Derivada parcial
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Emmatemática,umaderivada parcialde umafunçãode várias variáveis é a suaderivadacom respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Este conceito é útil nocálculo vectorialegeometria diferencial.
A derivada parcial de uma função em relação ao seu argumentoé representada.
Introdução
[editar|editar código-fonte]Suponha-se queƒé uma função de mais de uma variável. Para obter-se uma instância,
Ográficodesta função define umasuperfícienoespaço euclidiano.Para cada ponto sobre esta superfície, há um número infinito de linhas tangenciais. Diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar o seudeclive.Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao planoxz,e aquelas que são paralelos ao planoyz(que resultam da exploração ouyouxconstante, respectivamente.)
Para determinar o declive da linha tangente à função de P(1, 1, 3)que é paralela ao planoxz,oyvariável é tratado como constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. No gráfico abaixo, vemos a forma como a função se comportay= 1.Ao encontrar aderivadada equação assumindo queyé uma constante, e o decliveƒno ponto(x,y,z)é:
Então, em(1, 1, 3),por substituição, o declive é de 3. portanto
no ponto.(1, 1, 3).Ou seja, a derivada parcial dezcom relação axem(1, 1, 3)é 3.
Derivação parcial com limites
[editar|editar código-fonte]A derivada parcial de uma função denargumentospode ser representada através de um limite como sendo
A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis:
Em outras palavras, a cada valor de x define uma função, denotada fx, que é uma função de uma variável. Isto é,
Uma vez que o valor dexé escolhido, em seguida,f(x,y) determina a função faque enviayparaa2+ay+y2
Nesta expressão,aé uma constante, e não uma variável, então faé uma função de uma única variável real, sendoy.Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se:
O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha dea.Organizando as derivadas juntas em uma função dá uma função que descreve a variação defna direção dey:
Este é o derivado parcial defem relação ay.Aqui ∂ é umdarredondado, chamado o símbolo derivado parcial. Para distingui-la da letrad,∂ às vezes é pronunciado "del" ou "parcial" em vez de "dê".
Em geral, a derivada parcial de uma funçãof(x1,...,xn) na direção no pontoxi(a1,..., a) é definida como sendo:
No diferença quociente acima, todas as variáveis, excetoxisão mantidas fixas. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável,e, por definição,
Em outras palavras, as diferentes opções deaindica uma família de funções de uma variável, assim como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais se reduz ao cálculo de uma variável derivada.
Derivação parcial de função vetorial
[editar|editar código-fonte]Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de umcampo escalarf(x1,...xn) em um domínio no espaço EuclidianoRn(e.g., onR2orR3). Neste casoftem uma derivada parcial ∂f/∂xjcom relação a cada variávelxj.No pontoa,estas derivadas parciais definem o vector
Este vector é denominadogradientedefema.Sefé diferenciável em todos os pontos de algum domínio, então o gradiente é umafunção vetorialde valor ∇fque leva o pontoapara o vetor ∇f(a). Consequentemente, o gradiente produz umcampo vetorial.
Um problema comum de notação é definir o operador nabla (∇),como se apresenta em trêsdimensões espaciais euclidianasR3comvetores unitários:
Ou, mais geralmente, para o espaço euclidiano den- dimensõesRncom coordenadas (x1,x2,x3,...,xn) e vetores unitários ():
Definição formal
[editar|editar código-fonte]Como derivadas comuns, a derivada parcial é definida como sendo umlimite.SendoUumconjunto abertodeRnef:U→Ruma função. A derivada parcial defno pontoa= (a1,...,an) ∈Ucom relação ài- a variávelaié definida como
Mesmo se todas as derivados parciais ∂f/∂ai(a) existirem em um determinado pontoa,a função não necessita de sercontínua.
No entanto, se todos as derivadas parciais existirem numavizinhançadeae são contínuas, entãofé ototal derivadoem que a derivada da vizinhança total é contínua. Neste caso, diz-se quefé uma C1função.
Isto pode ser utilizado para generalizar funções vetoriais (f:U→R'm) com cuidado usando um argumento componente a componente.
A derivada parcialpode ser vista como uma outra função definida emUe pode ser novamente parcialmente diferenciada.
