Factorizare

Înmatematică,factorizareaconstă în scrierea unui număr sau a altuiobiect matematicca produs de mai mulțifactori,de obicei obiecte mai mici sau mai simple de același fel. De exemplu,3 × 5este o factorizare aîntregului15,iar(x– 2)(x+ 2)este o factorizare apolinomuluix²– 4.

Nu se consideră de obicei că factorizarea ar avea vreo importanță în sistemele de numere care posedădiviziuni,cum ar fi numerelerealesaucomplexe,deoarece orice$x$poate fi scris trivial ca$(xy)\times (1/y)$oricând$y$nu este zero. Totuși, o factorizare semnificativă pentru unnumăr raționalsau ofuncție raționalăpoate fi obținută prin aducerea la o formă ireductibilă și factorizarea separată a numărătorului și numitorului.

Primii care s-au gândit la conceptul de factorizare au fostmatematicienii antici greci^⁠(d)în cazul numerelor întregi. Ei au demonstratteorema fundamentală a aritmeticii,care afirmă că fiecare număr întreg pozitiv poate fi factorizat într-un produs denumere prime,care nu pot fi factorizate mai departe în numere întregi mai mari de 1. Mai mult, această factorizare este unicăpână laordinea factorilor. Deșifactorizarea întregiloreste un fel de operație inversă înmulțirii, ea este mult mai dificilădin punct de vedere algoritmic,fapt care este exploatat încriptosistemul RSApentru a implementacriptografia cu cheie publică.

Factorizarea polinomială^⁠(d)este și ea studiată de secole. În algebra elementară, factorizarea unui polinom reduce problema găsiriirădăcinilorsale la găsirea rădăcinilor factorilor. Polinoamele cu coeficienți în mulțimea numerelor întregi sau într-uncorpposedăproprietatea de factorizare unică,o versiune a teoremei fundamentale a aritmeticii în care numerele prime sunt înlocuite cupolinoame ireductibile^⁠(d).În special, unpolinom univariatcu coeficiențicomplecșiadmite o factorizare unică (până la ordonare) înpolinoame liniare:aceasta este o versiune ateoremei fundamentale a algebrei.În acest caz, factorizarea se poate face cualgoritmi de găsire a rădăcinilor^⁠(d).Cazul polinoamelor cu coeficienți întregi este fundamental pentrualgebra computerizată^⁠(d).Existăalgoritmide calcul eficienți pentru calcularea factorizărilor (complete) în cadrul inelului polinoamelor cu coeficienți de număr rațional.

Uninel comutativcare posedă proprietatea de factorizare unică se numeștedomeniu unic de factorizare.Existăsisteme numerice,cum ar fi anumiteinele de numere întregi algebrice,care nu sunt domenii de factorizare unică. Totuși, inelele de numere întregi algebrice satisfac proprietatea mai slabă adomeniilor Dedekind^⁠(d):idealelese împart în mod unic înideale prime.

Termenulfactorizarese poate referi și la descompuneri mai generale ale unui obiect matematic în produsul unor obiecte mai mici sau mai simple. De exemplu, orice funcție poate fi inclusă în compoziția uneifuncții surjectivecu ofuncție injectivă.Matriceleposedă multe tipuri defactorizări de matrice^⁠(d).De exemplu, fiecare matrice are ofactorizare LUP^⁠(d)unică ca produs al uneimatrice triunghiulare inferioare^⁠(d)Lcu toate elementele de pe diagonală egale cu unu, cu omatrice triunghiulară superioară^⁠(d)Uși omatrice permutareP;aceasta este o formulare matriceală aeliminării gaussiene^⁠(d).

Numere întregi

Conformteoremei fundamentale a aritmeticii,fiecarenumăr întregmai mare de 1 are o descompunere unică (până la ordinea factorilor) înnumere prime,care sunt acele numere întregi ce nu pot fi descompuse în produs de alte numere întregi mai mari de unu.

Pentru a calcula factorizarea unui număr întregn,este nevoie de unalgoritmcare găsește undivizorqal luinsau decide căneste prim. Când se găsește un astfel de divizor, aplicarea repetată a acestui algoritm asupra factorilorqșin/qdă în cele din urmă factorizarea completă a luin.

