Subsequência

Em matemática, uma subseqüência, subsequência ou subsucessão de uma seqüência é uma restrição da seqüência a um subconjunto infinito $\mathbb {N} '=\{n_{1}<n_{2}<...<n_{k}<...\}$ de $\mathbb {N}$. Em particular, uma subsequência é por definição uma sequência.

Notação

Seja $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ uma seqüência, então uma subseqüência é uma nova seqüência $\{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\,$, onde $n_{1}\geq 1\,$ e $n_{k+1}>n_{k}\,$

Usando a notação da Teoria dos Conjuntos, uma sequência (de elementos em um conjunto X) é uma função $x:\mathbb {N} \to X\,$, e uma subsequência é a função composta $son\,$, em que n é uma sequência estritamente crescente de números naturais, $n:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \,$

Exemplos

• Seja $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,$. Então a seqüência dos inversos dos quadrados dos números ímpares é uma subsequência, escolhendo-se $n_{k}=2k+1\,$.

Topologia

Em Topologia, define-se o conceito de um espaço sequencialmente compacto:

• Um espaço topológico X é sequencialmente compacto quando toda seqüência $x_{i}\in X\,$ tem uma subseqüência convergente.

Um subconjunto de um espaço métrico é compacto se, e somente se, ele é sequencialmente compacto.

Este resultado é muito importante para análise da reta, porque, muitas vezes, é mais simples mostrar que um espaço é sequencialmente compacto (exibindo-se uma subseqüência convergente) do que trabalhar com coberturas de abertos.