Domeniu de integritate

Înmatematică,în special înalgebra abstractă,undomeniu de integritate^[1]^[2]este uninel comutativ nenulîn care produsul oricăror două elemente nenule este diferit de zero.^[3]^[4]Domeniile de integritate sunt generalizări aleinelelordenumere întregiși oferă un cadru natural pentru studiuldivizibilității.Într-un domeniu de integritate, fiecare element diferit de zeroaare proprietatea că dacăa≠ 0,oegalitateab=acimplicăb=c.

Un „domeniul de integritate” este definit aproape universal ca mai sus, dar există unele variații. Acest articol urmează convenția conform căreia inelele au unelement neutrufață deînmulțire,notat în general cu 1, dar unii autori nu respectă acest lucru, nefiind necesar ca domeniile de integritate să aibă element neutru.^[5]^[6]Uneori sunt admise și domeniile de integritate necomutative.^[7]Totuși, acest articol urmează convenția mult mai comună de a folosi termenul de „domeniu de integritate” pentru cazul comutativ și de a folosi pentru cazul general care include inele necomutative termenul de „domeniu”.

Definiție

Undomeniu de integritateeste un inel comutativ nenul în care produsul oricăror două elemente nenule este diferit de zero. Echivalent:

Un domeniu de integritate este un inel comutativ nenul fărădivizori ai lui zero.^[2]
Un domeniu de integritate este un inel comutativ cu divizori zero nenuli.
Un domeniu de integritate este un inel comutativ în careidealul zero{0} este unideal prim.
Un domeniu de integritate este un inel comutativ nenul pentru care fiecare element diferit de zero areelement invers.
Un domeniu de integritate este un inel pentru care mulțimea elementelor nenule este unmonoidcomutativ pentru înmulțire (deoarece un monoid trebuie să fieînchispentru înmulțire).
Un domeniu de integritate este un inel comutativ nenul în care pentru fiecare element diferit de zero,r,funcția care aplică fiecare elementxal inelului la produsulxresteinjectiv.Elementelercu această proprietate se numescregulate,deci este echivalentă cererea ca fiecare element diferit de zero al inelului să fie regulat.
Un domeniu de integritate este un inel care esteizomorfcu unsubinelal unuicorp.(Având în vedere un domeniu de integritate, se poate încorpora încorpul fracțiilor.)

Exemple de domenii de integritate

Exemplul arhetipic este inelul $\mathbb {Z}$ alnumerelor întregi.
Orice corp este un domeniu de integritate. De exemplu, corpul $\mathbb {R}$ alnumerelor realeeste un domeniu de integritate. Invers, orice domeniu de integritateartinianeste un corp. În particular, toate domeniile de integritate finite suntcorpuri finite(în general, dupămica teoremă a lui Wedderburn,domeniile finitesunt corpuri finite). Inelul de numere întregi $\mathbb {Z}$ oferă un exemplu de domeniu de integritate infinit neartinian care nu este un corp, care posedă secvențe descrescătoare infinite de ideale, cum ar fi:

\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots

Inelele de polinoame^⁠(d)sunt domenii de integritate dacă coeficienții provin dintr-un domeniu de integritate. De exemplu, inelul $\mathbb {Z} [x]$ al tuturor polinoamelor într-o variabilă cu coeficienți întregi este un domeniu de integritate; la fel este și inelul $\mathbb {C} [x_{1},\ldots,x_{n}]$ al tuturor polinoamelor înn-variabile cu coeficiențicomplecși.
Exemplul anterior poate fi exploatat în continuare prin luarea de coeficienți din idealele prime. De exemplu, inelul $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$ corespunzând uneicurbe elipticeplane este un domeniu de integritate. Integritatea poate fi verificată arătând că $y^{2}-x(x-1)(x-2)$ este unpolinom ireductibil^⁠(d).
Inelul $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ este un domeniu de integritate pentru orice întreg $n$ care nu este unpătrat.Dacă $n>0$ ,atunci acest inel este întotdeauna un subinel al lui $\mathbb {R}$ ,în caz contrar este un subinel al lui $\mathbb {C}.$
Inelulnumerelor p-adice^⁠(d)întregi $\mathbb {Z} _{p}$ este un domeniu de integritate.
Inelulseriilor formalea unui domeniu de integritate este un domeniu de integritate.
Dacă $U$ este omulțime deschisă conexăaplanului complex $\mathbb {C}$ ,atunci inelul ${\mathcal {H}}(U)$ constând din toatefuncțiile olomorfeeste un domeniu de integritate. Același lucru este valabil și pentru inelele defuncții analiticepe submulțimi deschise conexe de varietăți analitice.
Uninel local regulat^⁠(d)este un domeniu de integritate. De fapt, un inel local regulat este uninel factorial.^[8]^[9]

Nu sunt exemple de domenii de integritate

Următoarele inelenusunt domenii de integritate.