Pentru a găsi un divizorqal luin,dacă există, este suficient să se testeze toate valorile luiqastfel încât1 <qșiq²≤n.De fapt, dacăreste un divizor al luinastfel încâtr²>n,atunciq=n/reste un divizor al luinastfel încâtq²≤n.

Dacă se testează valorile luiqîn ordine crescătoare, primul divizor care se găsește este cu siguranță un număr prim, iarcofactorulr=n/qnu poate avea niciun divizor mai mic decâtq.Pentru a obține factorizarea completă, este suficient să se continue algoritmul prin căutarea unui divizor al luircare nu este mai mic decâtqși nu mai mare decât√r.

Nu este nevoie să se testeze toate valorile luiqpentru aplicarea metodei. În principiu, este suficientă testarea doar a divizorilor primi. Acesta trebuie să aibă un tabel de numere prime care poate fi generat, de exemplu, cuciurul lui Eratostene.Deoarece metoda de factorizare efectuează în esență aceeași activitate ca ciurul lui Eratostene, este în general mai eficientă testarea pentru un divizor doar pentru acele numere pentru care nu este imediat clar dacă sunt prime sau nu. De obicei, se poate continua testând 2, 3, 5 și numerele > 5, a căror ultimă cifră este 1, 3, 7, 9 și suma cifrelor nu este unmultiplual lui 3.

Această metodă funcționează bine pentru factorizarea numerelor întregi mici, dar este ineficientă pentru numerele întregi mai mari. De exemplu,Pierre de Fermatnu a putut descoperi că al 6-leanumăr Fermat^⁠(d)

$1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297$

nu este un număr prim. De fapt, aplicarea metodei de mai sus ar necesita peste7004100000000000000♠10000de împărțiri, pentru un număr care are 10cifre zecimale.

Există algoritmi de factorizare mai eficienți. Totuși, ele rămân relativ ineficiente, deoarece, în stadiul actual al tehnicii, nu se poate factoriza, chiar și cu calculatoarele mai puternice, un număr de 500 de cifre zecimale care este produsul a două numere prime alese aleatoriu. Aceasta asigură securitateacriptosistemului RSA,care este utilizat pe scară largă pentru comunicarea securizată prinInternet.

Exemplu

Pentru factorizarean= 1386în numere prime:

• Se începe cu împărțirea la 2: numărul este par șin= 2 · 693.Se continuă cu 693 și 2 drept candidate ca prim divizor.
• 693 este impar (2 nu este divizor), dar este multiplu al lui 3: avem693 = 3 · 231și decin= 2 · 3 · 231.Se continuă cu 231 și 3 drept candidate ca primul divizor.
• 231 este și el un multiplu al lui 3: avem231 = 3 · 77,și astfeln= 2 · 3²· 77.Se continuă cu 77 și 3 drept candidate ca prim divizor.
• 77 nu este un multiplu al lui 3, deoarece suma cifrelor sale este 14, deci nu este multiplu de 3. Nu este nici multiplu de 5, deoarece ultima sa cifră este 7. Următorul divizor impar care trebuie testat este 7. Avem77 = 7 · 11,și astfeln= 2 · 3²· 7 · 11.Aceasta arată că 7 este prim (ușor de testat direct). Se continuă cu 11 și 7 drept candidate ca prim divizor.
• Întrucât7²> 11,calculul s-a terminat. Astfel 11 este prim, iar descompunerea în factori primi este

1386 = 2 · 3²· 7 · 11.

Expresii

Manipulareaexpresiilorstă la fundamentelealgebrei.Factorizarea este una dintre cele mai importante metode de manipulare a expresiilor din mai multe motive. Dacă se poate pune oecuațieîntr-o formă factorizatăE⋅F= 0,atunci problema rezolvării ecuației se împarte în două probleme independente (și în general mai ușoare)E= 0șiF= 0.Atunci când o expresie poate fi factorizată, factorii sunt adesea mult mai simpli și, astfel, pot oferi o perspectivă asupra problemei. De exemplu, expresia

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

având 16 înmulțiri, 4 scăderi și 3 adunări, poate fi factorizată în expresia mult mai simplă

$(x-a)(x-b)(x-c),$

cu doar două înmulțiri și trei scăderi. Mai mult, forma factorizată dă imediatrădăcinilex=a,b,cca rădăcini ale polinomului.

