Paralelismo
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Emgeometria,paralelismoé uma noção que indica se dois objetos (retasouplanos) estão na mesma direção.[1]
Paralelismo de duas retas no plano euclidiano
[editar|editar código-fonte]Sejam duasretasepertencentes a umplano.Diz-se queé paralela a(//) se, e somente se,esão coincidentes (=) ou se aintersecçãodeeé umconjunto vazio,ou seja, se elas não possuempontoscomuns.[2]
Teorema das retas paralelas
[editar|editar código-fonte]"Se duas retascoplanarese distintase,e umatransversal,determinam um par deângulosalternos (ou ângulos correspondentes)congruentes,entãoé paralela a."[2][demonstração 1][2]
O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:
Sejameretas paralelas e distintas. Seintercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.[2]
Caso as retas estejam noespaço,então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.[3]Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.
Unicidade e transitividade do paralelismo de retas
[editar|editar código-fonte]Também conhecido como postulado de Euclides oupostulado das paralelasdefine que:
"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada."[2]
Agora, casoeforem retas paralelas, bem como as retaseforem paralelas, vale queeserão paralelas.[4]
Paralelismo de uma reta e de um plano no espaço euclidiano
[editar|editar código-fonte]No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.[5]
Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma retae um plano,comnão contida em,se existir uma outra retacontida no plano,de modo queesejam paralelas, então a retaserá paralela ao plano.[4][demonstração 2][4]
Porém, caso a retae o planoforem paralelos, então necessariamente a retaserá paralela a uma reta do plano[4][demonstração 3][4]
Paralelismo de planos no espaço euclidiano
[editar|editar código-fonte]No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:
- se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
- se são coincidentes (iguais).[4]
Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,[4]ou seja, para que dois planos distintosesejam paralelos, deve-se ter ououcom duasretas concorrentesque sejam paralelas ao outro plano.[6]
Sendo assim, se dois planosesão paralelos e distintos, todas as retas do planosão paralelas ao plano,assim como todas as retas do planosão paralelas ao plano.Ainda, cada uma das retas deé paralela a pelo menos uma reta dee vice-versa.[6]
Paralelismo de retas no plano de acordo com a geometria analítica
[editar|editar código-fonte]Representa-se uma reta nageometria analíticapor meio de umaequaçãode 1º grau que possui duasincógnitas.Para determiná-la são necessários:
- 2 pontos distintos pertencentes à reta;
ou
- 1 ponto da reta e o valor do ângulo de inclinação da reta.[7]
Para que três pontoseestejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante
seja igual a zero. Logo, supondo queesejam pontos distintos pertencentes à uma reta,para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos,e um ponto genéricopertencente à.[7]Os valores parasão fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.
Como o resultado do determinante deve ser igual a 0, então:
Como a equação da reta é da forma,sendoe,neste caso,e.[7]
Partindo da equação geral da reta, é possível descobrir o valor do ângulo de inclinação da reta, de modo a verificar outras retas com mesmo ângulo de inclinação e portanto, paralelas.
Denotaremos poro ângulo de inclinação da reta.Este ângulo deve partir do eixono sentido anti-horário. Atangentedo ânguloé denominadacoeficienteangular ou declividade da reta.[7]É comum indicar o coeficiente angular por
Há quatro possibilidades para,as quais possuem algumas peculiaridades:
Caso,segue que a reta é paralela ao eixo y (mas o valor da tangente de 90° não está definido). Porém, se,observa-se que sua declividade é nula e assim, a reta é paralela ao eixo x.[7]
Para os dois outros casos, pode-se calcularpartindo dos valores dascoordenadasdos pontose,bastando definir um ponto,tal que ABC seja umtriângulo retânguloem.Sem perda de generalidade, supomos,e fixemos.O cateto oposto do triângulo retângulo irá medire o cateto adjacente(o valor está emmódulopois indica uma medida. No cálculo da tangente ele não será utilizado). Logo, sabendo que a tangente de um ângulo é dada pelarazãoentre o cateto oposto e ahipotenusa:
Se,então a declividade será positiva. Já se,então a declividade será negativa.[7]
Porém, caso a equação da reta esteja expressa na forma reduzida, reconhecer retas paralelas a ela será mais simples, bastando observar o valor do coeficiente que acompanha a incógnita da abscissa.
Para isso, considere uma retaem que se conheça o valor do coeficiente angular, supomos,além de um pontoque pertença à.Considere também um ponto genérico,tal que.
Sabemos que:
Se escolhermosde modo que ele seja o ponto em que a retaintercepta o eixo y, então o valor da sua abscissa será 0, e portanto,,ou seja:
Qualquer outra reta com um mesmo coeficiente angularserá paralela a.[8]
Paralelismo no espaço euclidiano tridimensional de acordo com a geometria analítica
[editar|editar código-fonte]Retas paralelas
[editar|editar código-fonte]Sejaumvetorque passa pela origemcom extremidade em.Então,ou seja,.A equação da reta com mesma direção de,que passa pelo pontoe pela origem pode ser representada por:
em queé um valorreal,variando deae.
