Paralelismo

As retas a e b são paralelas.

Emgeometria,paralelismoé uma noção que indica se dois objetos (retasouplanos) estão na mesma direção.

Paralelismo de duas retas no plano euclidiano

Sejam duasretas$r$e$s$pertencentes a umplano$A$.Diz-se que$r$é paralela a$s$($r$//$s$) se, e somente se,$r$e$s$são coincidentes ($r$=$s$) ou se aintersecçãode$r$e$s$é umconjunto vazio,ou seja, se elas não possuempontoscomuns.

Teorema das retas paralelas

"Se duas retascoplanarese distintas$r$e$s$,e umatransversal$t$,determinam um par deângulosalternos (ou ângulos correspondentes)congruentes,então$r$é paralela a$s$."

O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:

Sejam$r$e$s$retas paralelas e distintas. Se$t$intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.

Caso as retas estejam noespaço,então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.

Unicidade e transitividade do paralelismo de retas

Também conhecido como postulado de Euclides oupostulado das paralelasdefine que:

"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada."

Agora, caso$r$e$s$forem retas paralelas, bem como as retas$s$e$t$forem paralelas, vale que$r$e$t$serão paralelas.

Paralelismo de uma reta e de um plano no espaço euclidiano

No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.

Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta$r$e um plano$\pi$,com$r$não contida em$\pi$,se existir uma outra reta$s$contida no plano$\pi$,de modo que$r$e$s$sejam paralelas, então a reta$r$será paralela ao plano$\pi$.

Porém, caso a reta$r$e o plano$\pi$forem paralelos, então necessariamente a reta$r$será paralela a uma reta do plano$\pi.$

Paralelismo de planos no espaço euclidiano

No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:

1. se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
2. se são coincidentes (iguais).

Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,ou seja, para que dois planos distintos$\alpha$e$\pi$sejam paralelos, deve-se ter ou$\alpha$ou$\pi$com duasretas concorrentesque sejam paralelas ao outro plano.

Sendo assim, se dois planos$\alpha$e$\pi$são paralelos e distintos, todas as retas do plano$\alpha$são paralelas ao plano$\pi$,assim como todas as retas do plano$\pi$são paralelas ao plano$\alpha$.Ainda, cada uma das retas de$\pi$é paralela a pelo menos uma reta de$\alpha$e vice-versa.

Paralelismo de retas no plano de acordo com a geometria analítica

Representa-se uma reta nageometria analíticapor meio de umaequaçãode 1º grau que possui duasincógnitas.Para determiná-la são necessários:

• 2 pontos distintos pertencentes à reta;

ou

• 1 ponto da reta e o valor do ângulo de inclinação da reta.

Para que três pontos$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$e$(x_{3},y_{3})$estejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante

${\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}$

seja igual a zero. Logo, supondo que$A(x_{1},y_{1})$e$B(x_{2},y_{2})$sejam pontos distintos pertencentes à uma reta$t$,para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos$A$,$B$e um ponto genérico$P(x,y)$pertencente à$t$.Os valores para$P$são fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.

Como o resultado do determinante deve ser igual a 0, então:

${\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x&y&1\end{vmatrix}}=0$

$\Rightarrow x_{1}y_{2}+xy_{1}+x_{2}y-(xy_{2}+x_{1}y+x_{2}y_{1})=0$

$\Rightarrow xy_{1}-xy_{2}+x_{2}y-x_{1}y+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$

$\Rightarrow x(y_{1}-y_{2})+y(x_{2}-x_{1})+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$

Como a equação da reta é da forma$ax+by+c=0$,sendo$a\neq 0$e$b\neq 0$,neste caso$a=y_{1}-y_{2}$,$b=x_{2}-x_{1}$e$c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$.

Partindo da equação geral da reta, é possível descobrir o valor do ângulo de inclinação da reta, de modo a verificar outras retas com mesmo ângulo de inclinação e portanto, paralelas.

Denotaremos por$\beta$o ângulo de inclinação da reta$t$.Este ângulo deve partir do eixo$x$no sentido anti-horário. Atangentedo ângulo$\beta$é denominadacoeficienteangular ou declividade da reta.É comum indicar o coeficiente angular por$m:$

$tg\beta =m.$

Há quatro possibilidades para$m$,as quais possuem algumas peculiaridades:

• $\beta =0\,^{\circ };$
• $0\,^{\circ }<\beta <90\,^{\circ };$
• $\beta =90\,^{\circ };$
• $90\,^{\circ }<\beta <180\,^{\circ }.$

Caso$\beta =90\,^{\circ }$,segue que a reta é paralela ao eixo y (mas o valor da tangente de 90° não está definido). Porém, se$\beta =0\,^{\circ }$,observa-se que sua declividade é nula e assim, a reta é paralela ao eixo x.

Para os dois outros casos, pode-se calcular$m$partindo dos valores dascoordenadasdos pontos$A$e$B$,bastando definir um ponto$C$,tal que ABC seja umtriângulo retânguloem$C$.Sem perda de generalidade, supomos$y_{2}>y_{1}$,$x_{2}\neq x_{1}$e fixemos$C(x_{2},y_{1})$.O cateto oposto do triângulo retângulo irá medir$|y_{2}-y_{1}|$e o cateto adjacente$|x_{2}-x_{1}|$(o valor está emmódulopois indica uma medida. No cálculo da tangente ele não será utilizado). Logo, sabendo que a tangente de um ângulo é dada pelarazãoentre o cateto oposto e ahipotenusa:

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Se$m>0$,então a declividade será positiva. Já se$m<0$,então a declividade será negativa.

