Somatório

Emmatemática,somatórioousomatóriaé aadiçãode umasequênciade quaisquer tipos denúmeros,chamadosparcelasousomando;o resultado é suasomaoutotal.Além de números, outros tipos de valores também podem ser somados:funções,vetores,matrizes,polinômiose, em geral, elementos de qualquer tipo deobjeto matemáticopara o qual esteja definida umaoperaçãodenotada por "+".

O somatório de umasequência infinitaé chamado desérie.Tais somas envolvem o conceito delimite,e não são cobertas neste artigo.

O somatório de uma sequência explícita é denotado por uma sucessão de adições. Por exemplo, o somatório de[1, 2, 4, 2]é denotado por1 + 2 + 4 + 2,e seu total é 9, ou seja,1 + 2 + 4 + 2 = 9.Como a adição éassociativaecomutativa,não é preciso colocar parênteses, e o resultado não depende da ordem dos somandos. O somatório de uma sequência de um único elemento tem como resultado o próprio elemento. O somatório de uma sequência vazia (uma sequência sem elementos) resulta, por convenção, em0.

Frequentemente, os elementos de uma sequência são definidos, através de padrões regulares, como umafunçãode sua posição na sequência. Para padrões simples, o somatório de sequências longas pode ser representado substituindo a maioria das parcelas por reticências. Por exemplo, a soma dos 100 primeiros inteiros positivos pode ser escrita como1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100.Nos demais casos, o somatório é denotado por meio da notação Σ, em que$\textstyle \sum$é umaletra gregasigmamaiúscula aumentada. Por exemplo, a soma dosnprimeiros inteiros positivos é denotada por$\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.$

Para somatórios longos, e somatórios de tamanho variável (definidos por reticências ou a notação Σ), um problema comum é encontrar umaexpressão em forma fechadapara o resultado. Por exemplo,

Notação

Notação sigma maiúsculo

O símbolo de somatório

Anotação matemáticautiliza um símbolo para representar de forma compacta o somatório de vários termos similares: osímbolo de somatório,$\textstyle \sum$,uma forma ampliada da letra grega maiúsculasigma.Ele é definido como $$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}$$ em que$i$é oíndice do somatório;$x_{i}$é uma variável indexada que representa cada termo do somatório;$m$é oíndice inicial(oulimite inferior), e$n$é oíndice final(oulimite superior).A expressão "$i=m$"sob o símbolo de somatório significa que o índice$i$começa igual a$m$.O índice$i$é incrementado em uma unidade a cada termo subsequente, terminando quando$i=n$.

Aplicações

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular amédia aritméticade$n$números, teremos a seguinte expressão:

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},$

onde$\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$é um dada sequência de$n$números.

Algumas propriedades

Sejam$\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },$$\{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$sequências (por exemplo, denúmeros reais) e$\alpha$um escalar. Então, temos:

1.$\sum _{i=m}^{n}\alpha x_{i}=\alpha \sum _{i=m}^{n}x_{i}$

2.$\sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}$

3.$\sum _{i=m}^{m}x_{i}=x_{m}$

4.$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m}^{p}x_{i}+\sum _{i=p+1}^{n}x_{i},\quad \forall m\leq p\leq n$

5.$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m+p}^{n+p}x_{i-p}$

6.$\sum _{i=m}^{n}(x_{i+1}-x_{i})=x_{n+1}-x_{m}$

7.$\sum _{i=m}^{n}\sum _{j=k}^{l}x_{i}y_{j}=\sum _{i=m}^{n}\left(x_{i}\sum _{j=k}^{l}y_{j}\right)$

8.$\left|\sum _{i=m}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=m}^{n}|x_{i}|$

9.$\sum _{n=0}^{t}x_{2n}+\sum _{n=0}^{t}x_{2n+1}=\sum _{n=0}^{2t+1}x_{n}$

10.$\sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}x_{z\cdot n+i}=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}x_{n}$

11.$\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)$

12. Permutação: Seja $\displaystyle p:\{1,\cdots n\mathbb {\}} \rightarrow \{1,\cdots n\mathbb {\}}$uma bijeção, com inversa$\displaystyle d:\{1,\cdots n\mathbb {\}} \rightarrow \{1,\cdots n\mathbb {\}}$.Assim temos que$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{k=d(m)}^{d(n)}a_{p(k)}$

Nas propriedades acima, assumimos que as sequências$\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },$$\{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$pertencem a umespaço vetorial.Particularmente, na propriedade 8.,$|\cdot |$denota anorma(quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural dadesigualdade triangular.No caso do espaço usual dos números reais,$|\cdot |$é a funçãovalor absoluto.

