Reta

Nota:"Linha Reta" redireciona para este artigo. Para o filme com Jesse Eisenberg, conhecido no Brasil como Linha Reta, vejaThe Hummingbird Project.

As retas vermelha e azul neste gráfico têm o mesmodeclive;as retas vermelha e verde têm o mesmointercepto em y(cruza oeixo yno mesmo local).

Uma representação de umsegmento de reta.

A noção dereta(AO 1945:recta)oulinha retafoi introduzida por matemáticos antigos para representar objetos retos (isto é, semcurvatura) com largura e profundidade desprezíveis. As retas são uma idealização de tais objetos. Até o século XVII, as retas eram definidas como "[...] a primeira espécie de quantidade, que possui apenas uma dimensão: comprimento, sem largura nem profundidade, e nada mais é do que o fluxo ou a passagem do ponto que [...] partirá de seu imaginário movendo algum vestígio de comprimento, isento de qualquer largura. […] A linha reta é aquela que se estende igualmente entre seus pontos".

Euclidesdescreveu uma reta como "comprimento sem largura" que "reside igualmente em relação aos pontos em si"; ele introduziu váriospostuladoscomo propriedades básicas não prováveis a partir das quais ele construiu toda a geometria, que agora é chamadageometria euclidianapara evitar confusão com outras geometrias que foram introduzidas desde o final do século XIX (comogeometria não euclidiana,projetivaeafim).

Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de uma reta está intimamente ligado à maneira como a geometria é descrita. Por exemplo, nageometria analítica,uma reta no plano é frequentemente definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma determinadaequação linear,mas em um cenário mais abstrato, como ageometria de incidência,uma reta pode ser um objeto independente, distinto de o conjunto de pontos que estão nele.

Quando uma geometria é descrita por um conjunto de axiomas, a noção de uma reta geralmente é deixada indefinida (o chamado objetoprimitivo). As propriedades das retas são determinadas pelos axiomas que se referem a elas. Uma vantagem dessa abordagem é a flexibilidade que ela oferece aos usuários da geometria. Assim, nageometria diferencial,uma reta pode ser interpretada comogeodésica(caminho mais curto entre os pontos), enquanto em algumas geometrias projetivas uma reta é umespaço vetorialbidimensional (todas as combinações lineares de dois vetores independentes). Essa flexibilidade também se estende além da matemática e, por exemplo, permite que os físicos pensem no caminho de um feixe de luz como sendo uma reta.

Definições versus descrições

Todas as definições são, em última análise, de naturezacircular,pois dependem de conceitos que devem ter definições, uma dependência que não pode ser continuada indefinidamente sem retornar ao ponto de partida. Para evitar esse círculo vicioso, certos conceitos devem ser tomados como conceitosprimitivos;termos que não têm definição.Na geometria, é frequente o conceito de reta ser tomado como primitivo.Nas situações em que uma reta é um conceito definido, como nageometria analítica,algumas outras ideias fundamentais são consideradas primitivas. Quando o conceito de reta é primitivo, o comportamento e as propriedades das retas são ditados pelosaxiomasque eles devem satisfazer.

Em um tratamento axiomático simplificado ou não-axiomático da geometria, o conceito de uma noção primitiva pode ser abstrato demais para ser tratado. Nessa circunstância, é possível que seja fornecida umadescriçãoouimagem mentalde uma noção primitiva para fundamentar a construção da noção sobre a qual formalmente se basearia nos axiomas (não declarados). Descrições deste tipo podem ser referidas, por alguns autores, como definições neste estilo informal de apresentação. Essas não são definições verdadeiras e não podem ser usadas em provas formais de declarações. A "definição" da reta n'Os Elementosde Euclides se enquadra nessa categoria.Mesmo no caso em que uma geometria específica está sendo considerada (por exemplo,geometria euclidiana), não há concordância geralmente aceita entre os autores sobre o que deve ser uma descrição informal de uma reta quando o assunto não está sendo tratado formalmente.

