Derivada parcial

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Emmatemática,umaderivada parcialde umafunçãode várias variáveis é a suaderivadacom respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Este conceito é útil nocálculo vectorialegeometria diferencial.

A derivada parcial de uma função em relação ao seu argumento$x_{i}$é representada${\frac {\partial f(x_{1},...,x_{n})}{\partial x_{i}}}$.

Introdução

Um gráficoz=x²+xy+y².Para a derivada parcial em(1, 1, 3)que deixayconstante, a linhatangentecorrespondente é paralela ao planoxz.

Uma pedaço do gráfico acima, emy= 1

Suponha-se queƒé uma função de mais de uma variável. Para obter-se uma instância,

$z=f(x,y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Ográficodesta função define umasuperfícienoespaço euclidiano.Para cada ponto sobre esta superfície, há um número infinito de linhas tangenciais. Diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar o seudeclive.Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao planoxz,e aquelas que são paralelos ao planoyz(que resultam da exploração ouyouxconstante, respectivamente.)

Para determinar o declive da linha tangente à função de P(1, 1, 3)que é paralela ao planoxz,oyvariável é tratado como constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. No gráfico abaixo, vemos a forma como a função se comportay= 1.Ao encontrar aderivadada equação assumindo queyé uma constante, e o decliveƒno ponto(x,y,z)é:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$

Então, em(1, 1, 3),por substituição, o declive é de 3. portanto

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

no ponto.(1, 1, 3).Ou seja, a derivada parcial dezcom relação axem(1, 1, 3)é 3.

Derivação parcial com limites

A derivada parcial de uma função denargumentos$(x_{1},...,x_{n})$pode ser representada através de um limite como sendo

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots,x_{i}+h,\ldots,x_{n})-f(x_{1},\ldots,x_{n})}{h}}.$

A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis​​:

Em outras palavras, a cada valor de x define uma função, denotada fx, que é uma função de uma variável. Isto é,

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Uma vez que o valor dexé escolhido, em seguida,f(x,y) determina a função f_aque enviayparaa²+ay+y²

$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,$

Nesta expressão,aé uma constante, e não uma variável, então f_aé uma função de uma única variável real, sendoy.Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se:

$f_{a}'(y)=a+2y.\,$

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha dea.Organizando as derivadas juntas em uma função dá uma função que descreve a variação defna direção dey:

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.\,$

Este é o derivado parcial defem relação ay.Aqui ∂ é umdarredondado, chamado o símbolo derivado parcial. Para distingui-la da letrad,∂ às vezes é pronunciado "del" ou "parcial" em vez de "dê".

Em geral, a derivada parcial de uma funçãof(x₁,...,x_n) na direção no pontox_i(a₁,..., a) é definida como sendo:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{i},\dots,a_{n})}{h}}.$

No diferença quociente acima, todas as variáveis, excetox_isão mantidas fixas. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável$f_{a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots,a_{n})$,e, por definição,

${\frac {df_{a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n}).$

Em outras palavras, as diferentes opções deaindica uma família de funções de uma variável, assim como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais se reduz ao cálculo de uma variável derivada.

Derivação parcial de função vetorial

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis ​​é o caso de umcampo escalarf(x₁,...x_n) em um domínio no espaço EuclidianoRⁿ(e.g., onR²orR³). Neste casoftem uma derivada parcial ∂f/∂x_jcom relação a cada variávelx_j.No pontoa,estas derivadas parciais definem o vector

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Este vector é denominadogradientedefema.Sefé diferenciável em todos os pontos de algum domínio, então o gradiente é umafunção vetorialde valor ∇fque leva o pontoapara o vetor ∇f(a). Consequentemente, o gradiente produz umcampo vetorial.

Um problema comum de notação é definir o operador nabla (∇),como se apresenta em trêsdimensões espaciais euclidianasR³comvetores unitários$\mathbf {\hat {i}},\mathbf {\hat {j}},\mathbf {\hat {k}}$:

$\nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}}$

Ou, mais geralmente, para o espaço euclidiano den- dimensõesRⁿcom coordenadas (x₁,x₂,x₃,...,x_n) e vetores unitários ($\mathbf {{\hat {e}}_{1}},\mathbf {{\hat {e}}_{2}},\mathbf {{\hat {e}}_{3}},\dots,\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$):

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$

Definição formal

Como derivadas comuns, a derivada parcial é definida como sendo umlimite.SendoUumconjunto abertodeRⁿef:U→Ruma função. A derivada parcial defno pontoa= (a₁,...,a_n) ∈Ucom relação ài- a variávela_ié definida como

${\frac {\partial }{\partial a_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots,a_{n})-f(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{n}) \over h}$

Mesmo se todas as derivados parciais ∂f/∂a_i(a) existirem em um determinado pontoa,a função não necessita de sercontínua.

