Sinal (matemática)

Ossinais “mais” e “menos”são utilizados para mostrar o sinal de um número inteiro, racional ou real.

Emmatemática,a palavrasinalrefere-se à propriedade de serpositivoounegativo.Todos osnúmeros inteirosdiferentes dezerosão positivos ou negativos, e tem portanto um sinal, embora o positivo seja normalmente, graficamente, omitido. O mesmo ocorre para osnúmeros racionaisoureaisnão nulos (para osnúmeros complexos,por outro lado, não pode-se definir um sinal global, só sinais para as partes real e imaginária, já que não são um conjunto que admita um ordem compatível com a multiplicação).

O sinal de um número é representado com ossinais mais e menos,«+» e «−». A palavra «sinal» também é utilizada para referir-se a estes símbolos matemáticos, entre outros (como osinal de multiplicação).

A origem da regra dos sinais da multiplicação, tal como a conhecemos hoje, é, geralmente, atribuída aDiofanto de Alexandria.

Sinal de um número

Ver artigo principal:Número negativo

Em matemática (e suas aplicações) é necessário às vezes representar quantidades menores quezero.Existem diversos exemplos:

• Temperatura:a zerograus Celsius,0°C, a água congela; entretanto, é possível esfriar ainda mais o gelo e outras substâncias, e tais temperaturas são portanto menores que 0°C.
• Altitude:emgeografia,a altitude de um ponto é medida em relação aonível do mar.Algumas zonasdeprimidaspodem estar abaixo do nível do mar, e portanto sua altitude é menor que zero metros, 0 m.

Os números menores que zero sãonúmeros negativose para representá-los lhes é adicionado um sinalmenos,«−».

“ Umnúmero negativoé representado como um número ordinário com um sinal menos anterior: −1, −3/4, −53,7, etc. ”

Todos os números negativos são consequentemente menores que zero: −2 < 0, −7/2 < 0, etc. Os números maiores que zero, como 1, 7, 13/5,..., sãonúmeros positivos,e para distinguí-los melhor dos negativos, lhe é adicionado um sinalmais«+» anterior:

“ Umnúmero positivoé representado como um número ordinário com um sinal mais anterior: +4, +7/11, +21,4, etc. ”

Assim que 5 e +5 representam o mesmo número. Como os números positivos são maiores que zero tem-se que: 5 > 0, 9,4 > 0, etc.

Osinal de um númeroé portanto uma maneira de tratar tanto dosímboloque o precede, como da propriedade que tem esse número de ser maior ou menor que zero.

É habitual também distinguir entre a propriedade de ser positivo e a propriedade de ser não negativo, e ‘’vice versa’’. Como seu próprio nome indica, um número que é não negativo não é negativo, pelo que o é positivo ou é o zero:

“ • Um númeronão negativoé um número que ou é positivo, ou é zero.
• Um númeronão positivoé um número que ou é negativo, ou é zero. ”

Uma maneira de representar isso é mediante os símbolos «maior ou igual» e «menor ou igual», ≥ e ≤. Os números não negativos são maiores ou iguais a zero, ≥ 0; e os números não positivos são menores ou iguais a zero, ≤ 0.

Sinal de zero

Ver artigo principal:Zero

Ozero,0, não é um número positivo nem negativo, já que não é maior nem menor que si mesmo. Entretanto, pode ser representado com sinal mais ou menos, +0 ou −0, indistintamente, já que não causa nenhuma ambiguidade nas operações aritméticas.

(Em alguns contextos, o sinal de zero pode ser relevante, de forma que +0 e −0 representem coias distintas. Verzero com sinal.)

