Dodecaedru snub

Dodecaedru snub
Cele două forme chirale,cwșiccw (animațiicwșiccw,șimodel 3D)
Descriere
Tip	Poliedru arhimedic (poliedru uniform)
Fețe	92 (20+60triunghiuri,12pentagoane)
Laturi(muchii)	150
Vârfuri	60
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3.3.5
Simbol Wythoff	| 2 3 5
Simbol Schläfli	sr{5,3} sau$s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$ ht0,1,2{5,3}
Simbol Conway	sD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I,1/2H3,[5,3]+,(532), ordin 60
Grup de rotație	I,[5,3]+,(532), ordin 60
Arie	≈ 55,287a2(a= latura)
Volum	≈ 37,617a3(a= latura)
Unghi diedru	3-3: 164° 10′ 31″ (164,18°) 3-5: 152° 55′ 53″ (152,93°)
Poliedru dual	Hexacontaedru pentagonal
Proprietăți	Poliedru semiregulat,convex,chiral
Figura vârfului
Desfășurată

Duale: Hexacontaedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta

Îngeometriedodecaedrul snubeste unpoliedru arhimedic.Are 92 defețe,din care 20+60triunghiuri echilateraleși 12pentagonale,60 devârfuriși 150 delaturi.

Este un poliedruchiral,adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe” ) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dăcompusul de două dodecaedre snub,iaranvelopa convexăal ambelor seturi de vârfuri este unicosidodecaedru trunchiat.

Are indicele depoliedru uniformU₂₉,indicele Coxeter C₃₂și indicele Wenninger W₁₈.

Johannes Keplerl-a denumit inițial înlatinădodecahedron simusîn lucrarea saHarmonices Mundidin 1619.H.S.M. Coxetera remarcat că ar putea fi derivat din dodecaedru sau icosaedru, și l-a numit „icosidodecaedru snub”, cusimbolul Schläfliextins vertical$s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$și simbolul Schläfli sr{5,3}.

Coordonate carteziene

Fieξ≈ 0,94315125924rădăcinarealăapolinomului de gradul al treileax³+ 2x²−φ²,undeφestesecțiunea de aur.Fie punctulpdat de

$p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2}\\\xi \end{pmatrix}}$.

Fiematricile de rotație^⁠(d)M₁șiM₂date de

$M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}}$

și

$M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

M₁reprezintărotațiaînsens trigonometriccu unghiul2π/5în jurul axei (0,1,φ), iarM₂reprezintă rotațiile ciclice cu unghiul2π/3în jurul axei (1,1,1) ale coordonatelor (x,y,z). Atunci cele 60 de vârfuri ale dodecaedrului snub sunt cele 60 de imagini ale punctuluipîn urma înmulțirii repetate cuM₁și/sauM₂Coordonatele vârfurilor sunt combinații liniare integrale ale 1,φ,ξ,φξ,ξ²șiφξ².Lungimea laturii este

$2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0,449\,750\,618\,41.$

Schimbarea semnului tuturor coordonatelor dă imaginea în oglindă a acestui dodecaedru snub.

Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile) este

${\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\approx 0,969\,589\,192\,65.$

Raza sferei mediane esteξ.Aceasta oferă o interpretare geometrică interesantă a număruluiξ.Cele 20 de triunghiuriicosaedriceale dodecaedrului snub descris mai sus sunt coplanare cu fețele unui icosaedru regulat. Raza mediană a acestui icosaedrucircumscriseste egală cu 1. Aceasta înseamnă căξeste raportul dintre razele mediane ale unui dodecaedru snub și icosaedrul în care este înscris.