No entanto, se todos as derivadas parciais existirem numavizinhançadeae são contínuas, entãofé ototal derivadoem que a derivada da vizinhança total é contínua. Neste caso, diz-se quefé uma C¹função.

Isto pode ser utilizado para generalizar funções vetoriais (f:U→R'^m) com cuidado usando um argumento componente a componente.

A derivada parcial${\frac {\partial f}{\partial x}}$pode ser vista como uma outra função definida emUe pode ser novamente parcialmente diferenciada.

Se todas as derivadas parciais de segunda ordem mistas são contínuas em um ponto (ou um conjunto),fé denominado C²função naquele ponto (ou no conjunto); neste caso, as derivadas parciais podem ser trocadas peloTeorema de Clairaut-Schwarz:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.$

Exemplos

Volume de um cone

O volume de um cone depende da altura e raio

Considere-se o volumeVde umcone;ele depende da altura do conehe do seu raiorde acordo com a fórmula

$V={\frac {r^{2}h\pi }{3}}$

A derivada parcial deVcom relação aré

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2rh\pi }{3}}$

e descreve a taxa com que o volume de um cone aumenta à medida que o seu raio também aumenta e a sua altura é mantida constante. A derivada parcial relativamente ahé

${\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {r^{2}\pi }{3}}$

Em contraste, aderivada totaldeVem relação àrehsão respectivamente

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}$

e

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}$

A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação de dependências indiretas entre as variáveis ​​nas derivadas parciais.

Se (por alguma razão arbitrária) proporções do cone têm de permanecer as mesmas, e a altura e raio estando em uma relação fixak,temos

$k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.$

Isto dá a derivada total no que se relaciona ar:

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k$

Que simplifica para:

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=k\pi r^{2}$

Do mesmo modo, a derivada total no que refere ahé:

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\pi r^{2}$

Equações envolvendo derivadas parciais de uma função desconhecida são chamadas deequação diferencial parciale são comuns emfísica,engenhariae outrasciênciase disciplinas aplicadas.

Otimização

As derivadas parciais aparecem em qualquer problema deotimizaçãobaseada em cálculos com mais de uma variável de escolha. Por exemplo, emeconomia,uma empresa pode desejar maximizar olucroπ(x, y) com relação à escolha das quantidades x e y de dois tipos diferentes de produção. Ascondições de primeira ordempara esta otimização são π_x= 0 = π_y.Como ambas as derivadas parciais π_xe π_yserão geralmente funções de ambos os argumentos x e y, estas duas condições de primeira ordem formam umsistema de duas equações em duas incógnitas.

Termodinâmica, mecânica quântica e física matemática

Derivados parciais aparecem em equações termodinâmicas como aRelação de Gibbs-Duhem,em mecânica quântica como aequação da onda de Schrodinger,assim como em outras equações dafísica matemática.Aqui as variáveis sendo mantidas constantes em derivadas parciais podem ser razão de variáveis simples comofrações molaresx_ino seguinte exemplo envolvendo as energias de Gibbs em um sistema de mistura ternária:

${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$

Expressar asfrações molaresde um componente como funções dafração molarde outros componentes e rácios molares binários:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}}$

Os quocientes diferenciais podem ser formados em proporções constantes como os acima:

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}}$

As proporções X, Y, Z das frações molares podem ser escritas para sistemas ternários e multicomponentes:

${\displaystyle X={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}$

que pode ser usado para resolverequações diferenciais parciaiscomo:

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$

Esta igualdade pode ser reordenada para ter um quociente diferencial de frações moles em um dos lados.

Redimensionamento de imagem

As derivadas parciais são a chave para algoritmos de redimensionamento de imagem com consciência de alvo. Amplamente conhecidos comoescultura em costura,estes algoritmos exigem que cadapixelde uma imagem receba uma 'energia' numérica para descrever sua disparidade em relação aos pixels ortogonais adjacentes. Oalgoritmoentão remove progressivamente as linhas ou colunas com a menor energia. A fórmula estabelecida para determinar a energia de um pixel (magnitude degradienteem um pixel) depende muito das construções de derivadas parciais.

Economia

Os derivados parciais desempenham um papel proeminente naeconomia,na qual a maioria das funções que descrevem o comportamento econômico postula que o comportamento depende de mais de uma variável. Por exemplo, umafunção de consumosocial pode descrever o montante gasto em bens de consumo como dependendo tanto da renda quanto da riqueza; apropensão marginal ao consumoé então a derivada parcial da função de consumo com relação à renda.

