Dodecaedru snub
Dodecaedru snub | |
![]() ![]() | |
Cele două forme chirale,cwșiccw (animațiicwșiccw,șimodel 3D) | |
Descriere | |
---|---|
Tip | Poliedru arhimedic (poliedru uniform) |
Fețe | 92 (20+60triunghiuri,12pentagoane) |
Laturi(muchii) | 150 |
Vârfuri | 60 |
χ | 2 |
Configurația vârfului | 3.3.3.3.5 |
Simbol Wythoff | | 2 3 5 |
Simbol Schläfli | sr{5,3} sau ht0,1,2{5,3} |
Simbol Conway | sD |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grup de simetrie | I,12H3,[5,3]+,(532), ordin 60 |
Grup de rotație | I,[5,3]+,(532), ordin 60 |
Arie | ≈ 55,287a2(a= latura) |
Volum | ≈ 37,617a3(a= latura) |
Unghi diedru | 3-3: 164° 10′ 31″ (164,18°) 3-5: 152° 55′ 53″ (152,93°) |
Poliedru dual | Hexacontaedru pentagonal |
Proprietăți | Poliedru semiregulat,convex,chiral |
Figura vârfului | |
![]() | |
Desfășurată | |
![]() |
Îngeometriedodecaedrul snubeste unpoliedru arhimedic.Are 92 defețe,din care 20+60triunghiuri echilateraleși 12pentagonale,60 devârfuriși 150 delaturi.
Este un poliedruchiral,adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe” ) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dăcompusul de două dodecaedre snub,iaranvelopa convexăal ambelor seturi de vârfuri este unicosidodecaedru trunchiat.
Are indicele depoliedru uniformU29,[1]indicele Coxeter C32și indicele Wenninger W18.
Johannes Keplerl-a denumit inițial înlatinădodecahedron simusîn lucrarea saHarmonices Mundidin 1619.H.S.M. Coxetera remarcat că ar putea fi derivat din dodecaedru sau icosaedru, și l-a numit „icosidodecaedru snub”, cusimbolul Schläfliextins verticalși simbolul Schläfli sr{5,3}.
Coordonate carteziene
[modificare|modificare sursă]Fieξ≈ 0,94315125924rădăcinarealăapolinomului de gradul al treileax3+ 2x2−φ2,undeφestesecțiunea de aur.Fie punctulpdat de
- .
Fiematricile de rotație(d)M1șiM2date de
și
M1reprezintărotațiaînsens trigonometriccu unghiul2π5în jurul axei (0,1,φ), iarM2reprezintă rotațiile ciclice cu unghiul2π3în jurul axei (1,1,1) ale coordonatelor (x,y,z). Atunci cele 60 de vârfuri ale dodecaedrului snub sunt cele 60 de imagini ale punctuluipîn urma înmulțirii repetate cuM1și/sauM2Coordonatele vârfurilor sunt combinații liniare integrale ale 1,φ,ξ,φξ,ξ2șiφξ2.Lungimea laturii este
Schimbarea semnului tuturor coordonatelor dă imaginea în oglindă a acestui dodecaedru snub.
Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile) este
Raza sferei mediane esteξ.Aceasta oferă o interpretare geometrică interesantă a număruluiξ.Cele 20 de triunghiuriicosaedriceale dodecaedrului snub descris mai sus sunt coplanare cu fețele unui icosaedru regulat. Raza mediană a acestui icosaedrucircumscriseste egală cu 1. Aceasta înseamnă căξeste raportul dintre razele mediane ale unui dodecaedru snub și icosaedrul în care este înscris.
