Binom

Înalgebrăunbinom(pl.binoame) este unpolinomcare estesumăa doi termeni, dintre care fiecare este unmonom.

Definiție

Un binom este un polinom care este suma a două monoame. Un binom cu o singură variabilă nedeterminată poate fi scris sub forma

$ax^{m}-bx^{n},$

undeașibsuntnumere,iarmșinsuntîntreginenegativi distincți, iarxeste un simbol care noteazăvaloareanedeterminată, numită din motive istorice „variabilă”.În contextulpolinoamelor Laurent,un „binom Laurent”, adesea numit, simplu, „binom” este definit similar, dar exponențiimșinpot fi negativi.

În general, un binom se poate scrie drept:

$a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$

Exemple

$3x-2x^{2}$

$xy+yx^{2}$

$0,9x^{3}+\pi y^{2}$

$2x^{3}+7$

Operații cu binoame simple

• Binomulx²−y²poate fifactorizat^⁠(d)ca un produs de alte binoame:

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).$

Acesta este un caz particular al uneiegalitățimai generale:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}.$

Când se lucrează cunumere complexe,aceasta poate fi extinsă la:

$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).$

• Produsul unei perechi de binoame liniare(ax+b)și(cx+d )este untrinom:

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

• Un binom ridicat laputerean,reprezentat ca(x+y)ⁿ,poate fi dezvoltat cu ajutorulbinomului lui Newton,sau, echivalent, folosindtriunghiul lui Pascal.De exemplu,pătratul(x+y)²din binomul(x+y)este egal cu suma pătratelor celor doi termeni și de două ori produsul termenilor, adică:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

Numerele (1, 2, 1) care apar dreptcoeficiențiai termenilor din această dezvoltare suntcoeficienții binomialidin al treilea rând al triunghiului lui Pascal. Creșterea exponentuluinduce la utilizarea numerelor dn aln+1-lea rând al triunghiului.

• O aplicație a formulei de mai sus pentru pătratul unui binom este „formula(m, n)”pentru generareatripletelor pitagoreice:

Pentrum<n,fiea=n²−m²,b= 2mnșic=n²+m²;atuncia²+b²=c².

• Binoamele care sunt sume sau diferențe decuburipot fi factorizate în polinoame degradmai mic cu relațiile:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

Bibliografie

• enBostock, L.;Chandler, S.(1978).Pure Mathematics 1.Oxford University Press.p. 36.ISBN0-85950-092-6.