Pe de altă parte, factorizarea nu este întotdeauna posibilă, iar atunci când este posibilă, se poate ca factorii să nu fie întotdeauna mai simpli. De exemplu,$x^{10}-1$poate fi factorizat în doifactori ireductibili^⁠(d)$x-1$și$x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1$.

Au fost dezvoltate diverse metode pentru găsirea factorizărilor; unele sunt descrise mai jos.

Rezolvareaecuațiilor algebricepoate fi privită ca o problemă defactorizare polinomială^⁠(d).De fapt,teorema fundamentală a algebreipoate fi enunțată după cum urmează: fiecarepolinomînxde gradncu coeficiențicomplecșipoate fi factorizat înnfactori liniari$x-a_{i},$pentrui= 1,...,n,undea_isunt rădăcinile polinomului.Chiar dacă structura factorizării este cunoscută în aceste cazuri, valorilea_inu pot fi în general calculate în termeni de radicali (rădăcini a de ordinn), conformteoremei Abel-Ruffini.În cele mai multe cazuri, cel mai bun lucru care se poate face este să se calculezevalori aproximative^⁠(d)pentru rădăcini cu ajutorul unuialgoritm de găsire a rădăcinilor^⁠(d).

Istoria factorizării expresiilor

Utilizarea sistematică a manipulărilor algebrice pentru simplificarea expresiilor (mai precisa ecuațiilor) datează din secolul al IX-lea, de la cartea luial-KhwarizmiKitab al-jabr wa’l-muqabala^⁠(d),al cărei titlu conține denumirea a două astfel de tipuri de manipulare.

Totuși, chiar și pentru rezolvareaecuațiilor pătratice,nu s-a folosit metoda de factorizare decât după lucrarea luiHarriotpublicată în 1631, la zece ani după moartea sa.În cartea saArtis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas,Harriot a întocmit tabele pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțireamonoamelor,binoamelorșitrinoamelor.Apoi, într-o a doua secțiune, a enunțat ecuațiaaa−ba+ca= +bcși a arătat că aceasta se potrivește cu forma de înmulțire pe care a o specificase anterior, dând factorizarea(a−b)(a+c).

Metode generale

Următoarele metode se aplică oricărei sume sau expresii care poate fi transformată într-o sumă. Prin urmare, ele sunt cel mai adesea aplicate lapolinoame,deși pot fi aplicate și atunci când termenii sumei nu suntmonoamele,adică termenii sumei sunt un produs de variabile și constante.

Factorul comun

Se poate întâmpla ca toți termenii unei sume să fie produse și ca anumiți factori să fie comuni tuturor termenilor. În acest caz,distributivitateapermite extragerea acestui factor comun. Dacă există mai mulți astfel de factori comuni, este se preferă împărțirea la cel mai mare astfel de factor comun. De asemenea, dacă există coeficienți întregi, se poate găsicel mai mare divizor comunal acestor coeficienți.

De exemplu,

$6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),$

deoarece 2 este cel mai mare divizor comun al lui 6, 8 și 10, și toți termenii se împart la$x^{3}y^{2}$.

Gruparea

Gruparea termenilor poate permite utilizarea altor metode pentru obținerea unei factorizări.

De exemplu, pentru a factoriza

$4x^{2}+20x+3xy+15y,$

se poate observa că primii doi termeni au un factor comunx,iar ultimii doi termeni au factorul comuny.Prin urmare

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).$

Atunci, o inspecție simplă relevă factorul comunx+ 5,ceea ce duce la factorizarea

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).$

În general, aceasta funcționează pentru sume de 4 termeni care au fost obținute ca produs a douăbinoame.Deși nu frecvent, aceasta poate funcționa și pentru exemple mai complicate.

Adunarea și scăderea termenilor

Uneori, o grupare de termeni dezvăluie o parte a unui șablon identificabil. Atunci, este utilă adunarea și scăderea termenilor pentru completarea șablonului.

O utilizare tipică este metoda decompletare a pătratului^⁠(d)pentru obținereaformulei pătratice.