Unghiul diedru dintre fețele triunghiulare este
Unghiul diedru dintre fețele triunghi–pentagon este
Dimensiuni metrice
[modificare|modificare sursă]Pentru un dodecaedru snub a cărui lungime a laturii este 1,ariasa este
Volumulsău este
Raza sferei circumscrise este
Raza sferei mediane este
Sunt două sfere înscrise, una care atinge fețele triunghiulare și una, puțin mai mică, care atinge fețele pentagonale. Razele lor sunt, respectiv:
și
Dodecaedrul snub are cea mai mare sfericitate dintre toate poliedrele arhimedice. Sfericitatea este definită ca raportul dintre volumul la pătrat și suprafața la puterea a treia, înmulțit cu constanta 36π(unde această constantă face ca sfericitatea unei sfere să fie egală cu 1). Sfericitatea dodecaedrului snub este de aproximativ 0,947.[2]
Proiecții ortogonale
[modificare|modificare sursă]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Polyhedron_snub_12-20_left_from_vertex.png/220px-Polyhedron_snub_12-20_left_from_vertex.png)
Dodecaedrul snub are douăproiecții ortogonale,centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pentagoane, care corespund cu planele Coxeter A2și H2,și una centrată pe mijlocul laturilor dintre fețele triunghiulare.
Centrată pe |
Fața triunghi |
Fața pentagon |
Latură |
---|---|---|---|
Corp | ![]() |
![]() |
![]() |
Cadru de sârmă | ![]() |
![]() |
![]() |
Simetrie proiectivă |
[3] | [5]+ | [2] |
Dual | ![]() |
![]() |
![]() |
Relații geometrice
[modificare|modificare sursă]Dodecaedrul snub poate fi generat luând cele douăsprezece fețe pentagonale ale dodecaedrului,deplasându-le spre exterior.La o distanță potrivită, prin completarea fețelor pătrate care apar între laturile astfel separate și fețele triunghiulare dintre vârfurile astfel separate se obținerombicosidodecaedrul.Dar pentru forma snub, fețele pentagonale trebuie deplasate ceva mai puțin, se adaugă doar fețele triunghiulare și momentan se lasă celelalte goluri (dreptunghiuri) necompletate. Apoi se rotesc pentagoanele și triunghiurile în jurul centrelor lor pînă ce golurile pot fi umplute cu câte două triunghiuri echilaterale.
Dodecaedrul snub poate fi derivat și dinicosidodecaedrul trunchiatprin procesul dealternare.60 de vârfuri ale icosidodecaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu dodecaedrul snub, celelalte 60 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat estetranzitiv pe vârfuridar nu esteuniform.
Poliedre înrudite
[modificare|modificare sursă]Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.
Familia de poliedre icosaedrice uniforme | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie:[5,3],(*532) | [5,3]+,(532) | ||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
Duale ale poliedrelor uniforme | |||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre șipavărisnubcuconfigurațiile vârfului(3.3.3.3.n.) șidiagrama Coxeter–Dynkin.Aceste figuri și dualele lor ausimetrie de rotație(n32) înnotația orbifold,existând în planul euclidian pentrun= 6, iar înplanul hiperbolicpentru oricenmai mare. Se poate considera că familia începe cun= 2, care are fețele degenerate îndigoane.
Variante de pavări snub cu simetrien32:3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie n32 |
Sferice | Euclidiană | Hiperbolice compacte | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Imagini snub |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Imagini giro |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Note
[modificare|modificare sursă]- ^enEric W. Weisstein,Uniform PolyhedronlaMathWorld.
- ^enP. K. Aravind,How Spherical Are the Archimedean Solids and Their Duals?,The College Mathematics Journal, Vol. 42, No. 2 (March 2011), pp. 98–107
Bibliografie
[modificare|modificare sursă]- enJayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”.Mathematical Gazette.89(514): 76–81.doi:10.1017/S0025557200176818.
- enRobert Williams (1979),The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design,Dover Publications Inc.,ISBN: 0-486-23729-X.(Section 3-9)
- Cromwell, P. ().Polyhedra.United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86Archimedean solids.ISBN0-521-55432-2.
Vezi și
[modificare|modificare sursă]Legături externe
[modificare|modificare sursă]Materiale media legate dedodecaedru snublaWikimedia Commons
- enEric W. Weisstein,Snub dodecahedronlaMathWorld.
- enEric W. Weisstein,Archimedean solidlaMathWorld.
- enEditable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view
- enThe Uniform Polyhedra
- enVirtual Reality PolyhedraThe Encyclopedia of Polyhedra
- enMark S. Adams and Menno T. Kosters.Volume Solutions to the Snub Dodecahedron
- enKlitzing, Richard.„3D uniform polyhedra”.Cheie:snid