Na geometria euclidiana

Quando a geometria foi formalizada pela primeira vez porEuclidesn'Os Elementos,ele definiu uma reta geral (reta ou curva) como "comprimento sem largura", com uma linha reta sendo uma linha "que se encontra uniformemente com os pontos em si".Essas definições têm pouca finalidade, pois usam termos que não são, eles próprios, definidos. De fato, Euclides não usou essas definições neste trabalho e provavelmente as incluiu apenas para deixar claro ao leitor o que estava sendo discutido. Na geometria moderna, uma reta é simplesmente tomada como um objeto indefinido com propriedades dadas poraxiomas,mas às vezes é definida como um conjunto de pontos que obedecem a uma relação linear quando algum outro conceito fundamental é deixado indefinido.

Em uma formulação axiomática da geometria euclidiana, como a deHilbert(os axiomas originais de Euclides continham várias falhas que foram corrigidas pelos matemáticos modernos),afirma-se que uma reta tem certas propriedades que a relacionam a outras linhas epontos.Por exemplo, para quaisquer dois pontos distintos, existe uma reta única que os contém e quaisquer duas retas distintas se cruzam no máximo em um ponto.Em duasdimensões,ou seja, oplanoeuclidiano, duas retas que não se cruzam são chamadasparalelas.Em dimensões mais altas, duas retas que não se cruzam são paralelas se estiverem contidas em um plano oureversasse não estiverem.

Qualquer coleção de muitas retas finitas divide o plano empolígonos convexos(possivelmente sem limites); essa partição é conhecida como umarranjo de retas.

No plano cartesiano

Retas em umplano cartesianoou, mais geralmente, emcoordenadas afins,podem ser descritas algebricamente porequações lineares.

Emduas dimensões,a equação para retas não verticais é geralmente dada naforma de interceptação de inclinação:

$y=ax+b$

Onde:

$a$é odecliveda reta (oucoeficiente angular).

$b$é ointercepto em yda reta.

$x$é avariável independenteda função$y=f(x)$.

A inclinação da reta através dos pontos$A(x_{a},y_{a})$e$B(x_{b},y_{b})$,quando$x_{a}\neq x_{b}$,é dado por$m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})$e a equação desta reta pode ser escrita como$y=a(x-x_{a})+y_{a}$.

No$\mathbb {R^{2}}$,cada reta$L$(incluindo retas verticais) é descrito por uma equação linear da forma

$L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}$

comcoeficientesreais fixos$a$,$b$e$c$tal que$a$e$b$não são ambos zero. Usando esta forma, as retas verticais correspondem às equações com$b=0$.

Existem muitas maneiras variantes de escrever a equação de uma reta que pode ser convertida de uma para outra por manipulação algébrica. Essas formas geralmente são nomeadas pelo tipo de informação (dados) sobre a reta necessária para anotar a forma. Alguns dos dados importantes de uma reta são sua inclinação,interceptação em x,pontos conhecidos na reta e interceptação em$y$.

A equação da reta que passa por dois pontos diferentes$P_{0}(x_{0},y_{0})$e$P_{1}(x_{1},y_{1})$pode ser escrita como

$(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0})$

Se$x_{0}\neq x_{1}$,esta equação pode ser reescrita como

$y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}$

ou

$y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.$

Emtrês dimensões,as retasnãopodem ser descritas por uma única equação linear; portanto, elas são frequentemente descritas porequações paramétricas:

$x=x_{0}+at$

$y=y_{0}+bt$

$z=z_{0}+ct$

onde:

$x$,$y$e$z$são todas funções da variável independente$t$que varia sobre os números reais.

($x_{0}$,$y_{0}$,$z_{0}$) é qualquer ponto da reta.

$a$,$b$,$c$e estão relacionados com o declive da reta, de tal modo que ovetor($a$,$b$,$c$) é paralelo à reta.

Eles também podem ser descritos como soluções simultâneas de duasequações lineares

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0$

de tal modo que$(a_{1},b_{1},c_{1})$e$(a_{2},b_{2},c_{2})$não são proporcionais (as relações$a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}$implicam$t=0$) Isso ocorre porque em três dimensões uma única equação linear geralmente descreve umplanoe uma reta é o que é comum a dois planos deinterseçãodistintos.