Caso o objetivo for determinar uma retaparalela à,compassando por um ponto,basta fazer:
O vetoré chamado de vetor diretor da reta.[10]Logo, qualquer reta com mesma direção deserá paralela à reta.Desse modo, as retas:
são paralelas se,sendoum número real.
Planos paralelos
[editar|editar código-fonte]A equação de um planopode ser obtida a partir de uma reta que sejaortogonala todos os vetores do plano e de um pontopertencente ao plano.[10]
Sejaum vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores dee sejamepontos pertencentes a.O vetoré chamado devetor normalao plano.Os vetores deesão ortogonais, ou seja, o resultado de seuproduto escalaré 0 (por isso o vetornão deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):[10]
é comumente denotado pore assim:
Qualquer ponto que satisfaça a equação anterior pertence ao plano.[10]
Sendo assim, dois planos serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, ou seja, para
e
vale queeserão paralelos se
Ainda,eserão paralelos e distintos se não houver pontos em comum entre eles, caso contrárioeserão coincidentes e todos os pontos pertencentes a um pertencerão ao outro.
Reta e plano paralelos
[editar|editar código-fonte]Para que uma retaseja paralela a um plano,basta queseja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta
e o plano
segue que se os produto escalar dos vetorese,respectivamente o vetor diretor da retae o vetor normal do plano,resultar em 0, entãoeserão paralelos.[9]
Porém, há duas possibilidades. Caso a retae o planopossuam pontos em comum, entãoestará contida eme de acordo com o paralelismo de uma reta e um plano no espaço euclidiano,enão serão paralelos. Caso não haja nenhum ponto em comum, entãonão estará contida emeeserão paralelos.
Demonstrações
[editar|editar código-fonte]- ↑
Demonstração:
Hipótese (fato, condição já definida no enunciado do teorema):,,pertencem a um mesmo plano, supomos,comdistinta dee os ângulos â e ê são congruentes (possuem a mesmamedida), sendo â e ê ângulos alternos das retaseinterceptadas por.
Tese (o que deve ser provado de acordo com o enunciado do teorema):é paralela à(//).
Sem perda de generalidade, supomos que â seja o ângulo pertencente a intersecção entre as retasee que ê seja o ângulo pertencente à intersecção entre as retase,onde â e ê são ângulos alternos internos.
Seenão fossem paralelas, então existiria um pontocomum àe à,ou seja,eiriam se interseccionar. Considerando agora os pontose,respectivamente intersecções das retasecom a transversal,teríamos otriânguloABP.
De acordo com o teorema do ângulo externo, que define que no triângulo, qualquer um de seus ângulos externos é maior do que cada um dos ângulos internos nãoadjacentesa ele, teríamos as seguintes possibilidades:
- se o ângulo ê fosse interno ao triângulo ABP, então â seria maior que ê.
- se o ângulo â fosse interno ao triângulo ABP, então ê seria maior que â.
- â > ê ou ê > â
- ↑ Demonstração: Sejauma reta que não está contida no plano.Ainda, por hipótese, sejaparalela a uma retacontida em.Logo,enão se interseccionam e existe um planoque contéme(pela definição de retas paralelas). Por construção,e,sendo.Ou seja,é a reta de intersecção dos planose.Supomos queepossuam um pontoem comum. Portanto, segue quee(já que). Desse modo,pertence a intersecção dee,ou seja,.Logo,e,o que é um absurdo, pois, por hipótese,esão paralelas e não possuem pontos em comum. Assim, concluímos queenão possuem pontos em comum, e portanto,é paralela à.
- ↑ Demonstração: Por hipótese, a retae o planosão paralelos. Logo, eles não se interceptam. Construindo um planoque contenha a retae intercepte,obtém-se uma reta,resultante da intersecção dos planose.Note que as retasepertencem ao plano,porém não possuem pontos em comum. Assim, segue pela definição de retas paralelas, queé paralela a,ou seja,é paralela a uma reta do plano.
Ver também
[editar|editar código-fonte]- ↑«Paralelismo».Consultado em 27 de julho de 2018
- ↑abcdeDolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013).Fundamentos da Matemática Elementar 9: geometria plana9 ed. São Paulo: Atual
- ↑Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto; Almeida, Nilze de (2004).Matemática: ciência e aplicações2 ed. São Paulo: Atual.ISBN85-357-0426-4
- ↑abcdefgDolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013).Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica.São Paulo: Atual
- ↑Paulo Antônio Fonseca Machado (2013).«Fundamentos da geometria espacial»(PDF)
- ↑abDante, Luiz Roberto (2010).Matemática: contexto e aplicações.2.São Paulo: Ática
- ↑abcdefgBalestri, Rodrigo (2016).Matemática: interação e tecnologia.32 ed. São Paulo: Leya
- ↑«Matemática analítica – Paralelismo e perpendicularismo entre retas».Blog do Enem
- ↑abcDe Maio, Waldemar; Chiummo, Ana (2008).Geometrias: geometrias analítica e vetorial: euclidianas e não-euclidianas.Rio de Janeiro: LTC
- ↑abcd«Retas e planos»(PDF)