O somatório de umasequência infinitaé chamado desérie.Tais somas envolvem o conceito delimite,e não são cobertas neste artigo.
O somatório de uma sequência explícita é denotado por uma sucessão de adições. Por exemplo, o somatório de[1, 2, 4, 2]é denotado por1 + 2 + 4 + 2,e seu total é 9, ou seja,1 + 2 + 4 + 2 = 9.Como a adição éassociativaecomutativa,não é preciso colocar parênteses, e o resultado não depende da ordem dos somandos. O somatório de uma sequência de um único elemento tem como resultado o próprio elemento. O somatório de uma sequência vazia (uma sequência sem elementos) resulta, por convenção, em0.
Frequentemente, os elementos de uma sequência são definidos, através de padrões regulares, como umafunçãode sua posição na sequência. Para padrões simples, o somatório de sequências longas pode ser representado substituindo a maioria das parcelas por reticências. Por exemplo, a soma dos 100 primeiros inteiros positivos pode ser escrita como1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100.Nos demais casos, o somatório é denotado por meio da notação Σ, em queé umaletra gregasigmamaiúscula aumentada. Por exemplo, a soma dosnprimeiros inteiros positivos é denotada por
Para somatórios longos, e somatórios de tamanho variável (definidos por reticências ou a notação Σ), um problema comum é encontrar umaexpressão em forma fechadapara o resultado. Por exemplo,[a]
Anotação matemáticautiliza um símbolo para representar de forma compacta o somatório de vários termos similares: osímbolo de somatório,,uma forma ampliada da letra grega maiúsculasigma.Ele é definido como
em queé oíndice do somatório;é uma variável indexada que representa cada termo do somatório;é oíndice inicial(oulimite inferior), eé oíndice final(oulimite superior)[2][3].A expressão ""sob o símbolo de somatório significa que o índicecomeça igual a.O índiceé incrementado em uma unidade a cada termo subsequente, terminando quando.[b]
Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular amédia aritméticadenúmeros, teremos a seguinte expressão:
12. Permutação: Seja
uma bijeção, com inversa.Assim temos que
Nas propriedades acima, assumimos que as sequênciaspertencem a umespaço vetorial.Particularmente, na propriedade 8.,denota anorma(quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural dadesigualdade triangular.No caso do espaço usual dos números reais,é a funçãovalor absoluto.
Para uma sequênciaé usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:Neste contexto temos as seguintes propriedades:
1.
2.
Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório eprodutório.Dada uma sequênciao produtório é, usualmente, denotado por:Por exemplo, temos as propriedades:
é onúmero de restriçõesas quais o intervaloestá submetido.
Exemplos:
1)
Onúmero de termosque expressão resultante terá é:
ou seja,5 termos:
2),para.
Note que temosduasrestrições:.O número de termos que expressão resultante terá é dado por
ou seja,6 termos:
Observação:o número de termos do somatório não necessariamente é igual ao número de termos da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas asrestrições pertencem ao intervalo,caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).
↑OLIVEIRA, Celso Luiz Borges. (Fevereiro de 2005).«Estatística: Aula 1 - Somatório»(PDF).Depto. de Engenharia Agrícola - Universidade Federal da Bahia.Consultado em 29 ago. 2020