Transformada de Legendre
Atransformada de Legendreconsiste em uma transformaçãomatemáticaque, quando aplicada sobre umafunçãosabidamentediferenciávelem relação às suasvariáveis independentes,fornece como resultado uma novaequaçãona qual asderivadas parciaisassociadas, e não as variáveisem si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita",.A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.[1]
A Transformada de Legendre e a Termodinâmica
[editar|editar código-fonte]A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área daFísicaconhecida porTermodinâmica,área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos,moléculasem uma amostra confinada degás,a exemplo.
Equação fundamental e Equação de estado
[editar|editar código-fonte]Em termodinâmica, cadasistemaem estudo é descrito por uma equação matemática conhecida porequação fundamental,uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema noequilíbrio termodinâmicoencontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.
As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para aentropiaS em umgás idealserá dependente das grandezasvolume(V),número de partículas(e não demoles) N, e daEnergia InternaU:.No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U emtem-se facilmente,também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo aequação de Clapeyrone a equação da energia(n= 3; 5;... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.
Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyrone a da energia,em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, comrepresentando aconstante de Boltzmane c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta aanálise dimensional,não explicitamente indicadas aqui:[2]
Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:
Verifica-se experimentalmente, entretanto, que asgrandezas intensivascomo a pressão,temperatura,e potencial químico( onde,eno formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que asgrandezas extensivascomo o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.
Representações no Formalismo da Energia
[editar|editar código-fonte]A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a elaconjugada,dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:
- Aenergia internaU, onde:a representação padrão no formalismo da energia.
- Aenergia livre de HelmholtzF, onde:decorre da substituição da grandeza extensiva S empela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS, sendo"mais adequada" para o estudo dastransformações isotérmicas.
- AentalpiaH, onde:decorre da substituição da grandeza extensiva V empela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV, sendo"mais adequada" para o estudo dastransformações isobáricas.
- Aenergia livre de GibbsG, onde:decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em,mediante G= U-TS+PV, sendo"mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.
- Ogrande potencialcanônico,,decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivaspelas correspondentes intensivasem,mediante,sendo"mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.
Em função da entropia S ser sempre umafunção monótona crescenteda energia interna U, a equação fundamental fundamentalpode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental,,o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamentalem acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas porfunções de Massieu.No formalismo da energia, a energia internae suas transformadas são geralmente conhecidas porpotenciais termodinâmicos.
A transformada de Legendre
[editar|editar código-fonte]Descrição
[editar|editar código-fonte]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Derivada.svg/300px-Derivada.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Transformada_de_Legendre.png/300px-Transformada_de_Legendre.png)
Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretaçãogeométricada Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma funçãodependente de apenas uma variável independente, X.
Sendono presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma funçãoonde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X emmediante a relação estabelecida entre P e X por.Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido,não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial.Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicialé preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicialpartindo-se de,a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.
A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equaçãoque permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equaçãoda curva.
Para tal, considere a reta tangente à curvano ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o pontoonde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:
donde tem-se
Como as expressõesesão conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P ena equação acima, o que fornece a procurada relação.Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o pontoonde esta reta deve interceptar o eixo Y.
Para recuperar-se a equação originalpartindo-se da equação,basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica,exceto por um sinal de menos na equação de transformação,[4]à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).
Em resumo tem-se:
Determinare | Determinare |
---|---|
Eliminação de X e Y fornece | Eliminação de P efornece |
Ao rigor da Matemática[5]
[editar|editar código-fonte]Definições
[editar|editar código-fonte]Emmatemática,a Transformada de Legendre, em homenagem aAdrien-Marie Legendre,é uma operação que transforma umafunção realde variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ∗definida por:
Se ƒ édiferenciável,então ƒ∗(p) pode ser interpretado como onegativo[6]do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor dexassociado ao máximo anterior tem-se a propriedade:
Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ∗.Em particular, se ƒ éconvexa(ou côncava para cima), então ƒ∗satisfaz a definição de umfuncional.
A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que astransformadas integrais,a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferentep.Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é umafunção convexa.
A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada porf(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x,y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.
A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer aTransformada de Legendre-Fenchel.
A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizarem relação a,faz-se a sua derivada igual a zero:
Então a expressão é maximizada quando:
Quandoé convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:
Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-secomo função dee leva-se o resultado (1), o que fornece uma forma mais prática para o uso,
Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de:encontre,inverta parae substitua o resultado em.Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independenteé substituída por,o qual é a derivada da função original em respeito a.