Notação

Mais informações: ∂

Para os exemplos a seguir, deixe${\displaystyle f}$ser uma função em${\displaystyle x,y}$e${\displaystyle z}$.

Derivadas parciais de primeira ordem:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Derivadas parciais de segunda ordem:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$

Derivadas mistasde segunda ordem:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$

Derivadas parciais e mistas de ordem superior:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$

Ao lidar com funções de múltiplas variáveis, algumas destas variáveis podem estar relacionadas entre si, portanto pode ser necessário especificar explicitamente quais variáveis estão sendo mantidas constantes para evitar ambigüidade. Em campos como amecânica estatística,a derivada parcial${\displaystyle f}$em relação a${\displaystyle x}$mantendo${\displaystyle y}$e${\displaystyle z}$contantes é freqüentemente expressa como${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$

Convencionalmente, para clareza e simplicidade da notação, a função derivada parcial e o valor da função em um ponto específico sãoconflacionadospela inclusão dos argumentos da função quando o símbolo da derivada parcial (notação Leibniz) é usado. Assim, uma expressão como

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$

é usado para a função, enquanto

${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$

pode ser usado para o valor da função no ponto${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$

Entretanto, esta convenção se quebra quando queremos avaliar a derivada parcial em um ponto como${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$.Neste caso, a avaliação da função deve ser expressa de uma maneira pouco prática, como:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$

ou

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$

a fim de utilizar a notação Leibniz. Assim, nestes casos, pode ser preferível usar a notação dooperador diferencialEuler com${\displaystyle D_{i}}$como o símbolo derivado parcial em relação à

i-ésima variável.

Por exemplo, poderíamos escrever${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$para o exemplo descrito acima, enquanto a expressão${\displaystyle D_{1}f}$representa a função derivada parcial em relação à 1ª variável

Para derivadas parciais de ordem superior, a derivada parcial (função) do estilo${\displaystyle D_{i}f}$com relação à variável j é designada como${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$.Ou seja,${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$,para que as variáveis sejam listadas na ordem em que as derivadas são tomadas, e assim, em ordem inversa de como a composição dos operadores é normalmente anotada. Naturalmente, oteorema de Clairautimplica que${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$desde que as condições de regularidade comparativamente suaves em f sejam satisfeitas.

Antiderivada análoga

Existe um conceito para derivadas parciais que é análogo àsantiderivadaspara derivadas regulares. Dada uma derivada parcial, ela permite a recuperação parcial da função original.

Considere o exemplo de

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

A integral "parcial" pode ser tomada com respeito a x (tratando y como constante, de maneira semelhante à diferenciação parcial):

${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)}$

Aqui, aconstante de integraçãonão é mais uma constante, mas uma função de todas as variáveis da função original, exceto x. A razão disso é que todas as outras variáveis são tratadas como constantes quando se toma a derivada parcial, portanto, qualquer função que não envolva${\displaystyle x}$desaparecerá quando se toma a derivada parcial, e temos que levar isso em conta quando tomamos o antiderivado. A forma mais geral de representar isto é ter a "constante" representando uma função desconhecida de todas as outras variáveis.

Assim, o conjunto de funções${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$,onde g é qualquer função de um documento, representa o conjunto inteiro de funções nas variáveis x,y que poderiam ter produzido a derivada parcial${\displaystyle 2x+y}$.

Se todas as derivadas parciais de uma função são conhecidas (por exemplo, com ogradiente), então as antiderivadas podem ser combinadas através do processo acima para reconstruir a função original até uma constante. Ao contrário do caso de uma única variável, no entanto, nem todo conjunto de funções pode ser o conjunto de todas as (primeiras) derivadas parciais de uma única função. Em outras palavras, nem todos os campos vetoriais sãoconservativos.

Derivadas parciais de ordem superior

As derivadas parciais de segunda e maior ordem são definidas de forma análoga às derivadas de ordem superior de funções univariadas. Para a função${\displaystyle f(x,y,...)}$a "própria" segunda derivada parcial com respeito a x é simplesmente a derivada parcial da derivada parcial (ambas com respeito a x)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$

A derivada parcial cruzada em relação a x e y é obtida tomando a derivada parcial de f em relação a x, e depois tomando a derivada parcial do resultado em relação a y, para obter

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$

Oteorema de Schwarzafirma que se a segunda derivada é contínua, a expressão para a derivada parcial cruzada não é afetada por qual variável a derivada parcial é tomada em relação à primeira e qual é tomada em segundo lugar. Isto é, a segunda derivada,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$

ou equivalente${\displaystyle f_{xy}=f_{yx}.}$

Derivadas parciais próprias e cruzadas aparecem namatriz de Hessianque é usada emcondições de segunda ordemem problemas deotimização.