Para uma sequência$\{x_{i,j}\}_{(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:$$\sum _{i,j=1}^{n}:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i,j}$$Neste contexto temos as seguintes propriedades:

1.$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}x_{i,j}:=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}x_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}x_{i,j}$

2.$\sum _{i=m+k}^{n}\sum _{j=m}^{i-k}a_{i,j}=\sum _{j=m}^{n-k}\sum _{i=j+k}^{n}a_{i,j}$

Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório eprodutório.Dada uma sequência$\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} },$o produtório é, usualmente, denotado por:$$\prod _{i=1}^{n}x_{i}:=x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}$$Por exemplo, temos as propriedades:

1.$\sum _{n=s}^{t}\ln x_{n}=\ln \prod _{n=s}^{t}x_{n}$

2.$c^{\left[\sum _{n=s}^{t}x_{n}\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{x_{n}},{\mbox{onde}}~c>0.$

Número de termos do somatório

Dado o somatório:$$\sum _{i=m}^{n}{x_{i}}$$O número de termos da expressão resultante será dado por$t=n+1-m-r$,onde:

$t$é onúmero de termosdo somatório expandido;

$n$é oíndice final(oulimite superior);

$m$é oíndice inicial(oulimite inferior);

$r$é onúmero de restriçõesas quais o intervalo$[m,\ n]$está submetido.

Exemplos:

1)$\sum _{i=1}^{5}2i$

Onúmero de termosque expressão resultante terá é:$$t=n+1-m-r=5+1-1-0$$$=5$

ou seja,5 termos:$$\sum _{i=1}^{5}2i=2(1)+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=2+4+6+8+10$$

2)$\sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}$,para$i\neq 2,\ 3$.

Note que temosduasrestrições:$i\neq 2,\ 3$.O número de termos que expressão resultante terá é dado por$$t=n+1-m-r=7+1-0-2$$$=6$

ou seja,6 termos:$$\sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}={\Bigl (}{\frac {2}{(0-2)(0-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}x+{\frac {2}{(1-2)(1-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}4x+{\frac {2}{(4-2)(4-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}5x+{\frac {2}{(5-2)(5-3)}}{\Bigr )}$$$+{\Bigl (}6x+{\frac {2}{(6-2)(6-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}7x+{\frac {2}{(7-2)(7-3)}}{\Bigr )}$

Observação:o número de termos do somatório não necessariamente é igual ao número de termos da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas as$r$restrições pertencem ao intervalo$[m,\ n]$,caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).

Alguns somatórios de funções polinomiais

1. $\sum _{i=m}^{n}1=n+1-m$
2. $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$(Soma de umaprogressão aritmética)
3. $\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$(Número piramidal quadrado)
4. $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$
5. $\sum _{i=1}^{n}i^{4}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}$
6. $\sum _{i=1}^{n}i^{5}=1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}$
7. $\sum _{i=1}^{n}i^{6}=1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}$
8. $\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$

Alguns somatórios de funções exponenciais

1. $\sum _{i=m}^{n}x^{i}=x^{m}+x^{m+1}+x^{m+2}+\cdots +x^{n}={\frac {x(x^{n}-x^{m-1})}{x-1}}$(Soma dos termos de umaprogressão geométrica)
2. $\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}},$$(a\neq 1)$

Alguns somatórios de frações

1) Fixando-se, por exemplo,$n=2$nas expressões abaixo: $$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{2}}+\cdots$$

$$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}.$$

Para$n=3:$ $$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots$$

$$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots.$$

Comparando as expressões, dá para observar de um modo geral que: $$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}=\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}-1+{\frac {1}{n+1}}$$

Ou melhor:

$$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}-\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}$$

Desenvolvendo-se cada um dos lados: $$\sum _{p=1}^{n}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p+1}}\right)=\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p(p+1)}}={\frac {n}{n+1}}.$$ Logo:

$$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p(p+1)}}={\frac {n}{n+1}}.$$

Exemplo, calcular a soma:

${\frac {1}{1X2}}+{\frac {1}{2X3}}+{\frac {1}{3X4}}+{\frac {1}{4X5}}+{\frac {1}{5X6}}+\cdots +{\frac {1}{2016X2017}}.$

Aplicando-se a fórmula para$n=2016:$

$$\sum _{p=1}^{2016}{\frac {1}{p(p+1)}}={\frac {2016}{2017}}=0,9995042141795.$$

Com esse procedimento também é possível encontrar muitos outros somatórios de frações, como por exemplo:

2)$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p^{2}+3p+2}}={\frac {n}{2(n+2)}}$

3)$\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p(p+1)(p+2)}}={\frac {n^{2}+3n}{4n^{2}+12n+8}}$

Exemplo aplicado em linguagem de programação

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15$

Javascript:

soma=0
for(vari=1;i<=5;i++){
soma+i
}
console.log('Soma = '+soma)

Python:

print(sum(range(6)))

Ter em mente que em Python umrangeé um intervalo dado pela condição$i=0;i<=n$.

range(6)= (i = 0; i < 6) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Ver também

• Adição
• Série
• Integral

Ligações externas

• Somatórios - InfoEscola
• Localizador de somatório
• Somatórios úteis na teoria de Indução Matemática - O Monitor