Consideração importante
[editar|editar código-fonte]Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre:esão ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas sãofunções inversasuma da outra:
Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de:
Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:
Vê-se queesão inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:
embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:
O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro:ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa,e encontra-se assim diretamente relacionada àIntegração por partes.
Exemplos
[editar|editar código-fonte]Com uma variável
[editar|editar código-fonte]A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função
Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:
Da linha 2:
Logo, para a linha 3:
e
Da linha 4:
Eliminando-se X e Y:
resulta em:
Assim, a Transformada de Legendre paraé[7]
A transformação inversa ficará a cargo do leitor.
Com duas ou mais variáveis
[editar|editar código-fonte]A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtzpara um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna.
Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:
da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:
mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.
Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:
onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:
Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:
a ser substituída em
o que resulta em:
Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.
Procendo com os cálculos, ter-se-á:
o que, com mais algumas simplificações, resulta em:
que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.
Novamente termodinâmica, e mecânica clássica
[editar|editar código-fonte]Termodinâmica: tabelas de transformadas
[editar|editar código-fonte]No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:
Determinare | Determinare | Determinare | Determinare |
---|---|---|---|
Eliminação de U e S fornece: | Eliminação de U e V fornece: | Eliminação de H e S fornece: | Eliminação de F efornece: |
Energia Livre de Helmholtz F | Entalpia H | Energia livre de Gibbs G | Grande Potencial Canônico C |
Determinare | Determinare | Determinare | Determinare |
---|---|---|---|
Eliminação de T e F fornece: | Eliminação de P e H fornece: | Eliminação de G e T fornece: | Eliminação de C efornece: |
Energia Interna U | Energia Interna U | Entalpia H | Energia Livre de Helmhotz F |
Lagrangianas e Hamiltonianos
[editar|editar código-fonte]No contexto damecânica clássicaoprincípio de Lagrange[8]garante que uma função particular, aLagrangianado sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à suadinâmica.A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, rcoordenadas generalizadase rvelocidades generalizadas,e desempenha em mecânica, de forma similar ao dena termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:
Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo damecânica Lagrangianapode-se então chegar àsequações diferenciaise posteriormente àsequações horáriasque descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.
A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizadoconjugado à correspondente velocidadeé definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade(k<=r):
Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamadaHamiltoniano,definida por:
Um novo formalismo dinâmico, amecânica hamiltoniana,pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental
As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo damecânica quântica.
Exemplo
[editar|editar código-fonte]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Simple_harmonic_oscillator.gif)
Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para umoscilador harmônicounidimensional constituído de umamassapresa em uma das extremidades de a umamolae apoiada em uma mesa sematrito.
A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre aenergia cinéticaT e aenergia potencialU do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só háenergia potencial elásticano sistema:
Nesta equação,representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.
A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.
Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo
tem-se, com i=1,2,...
que:
Para o problema em questão:
O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:
,que é a equação diferencial para o sistema em estudo.
A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte oartigo dedicado).
onde
Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.
O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.
Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidadeé:
de onde, isolando-se
Determinando-se o Hamiltoniano H através de
tem-se, já eliminando-seem favor de P:
Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:
Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.
As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):
Da primeira tem-se:
donde
para um sistema com massa constante.
Substituindo na segunda:
e por fim
que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.
Ver também
[editar|editar código-fonte]Referências
- ↑A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito emCallen, Herbert B.- Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons -ISBN 0-471-86256-8
- ↑A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigoGases ideais.
- ↑Em acordo com Salinas, Sílvio R. A. - Introdução à Física Estatística - EdUSP - 1999 -ISBN 85-314-0386-3
- ↑O leitor é alertado neste ponto sobre algumas sutilezas na(s) definição(ões) de Transformada de Legendre, devendo o mesmo proceder a leitura da seçãoConsideração importantepara maiores detalhes.
- ↑Conforme tradução parcial do artigo encontrado naversão anglófonada Wikipédia em 14 de fevereiro de 2010 às 22:58 horas.
- ↑Em termodinâmica e em várias outras situações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto.
- ↑Ao rigor da matemática,.
- ↑Para maiores detalhes sobre os formalismos de Lagrange e de Hamilton consulte Thornton; Marion - Classical Dynamics of Particle and Systems Fourth Edition - Sounders College Publishing, 1995 -ISBN 0-03-097302-3