Cub snub
Cub snub | |
![]() ![]() | |
Cele două forme chirale,cwșiccw (animațiicwșiccw,șimodel 3D) | |
Descriere | |
---|---|
Tip | Poliedru arhimedic (poliedru uniform) |
Fețe | 38 (8+24triunghiuri,6pătrate) |
Laturi(muchii) | 60 |
Vârfuri | 24 |
χ | 2 |
Configurația vârfului | 3.3.3.3.4 |
Simbol Wythoff | | 2 3 4 |
Simbol Schläfli | sr{4,3} sau ht0,1,2{4,3} |
Simbol Conway | sC |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grup de simetrie | Oh,12B3,[4,3]+,(*432), ordin 24 |
Grup de rotație | O,[4,3]+,(432), ordin 24 |
Arie | ≈ 19,856a2(a= latura) |
Volum | ≈ 7,889a3(a= latura) |
Unghi diedru | 3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°) 3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°) |
Poliedru dual | Icositetraedru pentagonal |
Proprietăți | Poliedru semiregulat,convex,chiral |
Figura vârfului | |
![]() | |
Desfășurată | |
![]() |
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/TRIBONACCI.jpg/290px-TRIBONACCI.jpg)
Îngeometriecubul snubeste unpoliedru arhimedic.Are 38 defețe,din care 8+24triunghiulareși 6pătrate,24 devârfuriși 60 delaturi.
Este un poliedruchiral,adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe” ) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dăcompusul de două cuburi snub,iaranvelopa convexăal ambelor seturi de vârfuri este uncuboctaedru trunchiat.
Are indicele depoliedru uniformU12,[1]indicele Coxeter C24și indicele Wenninger W17.
Johannes Keplerl-a denumit inițial înlatinăcubus simusîn lucrarea saHarmonices Mundidin 1619.H.S.M. Coxetera remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cusimbolul Schläfliextins vertical,și reprezentând oalternarea unuicuboctaedru trunchiat,care are simbolul Schläfli.
Dimensiuni
[modificare|modificare sursă]Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1,ariașivolumulacestuia sunt:
undetesteconstanta tribonacci
Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1,dualul său,icositetraedrul pentagonalare lungimea laturii
- și.
Volumul unui cub snub cu lungimea laturiipoate fi calculat cu relația:[2]
- ,
undeteste constanta tribonacci de mai sus.
Coordonate carteziene
[modificare|modificare sursă]Coordonatele cartezieneale vârfurilor unui cub snub centrat înoriginesuntpermutărilepare ale
- (±1, ±1t,±t)
cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, undet≈ 1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formeazăcompusul de două cuburi snub.
Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este,un număr care este o soluție a ecuației
și care poate fi scrisă ca
Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cuvaloareaαde mai sus.
Proiecții ortogonale
[modificare|modificare sursă]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Polyhedron_snub_6-8_left_from_vertex.png/220px-Polyhedron_snub_6-8_left_from_vertex.png)
Cubul snub are douăproiecții ortogonaleparticulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A2și B2și una centrată pe mijlocul laturilor.
Centrată pe |
Fața triunghi |
Fața pătrat |
Latură |
---|---|---|---|
Corp | ![]() |
![]() |
![]() |
Cadru de sârmă | ![]() |
![]() |
![]() |
Simetrie proiectivă |
[3] | [4]+ | [2] |
Dual | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() centrată pe pătrat |
Proiecție ortogonală | Proiecție stereografică |
---|
Pavare sferică
[modificare|modificare sursă]Cubul snub poate fi reprezentat și ca opavare sfericăși proiectat pe plan printr-oproiecție stereografică.Această proiecție esteconformă,păstrândunghiurile,dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan caarce de cerc.
Relații geometrice
[modificare|modificare sursă]Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului,deplasându-le spre exterior,apoirotindu-leîn jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cutriunghiuri echilaterale.
Cubul snub poate fi derivat și dincuboctaedrul trunchiatprin procesul dealternare.24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat estetranzitiv pe vârfuridar nu esteuniform.
Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă.[3]
Poliedre înrudite
[modificare|modificare sursă]Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.
Poliedre octaedrice uniforme | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie: [4,3],(*432) | [4,3]+ (432) |
[1+,4,3] = [3,3] (*332) |
[3+,4] (3*2) | |||||||
{4,3} | t{4,3} | r{4,3} r{31,1} |
t{3,4} t{31,1} |
{3,4} {31,1} |
rr{4,3} s2{3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} | h{4,3} {3,3} |
h2{4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Dualele celor de mai sus | ||||||||||
V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Variante de simetrii
[modificare|modificare sursă]Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre șipavărisnubcuconfigurațiile vârfului(3.3.3.3.n.) șidiagrama Coxeter–Dynkin.Aceste figuri și dualele lor ausimetrie de rotație(n32) înnotația orbifold,existând în planul euclidian pentrun= 6, iar înplanul hiperbolicpentru oricenmai mare. Se poate considera că familia începe cun= 2, care are fețele degenerate îndigoane.
Variante de pavări snub cu simetrien32:3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie n32 |
Sferice | Euclidiană | Hiperbolice compacte | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Imagini snub |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Imagini giro |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.n.
Variante de pavări snub cu simetrie 4n2:3.3.4.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie 4n2 |
Sferică | Euclidiană | Hiperbolice compacte | Paracomp. | ||||
242 | 342 | 442 | 542 | 642 | 742 | 842 | ∞42 | |
Figuri snub |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Config. | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ |
Figuri giro |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||
Config. | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ |
Note
[modificare|modificare sursă]- ^enEric W. Weisstein,Uniform PolyhedronlaMathWorld.
- ^en„Snub Cube - Geometry Calculator”.rechneronline.de.Accesat în.
- ^en/ „Spherical Designs”de R.H. Hardin șiN.J.A. Sloane
Bibliografie
[modificare|modificare sursă]- enJayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”.Mathematical Gazette.89(514): 76–81.doi:10.1017/S0025557200176818.
- enRobert Williams (1979),The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design,Dover Publications Inc.,ISBN: 0-486-23729-X.(Section 3-9)
- enCromwell, P. ().Polyhedra.United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86Archimedean solids.ISBN0-521-55432-2.
Vezi și
[modificare|modificare sursă]Legături externe
[modificare|modificare sursă]Materiale media legate decub snublaWikimedia Commons
- enEric W. Weisstein,Snub cubelaMathWorld.
- enEric W. Weisstein,Archimedean solidlaMathWorld.
- enThe Uniform Polyhedra
- enVirtual Reality PolyhedraThe Encyclopedia of Polyhedra
- enEditable printable net of a Snub Cube with interactive 3D view
- enKlitzing, Richard.„3D uniform polyhedra”.Cheie:snic