Unghiul diedru dintre fețele triunghiulare este

$\theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\approx 164,175\,366\,056\,03^{\circ }.$

Unghiul diedru dintre fețele triunghi–pentagon este

$\theta _{35}=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\approx 152,929\,920\,275\,84^{\circ }.$

Dimensiuni metrice

Pentru un dodecaedru snub a cărui lungime a laturii este 1,ariasa este

$A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,286\,744\,958\,445\,15.$

Volumulsău este

$V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -{\frac {\varphi }{6}}-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 37,616\,649\,962\,733\,36.$

Raza sferei circumscrise este

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2,155\,837\,375.$

Raza sferei mediane este

$r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2,097\,053\,835\,25.$

Sunt două sfere înscrise, una care atinge fețele triunghiulare și una, puțin mai mică, care atinge fețele pentagonale. Razele lor sunt, respectiv:

$r_{3}={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2,077\,089\,659\,74$

și

$r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1,980\,915\,947\,28.$

Dodecaedrul snub are cea mai mare sfericitate dintre toate poliedrele arhimedice. Sfericitatea este definită ca raportul dintre volumul la pătrat și suprafața la puterea a treia, înmulțit cu constanta 36π(unde această constantă face ca sfericitatea unei sfere să fie egală cu 1). Sfericitatea dodecaedrului snub este de aproximativ 0,947.

Proiecții ortogonale

Dodecaedrul snub nu aresimetrie față de centru,ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Dodecaedrul snub are douăproiecții ortogonale,centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pentagoane, care corespund cu planele Coxeter A₂și H₂,și una centrată pe mijlocul laturilor dintre fețele triunghiulare.

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Fața triunghi	Fața pentagon	Latură
Corp
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[3]	[5]+	[2]
Dual

Relații geometrice

Dodecaedru,rombicosidodecaedruși dodecaedru snub
(animații cuexpandărișirăsuciri)

Alternări uniforme ale icosidodecaedrului trunchiat

Dodecaedrul snub poate fi generat luând cele douăsprezece fețe pentagonale ale dodecaedrului,deplasându-le spre exterior.La o distanță potrivită, prin completarea fețelor pătrate care apar între laturile astfel separate și fețele triunghiulare dintre vârfurile astfel separate se obținerombicosidodecaedrul.Dar pentru forma snub, fețele pentagonale trebuie deplasate ceva mai puțin, se adaugă doar fețele triunghiulare și momentan se lasă celelalte goluri (dreptunghiuri) necompletate. Apoi se rotesc pentagoanele și triunghiurile în jurul centrelor lor pînă ce golurile pot fi umplute cu câte două triunghiuri echilaterale.

Dodecaedrul snub poate fi derivat și dinicosidodecaedrul trunchiatprin procesul dealternare.60 de vârfuri ale icosidodecaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu dodecaedrul snub, celelalte 60 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat estetranzitiv pe vârfuridar nu esteuniform.

Poliedre înrudite

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie:[5,3],(*532)							[5,3]+,(532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre șipavărisnubcuconfigurațiile vârfului(3.3.3.3.n.) șidiagrama Coxeter–Dynkin.Aceste figuri și dualele lor ausimetrie de rotație(n32) înnotația orbifold,existând în planul euclidian pentrun= 6, iar înplanul hiperbolicpentru oricenmai mare. Se poate considera că familia începe cun= 2, care are fețele degenerate îndigoane.

Variante de pavări snub cu simetrien32:3.3.3.3.n
Simetrie n32	Sferice				Euclidiană	Hiperbolice compacte		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Imagini snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Imagini giro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Bibliografie

• enJayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”.Mathematical Gazette.89(514): 76–81.doi:10.1017/S0025557200176818.
• enRobert Williams (1979),The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design,Dover Publications Inc.,ISBN: 0-486-23729-X.(Section 3-9)
• Cromwell, P. (1997).Polyhedra.United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86Archimedean solids.ISBN0-521-55432-2.

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• Materiale media legate dedodecaedru snublaWikimedia Commons
• enEric W. Weisstein,Snub dodecahedronlaMathWorld.
• enEric W. Weisstein,Archimedean solidlaMathWorld.
• enEditable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view
• enThe Uniform Polyhedra
• enVirtual Reality PolyhedraThe Encyclopedia of Polyhedra
• enMark S. Adams and Menno T. Kosters.Volume Solutions to the Snub Dodecahedron

• enKlitzing, Richard.„3D uniform polyhedra”.Cheie:snid