Na forma normal

Aforma normal(também chamada deforma normal de Hesse,após o matemático alemãoLudwig Otto Hesse) é baseada nosegmentonormalde uma determinada reta, que é definida como o segmento de reta desenhado a partir daorigemperpendicular à reta. Esse segmento une a origem ao ponto mais próximo da reta até a origem. A forma normal da equação de uma linha reta no plano é dada por:

$y\sin \theta +x\cos \theta -p=0,$

onde$\theta$é o ângulo de inclinação do segmento normal (o ângulo orientado dovetor unitáriodo eixo$x$para esse segmento) e$p$é o comprimento (positivo) do segmento normal. A forma normal pode ser derivada da forma geral$ax+by=c$dividindo todos os coeficientes por

${\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Diferentemente das formas de interceptação, essa forma pode representar qualquer reta, mas também exige que apenas dois parâmetros finitos,$\theta$e$p$,sejam especificados. Se$p>0$,então$\theta$é definido exclusivamente no módulo$2\pi$.

Em coordenadas polares

Nascoordenadas polaresno plano euclidiano, a forma intercepto-inclinação da equação de uma reta é expressa como:

$r={\frac {ar\cos \theta +b}{\sin \theta }},$

onde$a$é a inclinação da reta e$b$é o intercepto em$y$.Quando$\theta =0$,o gráfico será indefinido. A equação pode ser reescrita para eliminar descontinuidades desta maneira:

$r\sin \theta =ar\cos \theta +b.$

Nas coordenadas polares no plano euclidiano, a forma de interceptação da equação de uma reta que não é horizontal, não vertical e que não passa pelo polo pode ser expressa como

$r={\frac {1}{{\frac {\cos \theta }{x_{o}}}+{\frac {\sin \theta }{y_{o}}}}}$

onde$x_{o}$e$y_{o}$representam as interceptações em$x$e$y$,respectivamente. A equação acima não é aplicável para retas verticais e horizontais, porque nesses casos uma das interceptações não existe. Além disso, não é aplicável em retas que passam pelo mastro, pois, neste caso, as intercepções$x$e$y$são zero (o que não é permitido aqui, pois$x_{o}$e$y_{o}$são denominadores). Uma reta vertical que não passa pelo polo é dada pela equação

$r\cos \theta =x_{o}.$

Da mesma forma, uma reta horizontal que não passa pelo polo é dada pela equação

$r\sin \theta =y_{o}.$

A equação de uma reta que passa através do polo é simplesmente dada como:

$\tan \theta =a$

onde$a$é a inclinação da reta.

Como uma equação vetorial

A equação vetorial da reta através dos pontos$A$e$B$é dada por$\mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB}$(onde$\lambda$éescalar).

Se$a$é o vetor$OA$e$b$é o vetor$OB$,então a equação da reta pode ser escrita como:$\mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )$.

Um raio começando no ponto$A$é descrito pela limitação de$\lambda$.Um raio é obtido se$\lambda \geq 0$,e o raio oposto vem de$\lambda \leq 0$.

No espaço euclidiano

Noespaço tridimensional,umaequação de primeiro graunas variáveis$x$,$y$e$z$define um plano; portanto, duas dessas equações, desde que os planos que eles originam não sejam paralelos, definem uma reta que é a interseção dos planos. De maneira mais geral, no espaço$n$-dimensional$n-1$,as equações de primeiro grau nas variáveis decoordenadas$n$definem uma reta sob condições adequadas.

De um modo mais geralespaço euclidiano,$\mathbb {R} ^{n}$(e, analogamente, em todos os outrosespaço afim), a reta$L$passando através de dois pontos diferentes$A$e$B$(considerado como vetores) é o subconjunto

$L=\{(1-t)\,a+t\,b\mid t\in \mathbb {R} \}$

A direção da reta é de$a$$(t=0)$para$b$$(t=1)$,ou seja, na direção do vetor$b-a$.Diferentes escolhas de$a$e$b$podem produzir a mesma reta.