Regra dos sinais

A regra dos sinais resume o comportamento do produto de números positivos e negativos. O produto dos números positivos é evidentemente um número positivo, igualmente pode-se argumentar intuitivamente que o produto de um número negativo por um positivo é negativo. Menos intuitivo é o fato de que o produto dos números negativos é um número positivo. A regra de signos se expressa mediante quatro partes:

$(+)\cdot (+)=(+)$(o produto de dois números positivos é positivo)

$(-)\cdot (-)=(+)$(o produto de dois números negativos é um número positivo)

$(+)\cdot (-)=(-)$(o produto de um número positivo e um negativo é negativo), e pelapropriedade comutativada multiplicação,

$(-)\cdot (+)=(-)$(o produto de um número negativo e um positivo é negativo)

Função sinal

Ver artigo principal:Função sinal

Afunção sinal.

Afunção sinal,sgn(x) é uma função que só depende do sinal do número sobre o qual atua. Isto significa que sgn(x) tem um certo valor para todos os números positivos, outro certo valor para todos os números negativos, e outro para zero. Mais concretamente, a função sinal é:

“ ${\text{sgn}}(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-1&{\text{si}}&x<0\\0&{\text{si}}&x=0\\1&{\text{si}}&x>0\end{array}}\right.$ ”

Existência de sinal

O fato de que o sinal pode ser definido em um conjunto de números que formam umanelrequer sua definição umarelação de ordem totale conjunto de números positivos (ou noção de positividade)

O sinal pode ser definido sempre que possa definir-se a noção de positividade ou conjunto de números positivosPque satisfaz as seguintes condições:

1. Dados dois númerosaebque pertencem aP,entãoa+bpertencem aP.
2. Dados dois númerosaebque pertencem aP,entãoa·bpertencem aP.
3. Se$\scriptstyle c\in P$só uma das seguintes proposições é válida:

$c\in P,\qquad c=0,\qquad -c\in P$

onde$-c\,$designa oelemento opostoem relação à soma.

O fato que os números complexos não admitam um sinal compatível com o definido para os números reais se reflete em que tanto a suposição de que$\scriptstyle i\ >\ 0$e$\scriptstyle i\ <\ 0$conduzem à contradição:

Se$\scriptstyle 0\ <\ i$isso implicaría que$\scriptstyle 0\ <\ i\cdot i\ =\ -1$

Se$\scriptstyle 0\ >\ i$então$\scriptstyle -i\ >\ 0$e isso implicaría que$\scriptstyle 0\ <\ (-i)\cdot (-i)\ =\ -1$

Nos dois casos se obtém uma contradição.

Para oscorpos finitostampouco se pode definir a noção de sinal já que ao ser cíclicos em relação à multiplicação existe umntal que:

$\overbrace {a+\dots +a} ^{n}=-a$

Pela primeira condição que define o conjunto dos positivos, se$\scriptstyle a>0$então o primeiro termo deve ser positivo, mas pela terceira condição$\scriptstyle -a<0$,o que é uma contradição.

Significados de sinal

Sinal de um ângulo

Medindo-se a partir doeixox,os ângulos sobre ocírculo unitáriocontam como positivos na direçãoanti-horária,e negativos na direçãohorária.

Em muitos contextos, é comum para associar um sinal com a medida de umângulo,particularmente um ângulo orientado ou um ângulo derotação.Em tal situação, o sinal indica se o ângulo é no sentidohorárioou no sentido anti-horário. Através de diferentes convenções tal pode ser usado, sendo comum emmatemáticater-se ângulos no sentido anti-horário considerados como positivo, e os ângulos no sentido horário considerados como negativo.

É igualmente possível associar um sinal para um ângulo de rotação, em três dimensões, assumindo que oeixo de rotaçãotenha sido orientado. Especificamente, uma rotação “destra”(dextrogira) em torno de um eixo orientado normalmente conta como positivo, enquanto uma rotação “canhota” (sinistrogira) conta como negativa.

Sinal de uma alteração

Quando uma grandezaxaltera-se ao longo do tempo, aalteraçãono valor dexé tipicamente definida pela equação

$\Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.\,$

Usando essa convenção, um aumento emxconta como uma mudança positiva, enquanto que uma diminuição dexconta como variação negativa. Emcálculo,esta mesma convenção é utilizada na definição dederivada.Como resultado, qualqueraumento da funçãotem derivada positiva, enquanto que uma função decrescente tem derivada negativa.