Un alt exemplu este factorizarea lui$x^{4}+1.$Dacă se introducerădăcina pătrată nereală a lui –1,notată de regulă cui,atunci avem odiferență de pătrate

$x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).$

S-ar putea dori însă și o factorizare cu coeficienținumere reale.Prin adunarea și scăderea lui$2x^{2},$și grupând trei termeni împreună, se poate recunoaște pătratul unuibinom:

$x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).$

Dacă se scade și apoi se adună$2x^{2}$,rezultă factorizarea:

$x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).$

Aceste factorizări funcționează nu numai asupra numerelor complexe, ci și asupra oricăruicorp,unde –1, 2 sau –2 este un pătrat. Într-uncorp finit,produsul a două elemente care nu sunt pătrate este un pătrat; aceasta implică faptul căpolinomul$x^{4}+1,$care esteireductibil^⁠(d)peste numerele întregi, este reductibilmodulo^⁠(d)oricenumăr prim.De exemplu,

$x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},\qquad$deoarece$1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},\qquad$deoarece$2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},\qquad$deoarece$3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.$

Șabloane identificabile

Multeidentitățioferă oegalitateîntre o sumă și un produs. Metodele de mai sus pot fi utilizate pentru a face să apară într-una din părți suma dintr-o identitate, care poate fi, prin urmare, înlocuită cu un produs.

Mai jos sunt identitățile ale căror părți stângi sunt utilizate în mod obișnuit ca șabloane (aceasta înseamnă că variabileleEșiFcare apar în aceste identități pot reprezenta orice subexpresie a expresiei care trebuie factorizată).

Demonstrație vizuală a diferențelor dintre două pătrate și două cuburi

• Diferența a două pătrate

$E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)$

De exemplu,

${\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}$

• Suma/diferența a două cuburi

$E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})$

$E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})$

• Diferența de două puteri a patra

${\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}$

• Suma/diferența a două puteri an-a

În următoarele identități, factorii pot fi adesea factorizați mai departe:

• Diferență, exponent par

$E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})$

• Diferență, exponent par sau impar

$E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})$

Acesta este un exemplu care arată că factorii pot fi mult mai mari decât suma care este factorizată.

• Sumă, exponent impar

$E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})$

(obținut prin schimbareaFcu–Fîn formula anterioară)

• Sumă, exponent par

Dacă exponentul este o putere a lui doi, atunci expresia nu poate fi, în general, factorizată fără a introducenumere complexe(dacăEșiFconțin numere complexe, acesta poate să nu fie cazul). Dacănare un divizor impar, adică dacăn=pqcupimpar, se poate folosi formula anterioară (de la „Sumă, exponent impar” ) aplicată la$(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.$

• Trinoame și formule cubice

${\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}$

• Dezvoltări binomiale

Vizualizarea dezvoltării binomului până la puterea a 4-a

Teorema binomialăfurnizează modele care pot fi ușor recunoscute după numerele întregi care apar în ele.

De grad scăzut:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$

Mai general, coeficienții formelor extinse ale lui$(a+b)^{n}$și$(a-b)^{n}$suntcoeficienții binomiali,care apar în alnlea rând altriunghiului lui Pascal.

Rădăcinile unității

Rădăcinile de ordinnaleunitățiisuntnumerele complexecare suntrădăciniale polinomului$x^{n}-1.$Ele sunt astfel numerele

$e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}$

pentru$k=0,\ldots,n-1.$

Rezultă că pentru oricare două expresiiEșiF,avem:

$E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{dacă }}n{\text{ este par}}$

$E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{dacă }}n{\text{ este impar}}$

DacăEșiFsunt expresii reale și se doresc factori reali, trebuie înlocuită fiecare pereche de factoricomplex-conjugațicu produsul lor. Întrucât conjugatul complex al lui$e^{i\alpha }$este$e^{-i\alpha },$și

$\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},$

rezultă următoarele factorizări reale (se trece de la una la alta prin schimbarea luikînn–ksaun+ 1 –kși aplicândformulele trigonometriceuzuale:

${\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

Cosinusurile^⁠(d)care apar în aceste factorizări suntnumere algebriceși pot fi exprimate în termeni deradicali(acest lucru este posibil deoarecegrupul lor Galois^⁠(d)este ciclic); totuși, aceste expresii radicale sunt prea complicate pentru a fi utilizate, cu excepția valorilor scăzute ale luin.De exemplu,

$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

$a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

Adesea se dorește o factorizare cu coeficienți raționali. O astfel de factorizare implicăpolinoame ciclotomice^⁠(d).Pentru a exprima factorizări raționale de sume și diferențe sau puteri, avem nevoie de o notație pentruomogenizarea unui polinom:dacă$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$omogenizarealui estepolinomul bivariat${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.$Atunci, avem

$E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

unde produsele se iau pe toți divizorii luinsau pe toți divizorii lui2ncare nu dividnși$Q_{n}(x)$este aln-lea polinom ciclotomic.

