Paradoxo do litoral
Oparadoxo do litoralé a observação contraintuitiva de que olitoralde uma massa terrestre não tem um comprimento bem definido. Isso resulta das propriedades semelhantes àsfractaisdas linhas costeiras, ou seja, o fato de que um litoral tipicamente tem uma dimensão fractal (o que de fato torna a noção de comprimento inaplicável). A primeira observação registrada deste fenômeno foi porLewis Fry Richardson[1]e foi expandido porBenoit Mandelbrot.[2]
A extensão medida de um litoral depende do método usado para medi-la e do grau de generalização cartográfica. Como uma massa de terra tem diversas características em todas as escalas, de centenas de quilômetros de tamanho a minúsculas frações de um milímetro ou menos, não há tamanho óbvio do menor recurso que deve ser levado em consideração ao medir isso e, portanto, nenhum perímetro bem definido para o essas massas de terra e seus litorais. Várias aproximações conf. (Minkowski – Bouligand) existem quando hipóteses específicas são feitas sobre o tamanho mínimo do recurso (escala).
O problema é fundamentalmente diferente da medição de outros segmentos mais simples. É possível, por exemplo, medir com precisão o comprimento de uma barra de metal reta e idealizada usando um dispositivo de medição para determinar que o comprimento é menor que uma certa quantidade e maior que outra quantidade - isto é, para medi-lo dentro de um certo grau de incerteza. Quanto mais preciso for o dispositivo de medição, mais próximos serão os resultados para o comprimento real do que vai ser medido. Ao medir um litoral, no entanto, a questão é que o resultado não aumenta em precisão para um aumento no critério da medição – o resultado só aumenta; diferentemente da barra de metal, não há como obter um valor máximo para o comprimento de um litoral.
No espaço tridimensional, o paradoxo do litoral é prontamente estendido ao conceito de superfícies fractais pelo qual a área de uma superfície varia, dependendo da resolução da medição.
Aspectos matemáticos
[editar|editar código-fonte]O conceito básico decomprimentotem origem em distância euclidiana. Na geometria euclidiana, uma linha reta representa a menor distância entre dois pontos. Essa linha tem apenas um comprimento. Na superfície de uma esfera, essa é substituída pelo comprimento geodésico (também chamado comprimento sobre grande círculo), que é medido ao longo da curva de superfície que existe no plano contendo ambos os pontos finais e o centro da esfera. O comprimento do arco, das curvas básicas é mais complicado, mas também pode ser calculado. Medindo com réguas, pode-se aproximar o comprimento de uma curva adicionando a soma das linhas retas que conectam os pontos:
Usar algumas linhas retas para aproximar o comprimento de uma curva produzirá uma estimativa menor que o valor real; quando linhas cada vez mais curtas (e, portanto, mais numerosas) são usadas, a soma se aproxima do comprimento mais real da curva. Um valor preciso para este comprimento pode ser encontrado usandocálculo,o ramo da matemática que permite o cálculo de distâncias infinitamente pequenas. A animação a seguir ilustra como a uma curva “smooth” pode ser significativamente atribuído um comprimento preciso
No entanto, nem todas as curvas podem ser medidas dessa maneira. Umfractalé, por definição, uma curva cuja complexidade muda com a escala de medição. Enquanto as aproximações de uma curva suave tendem para um único valor à medida que a precisão da medição aumenta, o valor medido para um fractal não converge.
Como o comprimento de uma curva fractal sempre diverge ao infinito, se alguém fosse medir um litoral com resolução infinita ou quase infinita, o comprimento das dobras infinitamente curtas no litoral aumentaria até o infinito.[3]No entanto, essa figura se baseia no pressuposto de que o espaço pode ser subdividido em seções infinitesimais. O valor de verdade dessa suposição - que fundamenta a geometria euclidiana e serve como um modelo útil na medição cotidiana - é uma questão de especulação filosófica e pode ou não refletir as realidades mutáveis do "espaço" e da "distância" num nível quase atômico (aproximadamente a escala de umnanômetro). Por exemplo, a longitude de Planck, muitas ordens de grandeza menor que um átomo, é proposta como a menor unidade mensurável possível no universo.
As linhas costeiras são menos definidas em sua construção do que os fractais idealizados, como o conjunto de Mandelbrot, porque são formadas por vários eventos naturais que criam padrões de maneiras estatisticamente aleatórias, enquanto os fractais idealizados são formados por repetidas iterações de simples, sequências estereotipadas.[4]
Notas
[editar|editar código-fonte]- ↑Weisstein, Eric W.«Coastline Paradox».MathWorld(em inglês)
- ↑Mandelbrot, Benoit (1983).The Fractal Geometry of Nature.[S.l.]: W.H. Freeman and Co. 25–33.ISBN978-0-7167-1186-5
- ↑Post & Eisen, p. 550.
- ↑Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe,Chaos and Fractals: New Frontiers of Science;Spring, 2004; p.424.
Bibliografia
[editar|editar código-fonte]- Post, David G.,andMichael Eisen."How Long is the Coastline of Law? Thoughts on the Fractal Nature of Legal Systems".Journal of Legal StudiesXXIX(1), January 2000.
Ligações externas
[editar|editar código-fonte]- "Coastlines"atFractal Geometry(ed. Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger; maintained for Math 190a at Yale University)
- The Atlas of Canada – Coastline and Shoreline
- NOAA GeoZone Blog on Digital Coast
- What Is The Coastline Paradox?–YouTubevideo byVeritasium
- The Coastline Paradox Explained–YouTubevideo by RealLifeLore