Cub snub

Descriere
Cub snub

Cele două forme chirale,cwșiccw (animațiicwșiccw,șimodel 3D)
Tip	Poliedru arhimedic (poliedru uniform)
Fețe	38 (8+24triunghiuri,6pătrate)
Laturi(muchii)	60
Vârfuri	24
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3.3.4
Simbol Wythoff	\| 2 3 4
Simbol Schläfli	sr{4,3} sau $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ht_0,1,2{4,3}
Simbol Conway	sC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	O_h,1/2B₃,[4,3]⁺,(*432), ordin 24
Grup de rotație	O,[4,3]⁺,(432), ordin 24
Arie	≈ 19,856a²(a= latura)
Volum	≈ 7,889a³(a= latura)
Unghi diedru	3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°) 3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°)
Poliedru dual	Icositetraedru pentagonal
Proprietăți	Poliedru semiregulat,convex,chiral
Figura vârfului

Desfășurată

Duale: Icositetraedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta

O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

Îngeometriecubul snubeste unpoliedru arhimedic.Are 38 defețe,din care 8+24triunghiulareși 6pătrate,24 devârfuriși 60 delaturi.

Este un poliedruchiral,adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe” ) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dăcompusul de două cuburi snub,iaranvelopa convexăal ambelor seturi de vârfuri este uncuboctaedru trunchiat.

Are indicele depoliedru uniformU₁₂,^[1]indicele Coxeter C₂₄și indicele Wenninger W₁₇.

Johannes Keplerl-a denumit inițial înlatinăcubus simusîn lucrarea saHarmonices Mundidin 1619.H.S.M. Coxetera remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cusimbolul Schläfliextins vertical $s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ,și reprezentând oalternarea unuicuboctaedru trunchiat,care are simbolul Schläfli $t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ .

Dimensiuni

Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1,ariașivolumulacestuia sunt:

{\begin{aligned}A&=6+8{\sqrt {3}}&&\approx 19,856\,406\,460\,6\\V&={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}&&\approx 7,889\,477\,399\,98\end{aligned}}

undetesteconstanta tribonacci

t={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1,839\,286\,755\,21.

Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1,dualul său,icositetraedrul pentagonalare lungimea laturii

{\frac {1}{\sqrt {t+1}}}{\approx 0,593\,465}\quad

și

\quad {\frac {\sqrt {t+1}}{2}}\approx 0,842\,509.

.

Volumul unui cub snub cu lungimea laturii $a$ poate fi calculat cu relația:^[2]

V={\frac {3{\sqrt {t-1}}+4{\sqrt {t+1}}}{3{\sqrt {2-t}}}}~a^{3}\approx 7,889\,477\,399\,98a^{3}

,

unde $t$ este constanta tribonacci de mai sus.

Coordonate carteziene

Coordonatele cartezieneale vârfurilor unui cub snub centrat înoriginesuntpermutărilepare ale

(±1, ±1/t,±t)

cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, undet≈ 1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formeazăcompusul de două cuburi snub.

Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este $\alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}$ ,un număr care este o soluție a ecuației

\alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,\,

și care poate fi scrisă ca

{\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1,609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cuvaloarea $α$ de mai sus.

Proiecții ortogonale

Cubul snub are douăproiecții ortogonaleparticulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A₂și B₂și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale
Centrată pe	Fața triunghi	Fața pătrat	Latură
Corp
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[3]	[4]⁺	[2]
Dual

Proiecție ortogonală	Proiecție stereografică
	centrată pe pătrat

Pavare sferică

Cubul snub poate fi reprezentat și ca opavare sfericăși proiectat pe plan printr-oproiecție stereografică.Această proiecție esteconformă,păstrândunghiurile,dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan caarce de cerc.

Relații geometrice

Cub, rombicuboctaedru și cub snub
(animații cuexpandărișirăsuciri)

Alternări uniforme ale cuboctaedrului trunchiat

Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului,deplasându-le spre exterior,apoirotindu-leîn jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cutriunghiuri echilaterale.

Cubul snub poate fi derivat și dincuboctaedrul trunchiatprin procesul dealternare.24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat estetranzitiv pe vârfuridar nu esteuniform.

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă.^[3]

Poliedre înrudite

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme v•d•m
Simetrie: [4,3],(*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele celor de mai sus
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Variante de simetrii

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre șipavări snubcuconfigurațiile vârfului(3.3.3.3.n.) șidiagrama Coxeter–Dynkin.Aceste figuri și dualele lor ausimetrie de rotație(n32) înnotația orbifold,existând în planul euclidian pentrun= 6, iar înplanul hiperbolicpentru oricenmai mare. Se poate considera că familia începe cun= 2, care are fețele degenerate îndigoane.

Variante de pavări snub cu simetrien32:3.3.3.3.n
Simetrie n32	Sferice				Euclidiană	Hiperbolice compacte		Paracomp.
Simetrie n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Imagini snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Imagini giro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2:3.3.4.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
Simetrie 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Figuri snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Note

^enEric W. Weisstein,Uniform PolyhedronlaMathWorld.
^en„Snub Cube - Geometry Calculator”.rechneronline.de.Accesat în26 mai 2020.
^en/ „Spherical Designs”de R.H. Hardin șiN.J.A. Sloane

Bibliografie

enJayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”.Mathematical Gazette.89(514): 76–81.doi:10.1017/S0025557200176818.
enRobert Williams (1979),The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design,Dover Publications Inc.,ISBN: 0-486-23729-X.(Section 3-9)
enCromwell, P. (1997).Polyhedra.United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86Archimedean solids.ISBN 0-521-55432-2.

Vezi și

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

Materiale media legate decub snublaWikimedia Commons
enEric W. Weisstein,Snub cubelaMathWorld.
enEric W. Weisstein,Archimedean solidlaMathWorld.
enThe Uniform Polyhedra
enVirtual Reality PolyhedraThe Encyclopedia of Polyhedra
enEditable printable net of a Snub Cube with interactive 3D view

Portal Matematică

enKlitzing, Richard.„3D uniform polyhedra”.Cheie:snic

[1] Eric W. Weisstein,Uniform PolyhedronlaMathWorld.

[2] „Snub Cube - Geometry Calculator”.rechneronline.de.Accesat în26 mai 2020.

[3] / „Spherical Designs”de R.H. Hardin șiN.J.A. Sloane

[1]

[2]

[3]