De exemplu,

$a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),$

$a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),$

deoarece divizorii lui 6 sunt 1, 2, 3, 6, iar divizorii lui 12 care nu îl divid pe 6 sunt 4 și 12.

Polinoame

Pentru polinoame, factorizarea este strâns legată de problema rezolvăriiecuațiilor algebrice.O ecuație algebrică are forma

$P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,$

undeP(x)este un polinom înxcu$a_{0}\neq 0.$O soluție a acestei ecuații (numită șirădăcinăa polinomului) este ovaloarera luixastfel încât

$P(r)=0.$

Dacă$P(x)=Q(x)R(x)$este o factorizare a luiP(x) = 0ca produs de două polinoame, atunci rădăcinile luiP(x)suntreuniunearădăcinilor luiQ(x)și rădăcinilor luiR(x).Astfel, găsirea soluției ecuațieiP(x) = 0se reduce la problemele mai simplu de rezolvatQ(x) = 0șiR(x) = 0.

În schimb,teorema factorului^⁠(d)afirmă că dacăreste o rădăcină a luiP(x) = 0,atunciP(x)poate fi factorizat ca

$P(x)=(x-r)Q(x),$

undeQ(x)este câtulîmpărțirii euclidiene^⁠(d)a luiP(x) = 0cu factorul liniar (de gradul unu)x–r.

Dacă coeficienții luiP(x)sunt numererealesaucomplexe,teorema fundamentală a algebreiafirmă căP(x)are o rădăcină reală sau complexă. Folosind teorema factorului în mod recursiv, rezultă că

$P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$

Unde$r_{1},\ldots,r_{n}$sunt rădăcinile reale sau complexe ale luiP,unele dintre ele posibil repetate. Această factorizare completă este unică făcând abstracție de ordinea factorilor.

Dacă coeficienții luiP(x)sunt reali, se dorește în general o factorizare în care factorii au coeficienți reali. În acest caz, factorizarea completă poate avea niște factori pătratici (de gradul doi). Această factorizare poate fi dedusă cu ușurință din factorizarea completă de mai sus. De fapt, dacăr=a+ibeste o rădăcină nereală aP(x),atunciconjugatul său complexs=a-ibeste, de asemenea, o rădăcină a luiP(x).Deci, produsul

$(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}$

este un factor al luiP(x)cu coeficienți reali. Repetând aceasta pentru toți factorii nereali, se obține o factorizare cu factori reali liniari sau pătratici.

Pentru a calcula aceste factorizări reale sau complexe, este nevoie de rădăcinile polinomului, care ar putea să nu fie calculate exact, ci doar aproximate folosindalgoritmi de găsire a rădăcinilor^⁠(d).

În practică, majoritatea ecuațiilor algebrice de interes au coeficiențiîntregisauraționaliși se poate dori o factorizare cu factori de același fel.Teorema fundamentală a aritmeticiipoate fi generalizată în acest caz, afirmând că polinoamele cu coeficienți întregi sau raționali auproprietatea de factorizare unică.Mai precis, fiecare polinom cu coeficienți raționali poate fi factorizat într-un produs

$P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),$

undeqeste un număr rațional și$P_{1}(x),\ldots,P_{k}(x)$sunt polinoame neconstante cu coeficienți întregi care suntireductibili^⁠(d)șiprimitivi^⁠(d);asta înseamnă că niciunul dintre$P_{i}(x)$pot fi scrise ca produsul a două polinoame (cu coeficienți întregi) care nu sunt nici 1, nici –1 (numerele întregi sunt considerate polinoame de grad zero). Mai mult, această factorizare este unică făcând abstracție de ordinea factorilor și de semnul lor.