Pontos colineares

Três pontos sãocolinearesse estiverem na mesma reta. Três pontosgeralmentedeterminam umplano,mas no caso de três pontos colineares issonãoacontece.

Emcoordenadas afins,no espaço$n$-dimensional os pontos$X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$,$Y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})$,e$Z=(z_{1},z_{2},...,z_{n})$são colineares se amatriz

${\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}$

tiver umaclassificaçãoinferior a 3. Em particular, para três pontos no plano$(n=2)$,a matriz acima é quadrada e os pontos são colineares se e somente se seudeterminantefor zero.

Equivalentemente para três pontos em um plano, os pontos são colineares se e somente se a inclinação entre um par de pontos for igual à inclinação entre qualquer outro par de pontos (nesse caso, a inclinação entre o par de pontos restante será igual às outras inclinações). Por extensão,$k$pontos em um plano são colineares se e somente se algum$(k-1)$pares de pontos tiverem as mesmas inclinações em pares.

Nageometria euclidiana,adistância Euclidiana$d$$(a,b)$entre dois pontos$a$e$b$podem ser usadas para expressar a colinearidade entre três pontos por:

Os pontos$a$,$b$e$c$são colineares se e somente se$d$$(x,a)=d$$(c,a)$e$d$$(x,b)=d$$(c,b)$implica$x=c$.

No entanto, existem outras noções de distância (como adistância de Manhattan) para as quais essa propriedade não é verdadeira.

Nas geometrias em que o conceito de uma reta é umanoção primitiva,como pode ser o caso em algumasgeometrias sintéticas,são necessários outros métodos para determinar a colinearidade.

Tipos de retas

De certo modo,todas as retas da geometria euclidiana são iguais, pois, sem coordenadas, não se pode diferenciá-las uma da outra. No entanto, as retas podem desempenhar papéis especiais em relação a outros objetos na geometria e ser divididas em tipos de acordo com esse relacionamento. Por exemplo, em relação a umacônica(umacircunferência,elipse,parábolaouhipérbole), as retas podem ser:

• tangentes,que tocam a cônica em um único ponto;
• secantes,que cruzam a cônica em dois pontos e passam por seu interior;
• externas, que não encontram a cônica em nenhum ponto do plano euclidiano; ou
• umadiretriz,cuja distância de um ponto ajuda a estabelecer se o ponto está na cônica.

No contexto da determinação doparalelismona geometria euclidiana, umatransversalé uma reta que cruza duas outras retas que podem ou não ser paralelas uma à outra.

Paracurvas algébricasmais gerais, as retas também podem ser:

• linhas$i$-secantes, atendendo à curva em$i$pontos contados sem multiplicidade, ou
• assíntotas,às quais uma curva se aproxima arbitrariamente de perto, sem tocá-la.

Com relação aostriângulos,temos:

• areta de Euler,
• asretas de Simsone
• retas centrais.

Para umquadriláteroconvexocom no máximo dois lados paralelos, areta de Newtoné a linha que conecta os pontos médios das duasdiagonais.

Para umhexágonocom vértices sobre uma cônica, temos areta de Pascale, no caso especial em que a cônica é um par de linhas, temos areta de Pappus.

Retas paralelassão linhas no mesmo plano que nunca se cruzam. Asretas de interseçãocompartilham um único ponto em comum. Retas coincidentes coincidem entre si — cada ponto que está em um deles também está no outro.

Retas perpendicularessão linhas que se cruzam emângulos retos.

Noespaço tridimensional,retas inclinadassão linhas que não estão no mesmo plano e, portanto, não se cruzam.

Na geometria projetiva

Em muitos modelos degeometria projetiva,a representação de uma reta raramente se ajusta à noção de "curva reta", como é visualizada na geometria euclidiana. Nageometria elíptica,vemos um exemplo típico disso.Na representação esférica da geometria elíptica, as retas são representadas porcírculos máximosde uma esfera com pontos diametralmente opostos identificados. Em um modelo diferente de geometria elíptica, as retas são representadas porplanoseuclidianos que passam pela origem. Embora essas representações sejam visualmente distintas, elas satisfazem todas as propriedades (como dois pontos que determinam uma reta única) que as tornam representações adequadas para as retas nessa geometria.