Se todas as derivadas parciais de segunda ordem mistas são contínuas em um ponto (ou um conjunto),fé denominado C2função naquele ponto (ou no conjunto); neste caso, as derivadas parciais podem ser trocadas peloTeorema de Clairaut-Schwarz:
Exemplos
[editar|editar código-fonte]Volume de um cone
[editar|editar código-fonte]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cone_3d.png/220px-Cone_3d.png)
Considere-se o volumeVde umcone;ele depende da altura do conehe do seu raiorde acordo com a fórmula
A derivada parcial deVcom relação aré
e descreve a taxa com que o volume de um cone aumenta à medida que o seu raio também aumenta e a sua altura é mantida constante. A derivada parcial relativamente ahé
Em contraste, aderivada totaldeVem relação àrehsão respectivamente
e
A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação de dependências indiretas entre as variáveis nas derivadas parciais.
Se (por alguma razão arbitrária) proporções do cone têm de permanecer as mesmas, e a altura e raio estando em uma relação fixak,temos
Isto dá a derivada total no que se relaciona ar:
Que simplifica para:
Do mesmo modo, a derivada total no que refere ahé:
Equações envolvendo derivadas parciais de uma função desconhecida são chamadas deequação diferencial parciale são comuns emfísica,engenhariae outrasciênciase disciplinas aplicadas.
Otimização
[editar|editar código-fonte]As derivadas parciais aparecem em qualquer problema deotimizaçãobaseada em cálculos com mais de uma variável de escolha. Por exemplo, emeconomia,uma empresa pode desejar maximizar olucroπ(x, y) com relação à escolha das quantidades x e y de dois tipos diferentes de produção. Ascondições de primeira ordempara esta otimização são πx= 0 = πy.Como ambas as derivadas parciais πxe πyserão geralmente funções de ambos os argumentos x e y, estas duas condições de primeira ordem formam umsistema de duas equações em duas incógnitas.
Termodinâmica, mecânica quântica e física matemática
[editar|editar código-fonte]Derivados parciais aparecem em equações termodinâmicas como aRelação de Gibbs-Duhem,em mecânica quântica como aequação da onda de Schrodinger,assim como em outras equações dafísica matemática.Aqui as variáveis sendo mantidas constantes em derivadas parciais podem ser razão de variáveis simples comofrações molaresxino seguinte exemplo envolvendo as energias de Gibbs em um sistema de mistura ternária:
Expressar asfrações molaresde um componente como funções dafração molarde outros componentes e rácios molares binários:
Os quocientes diferenciais podem ser formados em proporções constantes como os acima:
As proporções X, Y, Z das frações molares podem ser escritas para sistemas ternários e multicomponentes:
que pode ser usado para resolverequações diferenciais parciaiscomo:
Esta igualdade pode ser reordenada para ter um quociente diferencial de frações moles em um dos lados.
Redimensionamento de imagem
[editar|editar código-fonte]As derivadas parciais são a chave para algoritmos de redimensionamento de imagem com consciência de alvo. Amplamente conhecidos comoescultura em costura,estes algoritmos exigem que cadapixelde uma imagem receba uma 'energia' numérica para descrever sua disparidade em relação aos pixels ortogonais adjacentes. Oalgoritmoentão remove progressivamente as linhas ou colunas com a menor energia. A fórmula estabelecida para determinar a energia de um pixel (magnitude degradienteem um pixel) depende muito das construções de derivadas parciais.
Economia
[editar|editar código-fonte]Os derivados parciais desempenham um papel proeminente naeconomia,na qual a maioria das funções que descrevem o comportamento econômico postula que o comportamento depende de mais de uma variável. Por exemplo, umafunção de consumosocial pode descrever o montante gasto em bens de consumo como dependendo tanto da renda quanto da riqueza; apropensão marginal ao consumoé então a derivada parcial da função de consumo com relação à renda.
Notação
[editar|editar código-fonte]Mais informações: ∂
Para os exemplos a seguir, deixeser uma função eme.