Existăalgoritmieficienți pentru calcularea acestei factorizări, care sunt implementați în majoritatea sistemelor dealgebră computerizată^⁠(d).Acești algoritmi sunt însă prea complicați pentru a fi utilizați pentru calculele mintale sau pe hârtie. Pe lângă euristica de mai sus, doar câteva metode sunt potrivite pentru calculele manuale, care în general funcționează numai pentru polinoame de grad scăzut, cu puțini coeficienți nenuli. Principalele astfel de metode sunt descrise în subsecțiunile următoare.

Factorizarea în parte primitivă și conținut

Orice polinom cu coeficiențiraționalipoate fi factorizat, într-un mod unic, ca produsul dintre un număr rațional și un polinom cu coeficienți întregi, care esteprimitiv^⁠(d)(adicăcel mai mare divizor comunal coeficienților este 1) și are un coeficient pozitiv la termenul cel mai semnificativ. De exemplu:

$-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)$

${\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)$

În această factorizare, numărul rațional se numește conținut, iar polinomul primitiv estepartea primitivă.Calculul acestei factorizări se poate face după cum urmează: în primul rând, se reduc toți coeficienții la un numitor comun, pentru a obține câtul printr-un număr întregqal unui polinom cu coeficienți întregi. Apoi se împarte divizorul comun mai marepal coeficienților acestui polinom pentru a obține partea primitivă, conținutul fiind$p/q.$În cele din urmă, dacă este necesar, se schimbă semnele luipși toți coeficienții părții primitive.

Această factorizare poate produce un rezultat care este mai mare decât polinomul originar (de obicei atunci când există mulți numitoriprimi între ei), dar, chiar și atunci când se întâmplă aceasta, partea primitivă este în general mai ușor de manipulat pentru factorizare ulterioară.

Folosirea teoremei factorului

Teorema factorului afirmă că, dacăreste orădăcinăa unuipolinom

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},$

adicăP(r) = 0,atunci există o factorizare

$P(x)=(x-r)Q(x),$

unde

$Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},$

cu$a_{0}=b_{0}$.Atunci, metoda lungă sau cea sintetică de împărțire a polinoamelor dau rezultatul:

$b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots,n{-}1.$

Aceasta poate fi utilă atunci când se cunoaște sau se poate ghici o rădăcină a polinomului.

De exemplu, pentru$P(x)=x^{3}-3x+2,$se poate observa cu ușurință că suma coeficienților săi este 0, decir= 1este o rădăcină. Întrucâtr+ 0 = 1și$r^{2}+0r-3=-2,$avem

$x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).$

Rădăcini raționale

Pentru polinoame cu coeficienți numere raționale, se pot căuta rădăcini care sunt numere raționale. Factorizarea parte primitivă-conținut (vezi mai sus) reduce problema căutării rădăcinilor raționale la cazul polinoamelor cu coeficienți întregi care nu au undivizor comunnetrivial.

Dacă$x={\tfrac {p}{q}}$este o rădăcină rațională a unui astfel de polinom

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},$

teorema factorului arată că există o factorizare

$P(x)=(qx-p)Q(x),$

unde ambii factori au coeficienți întregi (faptul căQare coeficienți întregi rezultă din formula de mai sus pentru câtul luiP(x)prin$x-p/q$).

Comparând coeficienții de gradnși coeficienții constanți în egalitatea de mai sus, rezultă că, dacă${\tfrac {p}{q}}$este o rădăcină raționalăireductibilă^⁠(d),atunciqeste un divizor al lui$a_{0},$iarpeste un divizor al lui$a_{n}.$Prin urmare, există un număr finit de posibilități pentrupșiq,care pot fi examinate sistematic.

De exemplu, dacă polinomul

$P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6$

are o rădăcină rațională${\tfrac {p}{q}}$cuq> 0,atunciptrebuie să fie un divizor al lui 6; adică$p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$șiqtrebuie să fie un divizor al lui 2, adică$q\in \{1,2\}.$Mai mult, dacăx< 0,toți termenii polinomului sunt negativi și, prin urmare, o rădăcină nu poate fi negativă. Adică avem

${\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.$

Un calcul direct arată că doar${\tfrac {3}{2}}$este rădăcină, deci nu poate exista altă rădăcină rațională. Aplicarea teoremei factorilor duce în final la factorizarea$2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

Metoda pătratică ac

Metoda de mai sus poate fi adaptată pentrupolinoame pătratice^⁠(d),conducând lametoda de factorizare ac.