Extensões

Semirreta

Dada uma reta e qualquer ponto$A$nela, podemos considerar$A$como decompondo essa reta em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada desemirretae o ponto$A$é chamado deponto inicial.O ponto$A$é considerado como parte da semirreta.Intuitivamente, uma semirreta consiste nos pontos de uma reta que passa por$A$e prossegue indefinidamente, começando em$A$,em uma direção apenas ao longo da reta. No entanto, para usar esse conceito de semirreta nas provas, é necessária uma definição mais precisa.

Dados os pontos$A$e$B$distintos, eles determinam uma semirreta único com o ponto inicial$A$.Como dois pontos definem uma reta única, essa semirreta consiste em todos os pontos entre$A$e$B$(incluindo$A$e$B$) e todos os pontos$C$na reta através de$A$e$B$,demodo que$B$esteja entre$A$e$C$.Às vezes, isso também é expresso como o conjunto de todos os pontos$C$,de modo que$A$não esteja entre$B$e$C$.Um ponto$D$,na reta determinada por$A$e$B$,mas não na semirreta com o ponto inicial$A$determinado por$B$,determinará outra semirreta com o ponto inicial$A$.Com relação à semirreta$AB$,a semirreta$AD$é chamado desemirreta oposta.

Assim, diríamos que dois pontos diferentes,$A$e$B$,definem uma reta e uma decomposição dessa reta naunião disjuntade um segmento aberto ($A$,$B$) e duas semirretas,$BC$e$AD$(o ponto$D$não é desenhado no diagrama, mas está à esquerda de$A$na reta$AB$). Estes não são semirretas opostas, pois têm pontos iniciais diferentes.

Na geometria euclidiana, duas semirretas com um ponto final comum formam umângulo.

A definição de uma semirreta depende da noção de intermediação para pontos em uma reta. Segue-se que as semirretas existem apenas para geometrias para as quais essa noção existe, tipicamentegeometria euclidianaougeometria afimsobre umCorpo ordenado.Por outro lado, as semirretas não existem nageometria projetivanem em uma geometria sobre um corpo não ordenado, comonúmeros complexosou qualquerCorpo finito.

Natopologia,uma semirreta no espaço$X$é uma incorporação contínua de$\mathbb {R} ^{+}\rightarrow X$.É usado para definir o importante conceito defimdo espaço.

Segmento de reta

Um segmento de reta é uma parte de uma reta que é delimitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos na reta entre seus pontos finais. Dependendo de como o segmento de reta é definido, um dos dois pontos finais pode ou não fazer parte do segmento de reta. Dois ou mais segmentos de reta podem ter algumas das mesmas relações que as retas, como paralelas, cruzadas ou inclinadas, mas, diferentemente das linhas, elas podem não ser uma delas, se sãocoplanarese não se cruzam ou sãocolineares.

Geodésica

A "falta" e a "retidão" de uma reta, interpretadas como a propriedade de que adistânciaao longo da reta entre dois de seus pontos é minimizada (verdesigualdade triangular), pode ser generalizada e leva ao conceito degeodésicaemespaços métricos.

Bibliografia

• Coxeter, H.S.M (1969),Introduction to Geometry,ISBN0-471-18283-42nd ed., Nova Iorque: John Wiley & Sons
• Faber, Richard L. (1983),Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry,ISBN0-8247-1748-1,Nova Iorque: Marcel Dekker
• Pedoe, Dan (1988),Geometry: A Comprehensive Course,ISBN0-486-65812-0,Mineola, NY: Dover
• Wylie, Jr., C.R. (1964),Foundations of Geometry,ISBN0-07-072191-2,Nova Iorque: McGraw-Hill

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001),«Line (curve)»,Enciclopédia de Matemática,ISBN978-1-55608-010-4(em inglês),Springer
• Weisstein, Eric W.«Line».MathWorld(em inglês)
• «Equações da reta»(em inglês). emCut-the-Knot