots,X_{n}$,e$I$o ideal dual gerado pelos elementos$D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i}-\delta _{i,j},D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$para todo$1\leq i,j\leq n$onde$\delta$é odelta de Kronecker,então o anel deoperadores diferenciais polinomiais multivariantes em R é o anel quociente$R\langle D_{1},\ldots,D_{n},X_{1},\ldots,X_{n}\rangle /I.$Esse é um anel não-comutativo. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma$X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}.$

Descrição independente de coordenadas

Em geometria diferencial e geometria algébrica, é geralmente conveniente ter uma descrição deoperadores diferenciaisindependente de coordenadas entre doisfibrados vetoriais.Sejam E e F dois fibrados vetoriais em uma superfície diferenciável M. Uma transformação R-linear de seções P: Γ(E) → Γ(F) é dita como sendo um operador diferencial linear de k-ésima ordem se ele é fatorável sobre o fibrado de jetJ^k(E). Em outras palavras, existe uma transformação linear de fibrados vetoriais

$i_{P}:J^{k}(E)\to F$

tal que

$P=i_{P}\circ j^{k}$

ondej^k:Γ(E) →Γ(J^k(E)) é a continuação que associa a qualquer parte deEseuk-jet.

Isso significa que para uma dada seçãosdeE,o valor deP(s) no pontox∈Mé inteiramente definido na k-ésima ordem infinitesimal o comportamento desemx.Em particular isso implica queP(s)(x) é determinado pelogermdesemx,que se expressa ao dizer que todos os operadores diferenciais são locais.