Fie polinomul pătratic

$P(x)=ax^{2}+bx+c$

cu coeficienți întregi. Dacă are o rădăcină rațională, numitorul acesteia trebuie să-l dividă peași poate fi scris ca ofracție posibil reductibilă^⁠(d)$r_{1}={\tfrac {r}{a}}.$Conformformulelor lui Vieta,cealaltă rădăcină$r_{2}$este

$r_{2}=-{\frac {b}{a}}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},$

cu$s=-(b+r).$Astfel, a doua rădăcină este și ea rațională, iar a doua formulă a lui Vieta$r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}$dă

${\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},$

adică

$rs=ac\quad {\text{și}}\quad r+s=-b.$

Verificarea tuturor perechilor de numere întregi al căror produs esteacfurnizează rădăcinile raționale, dacă există.

Pe scurt, dacă$ax^{2}+bx+c$are rădăcini raționale, există numerele întregirșisastfel încât$rs=ac$și$r+s=-b$(un număr finit de cazuri de testat), iar rădăcinile sunt${\tfrac {r}{a}}$și${\tfrac {s}{a}}.$Cu alte cuvinte, există factorizarea

$a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).$

De exemplu, fie polinomul pătratic

$6x^{2}+13x+6.$

Inspecția factorilor luiac= 36duce la4 + 9 = 13 =b,dând cele două rădăcini

$r_{1}=-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{și}}\quad r_{2}=-{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},$

și factorizarea

$6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).$

Folosirea formulelor pentru rădăcinile polinoamelor

Oricepolinom pătratic^⁠(d)univariat$ax^{2}+bx+c$poate fi factorizat folosindformula pătratică:

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),$

Unde$\alpha$și$\beta$sunt cele douărădăciniale polinomului.

Dacăa, b, csuntnumere reale,factorii sunt reali dacă și numai dacădiscriminantul^⁠(d)$b^{2}-4ac$este nenegativ. În caz contrar, polinomul pătratic nu poate fi factorizat în factori reali neconstanți.

Formula pătratică este valabilă atunci când coeficienții aparțin oricăruicorpdecaracteristicădiferită de doi și, în special, pentru coeficienți unuicorp finitcu un număr impar de elemente.

Există și formule pentru rădăcinile polinoamelorcubiceșide gradul patru,care sunt, în general, prea complicate pentru utilizare practică.Teorema Abel-Ruffiniarată că nu există formule generale pentru rădăcini în termeni de radicali pentru polinoamele de gradul cinci sau mai mare.

Utilizarea relațiilor dintre rădăcini

Se poate întâmpla să se cunoască o relație între rădăcinile unui polinom și coeficienții săi. Folosirea acestor cunoștințe poate ajuta la factorizarea polinomului și la găsirea rădăcinilor acestuia.Teoria lui Galoisse bazează pe un studiu sistematic al relațiilor dintre rădăcini și coeficienți, care includformulele lui Vieta.

Aici, luăm în considerare cazul mai simplu în care două rădăcini$x_{1}$și$x_{2}$ale unui polinom$P(x)$satisfac relația

$x_{2}=Q(x_{1}),$

undeQeste un polinom.

Aceasta implică faptul că$x_{1}$este o rădăcină comună a$P(Q(x))$și$P(x).$Prin urmare, este o rădăcină acelui mai mare divizor comun^⁠(d)al acestor două polinoame. Rezultă că acest cel mai mare divizor comun este un factor neconstant al lui$P(x).$Algoritmul lui Euclid pentru polinoame permite calculul acestui cel mai mare factor comun.

De exemplu,dacă se știe sau se intuiește că:$P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$are două rădăcini a căror sumă este zero, se poate aplica algoritmul lui Euclid pe$P(x)$și$P(-x).$Primul pas al împărțirii constă în adunarea lui$P(x)$la$P(-x),$care dărestul

$-10(x^{2}-16).$

Atunci, împărțind$P(x)$la$x^{2}-16$dă zero ca rest nou șix– 5ca coeficient, ceea ce duce la factorizarea completă

$x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).$

Domenii de factorizare unică

Numerele întregi și polinoamele peste uncorpîmpărtășesc proprietatea factorizării unice, adică fiecare element diferit de zero poate fi factorizat într-un produs între un element inversabil (ounitate^⁠(d),±1 în cazul numerelor întregi) și un produs deelemente ireductibile(numere prime,în cazul numerelor întregi), iar această factorizare este unică făcând abstracție de rearanjarea factorilor și schimbarea unităților între factori.Domeniile de integritatecare împărtășesc această proprietate se numescdomenii de factorizare unică(DFU).