Derivadas parciais de primeira ordem:
Derivadas parciais de segunda ordem:
Derivadas mistasde segunda ordem:
Derivadas parciais e mistas de ordem superior:
Ao lidar com funções de múltiplas variáveis, algumas destas variáveis podem estar relacionadas entre si, portanto pode ser necessário especificar explicitamente quais variáveis estão sendo mantidas constantes para evitar ambigüidade. Em campos como amecânica estatística,a derivada parcialem relação amantendoecontantes é freqüentemente expressa como
Convencionalmente, para clareza e simplicidade da notação, a função derivada parcial e o valor da função em um ponto específico sãoconflacionadospela inclusão dos argumentos da função quando o símbolo da derivada parcial (notação Leibniz) é usado. Assim, uma expressão como
é usado para a função, enquanto
pode ser usado para o valor da função no ponto
Entretanto, esta convenção se quebra quando queremos avaliar a derivada parcial em um ponto como.Neste caso, a avaliação da função deve ser expressa de uma maneira pouco prática, como:
ou
a fim de utilizar a notação Leibniz. Assim, nestes casos, pode ser preferível usar a notação dooperador diferencialEuler comcomo o símbolo derivado parcial em relação à
i-ésima variável.
Por exemplo, poderíamos escreverpara o exemplo descrito acima, enquanto a expressãorepresenta a função derivada parcial em relação à 1ª variável[1]
Para derivadas parciais de ordem superior, a derivada parcial (função) do estilocom relação à variável j é designada como.Ou seja,,para que as variáveis sejam listadas na ordem em que as derivadas são tomadas, e assim, em ordem inversa de como a composição dos operadores é normalmente anotada. Naturalmente, oteorema de Clairautimplica quedesde que as condições de regularidade comparativamente suaves em f sejam satisfeitas.
Antiderivada análoga
[editar|editar código-fonte]Existe um conceito para derivadas parciais que é análogo àsantiderivadaspara derivadas regulares. Dada uma derivada parcial, ela permite a recuperação parcial da função original.
Considere o exemplo de
A integral "parcial" pode ser tomada com respeito a x (tratando y como constante, de maneira semelhante à diferenciação parcial):
Aqui, aconstante de integraçãonão é mais uma constante, mas uma função de todas as variáveis da função original, exceto x. A razão disso é que todas as outras variáveis são tratadas como constantes quando se toma a derivada parcial, portanto, qualquer função que não envolvadesaparecerá quando se toma a derivada parcial, e temos que levar isso em conta quando tomamos o antiderivado. A forma mais geral de representar isto é ter a "constante" representando uma função desconhecida de todas as outras variáveis.
Assim, o conjunto de funções,onde g é qualquer função de um documento, representa o conjunto inteiro de funções nas variáveis x,y que poderiam ter produzido a derivada parcial.
Se todas as derivadas parciais de uma função são conhecidas (por exemplo, com ogradiente), então as antiderivadas podem ser combinadas através do processo acima para reconstruir a função original até uma constante. Ao contrário do caso de uma única variável, no entanto, nem todo conjunto de funções pode ser o conjunto de todas as (primeiras) derivadas parciais de uma única função. Em outras palavras, nem todos os campos vetoriais sãoconservativos.
Derivadas parciais de ordem superior
[editar|editar código-fonte]As derivadas parciais de segunda e maior ordem são definidas de forma análoga às derivadas de ordem superior de funções univariadas. Para a funçãoa "própria" segunda derivada parcial com respeito a x é simplesmente a derivada parcial da derivada parcial (ambas com respeito a x)[2]
A derivada parcial cruzada em relação a x e y é obtida tomando a derivada parcial de f em relação a x, e depois tomando a derivada parcial do resultado em relação a y, para obter
Oteorema de Schwarzafirma que se a segunda derivada é contínua, a expressão para a derivada parcial cruzada não é afetada por qual variável a derivada parcial é tomada em relação à primeira e qual é tomada em segundo lugar. Isto é, a segunda derivada,
ou equivalente
Derivadas parciais próprias e cruzadas aparecem namatriz de Hessianque é usada emcondições de segunda ordemem problemas deotimização.
Referências
- ↑Spivak, Michael.Calculus on manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus.New York: [s.n.]OCLC187146
- ↑Bello, Ivan; Chiang, Alpha C. (setembro de 1970).«Fundamental Methods of Mathematical Economics».Econometrica(5). 787 páginas.ISSN0012-9682.doi:10.2307/1912217.Consultado em 6 de setembro de 2020