Elipse

Nota:Para outros significados, vejaElipse (desambiguação).

Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.

Emgeometria,umaelipseé um tipo deseção cônica:se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersete as duas folhas do cone, a interseção entre oconee oplanoé uma elipse. Para uma prova elementar disto, vejaesferas de Dandelin.

Em alguns contextos, pode-se considerar ocírculoe osegmento de retacomo casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem doisfocos,que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semieixo maior ($a$) e semieixo menor ($b$).

Equações

Uma elipse e algumas de suas propriedades.$c=a\cdot e$

Coordenadas cartesianas

Ver artigos principais:Sistema de coordenadas cartesianoeSistema de coordenadas

Algebricamente, uma elipse é acurvanoplano cartesianodefinida por uma equação da forma

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

tal que

$$B^{2}<4AC,$$onde todos os coeficientes sãoreais,e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos ($x,y$) na elipse, existe. O caso$A=C,A\neq 0,B=0$corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse sãoparalelosaos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:

$$\left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,$$

onde ($h,k$) é o centro da elipse, e$a$e$b$são os semieixos da elipse.

Outras equações úteis:

1) Centro na origem:

a) Eixo maiorparaleloao eixo$x:$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

b) Eixo maior paralelo ao eixo$y:$ ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como$C~(h,k):$

a) Eixo maior paralelo ao eixo$x:$ ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

b) Eixo maior paralelo ao eixo$y:$ ${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$

Coordenadas polares

Emcoordenadas polares,existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse: $r={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

b) Com origem em um dos focos: $r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }},$sendoeaexcentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações emmecânica celeste,neste caso o ângulo$\theta$é chamado deanomalia verdadeirae é representado pela letra grega$\nu$(nu ou ni)

Coordenadas paramétricas

$\left\{{\begin{matrix}x&=&h+a.\cos(t)\\y&=&k+b.\operatorname {sen} (t)\end{matrix}}\right.$

A elipse como lugar geométrico

A elipse pode ser construída usando-se doispregos,umbarbantee umlápis.

A elipse é o conjunto dos pontos$P$do plano tais que a soma das distâncias de$P$a dois pontos fixos$F_{1}~e~F_{2}$(focos) é constante. Oteorema de Dandelinmostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.

Ou seja, se$dist(F_{1},F_{2})=2c,$então a elipse é o conjunto dos pontos$P$tais que$dist(P,F_{1})+dist(P,F_{2})=2a$em que$a>c$(no caso especial do círculo, os pontos$F_{1}~e~F_{2}$coincidem então$c=0~e~a=r,$com$r$sendo oraiodo círculo).

A excentricidade da elipse é definida por$e={\frac {c}{a}}.$A excentricidade também pode ser calculada pelo ângulo característico ($\ Alpha$) da elipse.

$e={\sqrt {\tfrac {2\cdot cos(\ Alpha )}{1+cos(\ Alpha )}}}$

Tem-se$0\leq e<1$(de novo,$e=0$apenas no caso da circunferência, o caso$e=1$corresponderia aosegmento de reta,mas normalmente$e=1$corresponde a umaparábola). Se$a$for o semi-eixo maior e$b$o semi-eixo menor da elipse, então peloteorema de Pitágorasvem

$$e={\frac {\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}{a}}$$

Emgeodésiaecartografia,é usado o conceito deachatamento(para se referir aoelipsoide de referência), definido por$f={\frac {(a-b)}{a}}.$Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento doWGS 1984é${\frac {1}{298.257223563}}.$

Características

${\textstyle {\overline {AB}}=2a={\textrm {Eixo}}\ {\textrm {Maior,}}}$${\textstyle {\overline {CD}}=2b={\textrm {Eixo}}\ {\textrm {Menor,}}}$

${\textstyle {\overline {F_{1}F_{2}}}=2c={\textrm {Distancia}}\ {\textrm {Focal.}}}$

O centro da elipse é ponto$O=(0,0)$.Os focos da elipse encontram-se nos pontos:

$F_{1}=(-c,0)\ {\textrm {e}}\ F_{2}=(c,0).$

Temos, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo$COF_{2}$(ou ao$COF_{1},$ou ainda ao$DOF_{2}$), que:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Este resultado decorre da definição da elipse: a soma das distâncias de qualquer ponto$P$sobre a elipse até os focos é sempre$2a$.Em símbolos:

$${\overline {PF_{2}}}+{\overline {PF_{1}}}=2a$$

Então, utilizando seguimentos de retas iguais, temos:

$${\overline {CF_{1}}}+{\overline {CF_{2}}}=2a\Rightarrow {\overline {CF_{1}}}=a\,\,{\textrm {ou}}\,\,{\overline {DF_{1}}}+{\overline {DF_{2}}}=2a\Rightarrow {\overline {DF_{1}}}=a$$

o símbolo matemático "$\Rightarrow$"significa" implica ".

Área

Aáreade uma elipse com semieixo maior$a$e semieixo menor$b$é igual a$\pi ab$(semieixo significa metade do eixo). Se a excentricidade da elipse é nula, os semieixos são iguais$(a=b=r),$ficamos então com um círculo de raio$r.$Neste caso, a fórmula da área resulta na expressão mais conhecida para a área de um círculo:$\pi ab=\pi rr=\pi r^{2}.$

Propriedade refletora

As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

Particularidades

Segundo esta propriedade, numa mesa debilharelíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de umelipsoidepodem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. NoCapitólio dos Estados Unidoshá uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidenteJohn Quincy Adamspara escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade ($e={\frac {c}{a}}$), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a$1,$ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento portelescópiodo reflexo da intensa luminosidade de umasupernovanos gases e poeira que se encontram sobre oelipsoide,cujos focos são a supernova e aTerra,tem permitido compreender melhor a estrutura domeio interestelar.

Primeira lei de Kepler

Aprimeira lei de Keplerafirma que aórbitadosplanetasem redor doSolé elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seiselementos orbitaisnecessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.

Ver também

• Cônicas
• Elipsoide
• Elipsoide de referência
• Esferoide
• Isocírculo
• Lugar geométrico
• Órbita
• Superelipse
• Comprimento da circunferência

Bibliografia

• Braga, Theodoro-Desenho linear geométrico.Ed. Cone, São Paulo: 1997ISBN 8-527-40497-4.
• A. Carvalho, Benjamim-Desenho Geométrico.Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982OCLC46751346.
• Giongo, Affonso Rocha-Curso de Desenho Geométrico.Ed. Nobel, São Paulo: 1954OCLC819663445.
• Mandarino, Denis-Desenho Geométrico, construções com régua e compasso.Ed. Plêiade, São Paulo: 2007ISBN 978-85-7651-045-1Livro.
• Marmo, Carlos -Desenho Geométrico.Ed. Scipione, São Paulo: 1995ISBN 85-262-2192-2eISBN 85-262-2190-6.
• Putnoki, José Carlos -Elementos de geometria e desenho geométrico.Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990ISBN 8-526-21467-5.

Ligações externas

• Venturi, Jacir J. (2003).Cônicas e Quádricas(PDF)5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas.ISBN 8585132485
• Animação 3D de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica elipse
• «Construir objetos geometria analítica»(em inglês)
• Alfred North Whitehead:An Introduction to Mathematics.BiblioBazaar LLC 2009 (reprint),ISBN 9781103197842,pp. 121[1]
• George Wentworth:Junior High School Mathematics: Book III.BiblioBazaar LLC 2009 (reprint),ISBN 9781103152360,pp. 265[2]
• Robert Clarke James, Glenn James:Mathematics Dictionary.Springer 1992,ISBN 9780412990410,p. 255[3]