În domeniile de factorizare unică existăcel mai mare divizor comun,și, reciproc, orice domeniu de integritate în care există cel mai mare divizor comun este un DFU. Oricedomeniu ideal principal^⁠(d)este un DFU.

Undomeniu euclidian^⁠(d)este un domeniu de integritate pe care este definită oîmpărțire euclidianăsimilară cu cea a numerelor întregi. Fiecare domeniu euclidian este un domeniu ideal principal și, prin urmare, un DFU.

Într-un domeniu euclidian, împărțirea euclidiană permite definirea unuialgoritm al lui Euclidpentru calculul celor mai mari divizori comuni. Totuși, aceasta nu implică existența unui algoritm de factorizare. Există un exemplu explicit de corpFastfel încât nu există niciun algoritm de factorizare în domeniul euclidianF[x]al polinoamelor univariate pesteF.

Ideale

Înteoria numerelor algebrice^⁠(d),studiulecuațiilor diofantice^⁠(d)i-a determinat pe matematicieni, în secolul al XIX-lea, să introducă generalizări alenumerelor întreginumitenumere întregi algebrice.Primulinel de numere întregi algebricecare au fost luate în considerare au fost numerele întregiGaussiene^⁠(d)șiEisenstein^⁠(d),care împărtășesc cu numerele întregi uzuale proprietatea de a fidomenii de ideale principale^⁠(d)și au astfelproprietatea de factorizare unică.

Din păcate, în curând a rezultat că majoritatea inelelor de numere întregi algebrice nu sunt principale și nu au factorizare unică. Cel mai simplu exemplu este$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],$în care

$9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),$

și toți acești factori suntireductibili.

Această lipsă a factorizării unice este o dificultate majoră pentru rezolvarea ecuațiilor diofantice. De exemplu, multe demonstrații greșite aleultimei teoreme a lui Fermat(incluzând probabil„demonstrația cu adevărat minunatăa luiFermatînsuși,pe care această margine este prea îngustă pentru a o conține”) se bazau pe prezumția implicită a factorizării unice.

Această dificultate a fost rezolvată deDedekind,care a demonstrat că inelele numerelor întregi algebrice au factorizarea unică aidealelor:în aceste inele, fiecare ideal este un produs alidealelor prime,iar această factorizare este unică făcând abstracție de ordinea factorilor.Domeniile de integritatecare au această proprietate unică de factorizare sunt acum numitedomenii Dedekind^⁠(d).Au multe proprietăți remarcabile care le fac fundamentale în teoria numerelor algebrice.

Matrici

Inelele de matrici sunt necomutative și nu au factorizare unică: există, în general, multe moduri de a scrie omatriceca produs de matrici. Astfel, problema factorizării constă în găsirea factorilor de anumite tipuri specificate. De exemplu,descompunerea LU^⁠(d)dă o matrice ca produs al uneimatrici triunghiulare^⁠(d)inferior cu una triunghiulară superior. Deoarece acest lucru nu este întotdeauna posibil, se consideră în general „descompunerea LUP” având omatrice de permutareca al treilea factor.

Omatrice logică^⁠(d)reprezintă orelație binară,iarînmulțirea matriceicorespundecompoziției relațiilor^⁠(d).Descompunerea unei relații prin factorizare servește la profilarea naturii relației, cum ar fi o relațiedifuncțională.

Referințe

• Burnside, William Snow;Panton, Arthur William (1960) [1912],The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one),Dover
• Dickson, Leonard Eugene(1922),First Course in the Theory of Equations,New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921),College Algebra (Revised),Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix(1925),Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis,Dover
• Selby, Samuel M. (1970),CRC Standard Mathematical Tables(ed. 18th), The Chemical Rubber Co.

Legături externe

• Wolfram Alphapoate efectua factorizări.