Porém, caso a equação da reta esteja expressa na forma reduzida, reconhecer retas paralelas a ela será mais simples, bastando observar o valor do coeficiente que acompanha a incógnita da abscissa.

Para isso, considere uma reta$p$em que se conheça o valor do coeficiente angular, supomos$m$,além de um ponto$D(x_{0},y_{0})$que pertença à$p$.Considere também um ponto genérico$P(x,y)$,tal que$P\neq D$.

Sabemos que:

$m={\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$

$\Rightarrow y-y_{0}=m(x-x_{0}).$

Se escolhermos$D$de modo que ele seja o ponto em que a reta$p$intercepta o eixo y, então o valor da sua abscissa será 0, e portanto,$D(0,y_{0})$,ou seja:

$y-y_{0}=m(x-0)$

$\Rightarrow y-y_{0}=mx$

$\Rightarrow y=mx+y_{0}.$

Qualquer outra reta com um mesmo coeficiente angular$m$será paralela a$p$.

Paralelismo no espaço euclidiano tridimensional de acordo com a geometria analítica

Retas paralelas

Seja${\vec {v}}$umvetorque passa pela origem$O(0,0,0)$com extremidade em$F(a,b,c)$.Então${\vec {v}}={\vec {OF}}$,ou seja,${\vec {v}}=(a,b,c)$.A equação da reta com mesma direção de${\vec {v}}$,que passa pelo ponto$F(a,b,c)$e pela origem pode ser representada por:

$Q=t{\vec {v}}$

$\Rightarrow (x,y,z)=t(a,b,c)$

em que$t$é um valorreal,variando de$-\infty$a$+\infty$e$Q=(x,y,x)$.

Caso o objetivo for determinar uma reta$p$paralela à$r$,com$p$passando por um ponto$P(x_{0},y_{0},z_{0})$,basta fazer:

$(x,y,z)=t(a,b,c)+(x_{0},y_{0},z_{0})$

$\Rightarrow (x,y,z)=(ta+x_{0},tb+y_{0},tc+z_{0}).$

O vetor${\vec {v}}$é chamado de vetor diretor da reta.Logo, qualquer reta com mesma direção de${\vec {v}}$será paralela à reta$r$.Desse modo, as retas:

$r:P=A+{\vec {v}}t$

$s:P'=B+{\vec {u}}t$

são paralelas se${\vec {v}}=k{\vec {u}}$,sendo$k$um número real.

Planos paralelos

A equação de um plano$\pi$pode ser obtida a partir de uma reta que sejaortogonala todos os vetores do plano e de um ponto$P$pertencente ao plano.

Seja${\vec {u}}=(a,b,c)$um vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores de$\pi$e sejam$P(x,y,z)$e$P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$pontos pertencentes a$\pi$.O vetor${\vec {u}}$é chamado devetor normalao plano$\pi$.Os vetores de${\vec {P_{1}P}}$e${\vec {u}}$são ortogonais, ou seja, o resultado de seuproduto escalaré 0 (por isso o vetor${\vec {u}}$não deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):

${\vec {P_{1}P}}.{\vec {u}}=0$

$\Rightarrow (x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}).(a,b,c)=0$

$\Rightarrow a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0$

$\Rightarrow ax-ax_{1}+by-by_{1}+cz-cz_{1}=0$

$\Rightarrow ax+by+cz=ax_{1}+by_{1}+cz_{1}.$

$ax_{1}+by_{1}+cz_{1}$é comumente denotado por$d$e assim:

$ax_{1}+by_{1}+cz_{1}=d.$

Qualquer ponto que satisfaça a equação anterior pertence ao plano$\pi$.

Sendo assim, dois planos serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, ou seja, para

$\alpha:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$

e

$\beta:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$

vale que$\alpha$e$\beta$serão paralelos se

${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}.$

Ainda,$\alpha$e$\beta$serão paralelos e distintos se não houver pontos em comum entre eles, caso contrário$\alpha$e$\beta$serão coincidentes e todos os pontos pertencentes a um pertencerão ao outro.

Reta e plano paralelos

Para que uma reta$t$seja paralela a um plano$\alpha$,basta que$t$seja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta

$t:(x,y,z)=\alpha (a_{1},b_{1},c_{1})+(x_{0},y_{0},z_{0})$

e o plano

$\beta:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d=0$

segue que se os produto escalar dos vetores$(a_{1},b_{1},c_{1})$e$(a_{2},b_{2},c_{2})$,respectivamente o vetor diretor da reta$t$e o vetor normal do plano$\beta$,resultar em 0, então$t$e$\beta$serão paralelos.

Porém, há duas possibilidades. Caso a reta$t$e o plano$\beta$possuam pontos em comum, então$t$estará contida em$\beta$e de acordo com o paralelismo de uma reta e um plano no espaço euclidiano,$t$e$\beta$não serão paralelos. Caso não haja nenhum ponto em comum, então$t$não estará contida em$\beta$e$t$e$\beta$serão paralelos.

Ver também

• Retas paralelas
• Perpendicularidade