Sinal de uma direção

Emgeometria analíticaefísica,é comum rotular determinadas direções como positivas ou negativas. Para um exemplo básico, areta numéricaé geralmente desenhada com números positivos para a direita e números negativos para a esquerda:

Como resultado, quando se discutemovimento retilíneo,deslocamentoouvelocidadeà direita é geralmente considerado como sendo positivo, enquanto movimento similar à esquerda é pensado como sendo negativo.

Noplano cartesiano,as indicações à direita e ascendentes são geralmente consideradas como positivas, com sendo para a direita a direçãoxpositivo, e para cima, sendo a direção deypositivo. Se um deslocamento ouvetorvelocidade é separado em seusvetores componentes,em seguida, a parte horizontal será positiva para o movimento para a direita e negativo para o movimento para a esquerda, enquanto que a parte vertical será positivo para o movimento para cima e negativo para movimento descendente.

Sinal em computação

bitmais significativo
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
A maioria dos computadores usamcomplemento para doispar representar o sinal de um inteiro.

Emcomputação,um valor inteiro pode ser assinado ou não assinado, dependendo se o computador está mantendo o controle de um sinal para o número. Ao restringir a um número inteiro umavariávelsomente para valores não-negativos, mais umbitpode ser usado para armazenar o valor de um número. Devido à forma inteira aritmética ser realizada dentro de computadores, o sinal de uma variável inteiro assinado geralmente não é armazenado como um únicobitindependente, mas em vez disso é armazenada utilizandocomplemento de doisou alguma outrarepresentação de números com sinal.

Em contraste, os números reais são armazenados e manipulados como valores deponto flutuante.Os valores de ponto flutuante são representados com três valores distintos, mantissa, expoente e sinal. Dado este ‘’bit’’ de sinal separado, é possível representar ambos zero positivo e negativo. A maioria das linguagens de programação normalmente trata dezero positivoezero negativocomo valores equivalentes, embora elas forneçam meios pelos quais a distinção possa ser detectada.

Outros significados

Carga elétricapode ser positiva ou negativa.

Em adição ao sinal de um número real, a palavra sinal é também usada em vários meios relacionados entre matemática e ciência:

• A expressãoaté o sinalsignifica que para uma grandezaqsabe-se tantoq=Qcomoq= −Qpara certoQ.Isso é frequentemente expresso comoq=±Q.Para números reais, isso significa que somente ovalor absoluto|q|da grandeza é conhecido. Paranúmeros complexosevetores,uma grandeza conhecida “até o sinal” é uma condição mais forte que uma grandeza que conhece-se amagnitude:à parteQe−Q,existem muitos outros valores possíveis deqtais que|q| = |Q|.
• Osinal de uma permutaçãoé definido como sendo positivo se a permutação é par, e negativa se a permutação é ímpar.
• Emteoria dos grafos,umgrafo assinaladoé um grafo no qual cada aresta tenha sido marcada com um sinal positivo ou negativo.
• Emanálise matemática,umamedida com sinalé uma generalização do conceito demedidano qual a medida de um conjunto pode ter valores positivos ou negativos.
• Em umarepresentação de dígitos assinalados,cada dígito de um número pode ter um sinal positivo ou negativo.
• As ideias deárea assinaladaevolume assinaladoàs vezes são usadas quando é conveniente para determinadas áreas ou volumes serem contadas negativas. Isto é particularmente verdadeiro na teoria dedeterminantes.
• Emfísica,qualquercarga elétricavem com um sinal, positivo ou negativo. Por convenção, uma carga positiva é uma carga com o mesmo sinal que a de umpróton,e uma carga negativa é uma carga com o mesmo sinal que a de umelétron.