Inelul nul(inelul în care $0=1$ ).
Inelul factor $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ cândmeste unnumăr compus.Într-adevăr, se alege o factorizare adecvată $m=xy$ (însemnând că $x$ și $y$ nu sunt egale cu $1$ sau $m$ ). Atunci $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ și $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ ,dar $xy\equiv 0{\bmod {m}}$ .
Produsula două inele comutative nenule. Într-un astfel de produs $R\times S$ există $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ .
Inelul factor $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ pentru orice $n\in \mathbb {Z}$ .În acest inel imaginile $x+n$ și $x-n$ sunt diferite de zero, în timp ce produsul lor este 0.
Inelul^⁠(d)matricilorn × npeste orice inel nul cândn≥ 2. Dacă $M$ și $N$ sunt matrici astfel încât imaginea lui $N$ este conținută în nucleul $M$ ,atunci $MN=0.$ De exemplu, acest lucru se întâmplă pentru $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$ .
Inelul factor $k[x_{1},\ldots,x_{n}]/(fg)$ pentru orice corp $k$ și orice polinoame care nu sunt constante $f,g\in k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ .Imaginile lui $f$ și $g$ din acest inel factor sunt elemente diferite de zero al căror produs este 0. Acest argument arată, echivalent, că $(fg)$ nu este un ideal prim. Interpretarea geometrică a acestui rezultat este căzerourilelui $(fg)$ formează omulțime algebrică afină^⁠(d)care nu este ireductibilă (adică nu o varietatea algebrică) în general. Singurul caz în care această mulțime algebrică poate fi ireductibilă este atunci când $(fg)$ este o putere a unuipolinom ireductibil^⁠(d),care definește aceeași mulțime algebrică.
Inelulfuncțiilor continuepeintervalul unitate.Se consideră funcțiile

f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

Nici

f

,nici

g

nu sunt peste tot zero, dar

fg

este.

Produsul tensorial $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ .Acest inel are douăelemente idempotente^⁠(d)netriviale, $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ și $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ .Ele sunt ortogonale, ceea ce înseamnă că $e_{1}e_{2}=0,$ prin urmare $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ nu este un domeniu. De fapt, există un izomorfism $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ definit de $(z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}$ .Inversul său este definit de $z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})$ .Acest exemplu arată că unprodus fibrat^⁠(d)al schemelor afine ireductibile nu trebuie să fie ireductibil.

Divizibilitate, elemente prime și elemente ireductibile

Articol principal:Divizibilitate.

În această secțiuneReste un domeniu de integritate.

Fiind date elementeleașibdinR,se spune căadividepebsau căaeste undivizoral luib,sau căbeste unmultiplual luia,dacă există un elementxînRastfel încâtax=b.

Unitățile^⁠(d)dinRsunt elementele care divid pe 1; acestea sunt tocmai elementele inversabile dinR.Unitățile divid toate celelalte elemente.

Dacăadivide pebșibdivide pea,atunciașibsuntelemente asociate.^[10]^[11]Echivalent,așibsunt asociate dacăa=ubpentru o unitateu.

Unelement ireductibileste un element diferit de zero și care nu est o unitate, care nu poate fi scris ca produs a două elemente care nu sunt unități.

Unpdiferit de zero și care nu este o unitate este unelement primdacă, ori de câte oripdivide un produsab,atuncipdivide peasaupdivide peb.Echivalent, un elementpeste primdacă și numai dacă idealul principal(p) este unideal primdiferit de zero.

Atât noțiunile de elemente ireductibile, cât și de elemente prime generalizează definiția obișnuită anumerelor primedin inelul $\mathbb {Z},$ dacă se consideră prime și numerele prime negative.

Orice element prim este ireductibil. Inversa nu este adevărată în general: de exemplu, în inelul întregilor pătrate perfecte $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ elementul 3 este ireductibil (dacă este factorizat netrivial, fiecare dintre factori ar trebui să aibă norma 3, dar nu există elemente de normă 3, deoarece $a^{2}+5b^{2}=3$ nu are soluții întregi), dar nu este prim (deoarece 3 divide $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ fără a diviza niciunul dintre factori). Într-un domeniu unic de factorizare, un element ireductibil este un element prim.

În timp cefactorizarea unicănu este valabilă în $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ ,există o factorizare unică a idealelor.

Proprietăți

Un inel comutativReste un domeniu de integritate dacă și numai dacă idealul (0) al luiReste un ideal prim.
DacăReste un inel comutativ șiPeste un ideal înR,atunci inelul factorR/Peste un domeniu de integritate dacă și numai dacăPeste un ideal prim.
FieRun domeniu de integritate. Atunci inelele de polinoame pesteR(cu orice număr de nedeterminate) sunt domenii de integritate. Acesta este cazul în special dacăReste un corp.
Proprietatea de înmulțire cu elementul simetric este valabilă în orice domeniu de integritate: pentru oricea,bșicîntr-un domeniu de integritate, dacăa≠0șiab=acatuncib=c.Un alt mod de a afirma acest lucru este că funcția $x\mapsto ax$ este injectivă pentru oriceadiferit de zero din domeniu.
Proprietatea de înmulțire cu elementul simetric este valabilă pentru ideale din orice domeniu de integritate: dacăxI=xJ,atunci fiex= 0, fieI=J.
Un domeniu de integritate este egal cu intersecțialocalizărilor^⁠(d)idealelor maximale.
Olimită inductivă^⁠(d)de domenii de integritate este un domeniu de integritate.
Dacă $A,B$ sunt domenii de integritate peste un corp algebric închisk,atunci $A\otimes _{k}B$ este un domeniu de integritate. Aceasta este o consecință ateoremei zerourilor a lui Hilbert^⁠(d),^{[note 1]}în geometria algebrică, implică afirmația că inelul de coordonate al produsului a două varietăți algebrice afine peste un corp algebric închis este și el un domeniu de integritate.

Corpul fracțiilor

Articol principal:Corpul fracțiilor.

Corpul fracțiilorKal unui domeniu de integritateReste mulțimea fracțiilora/bcuașibînRșib≠ 0 modulo o relație de echivalență adecvată, echipată cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire. Este „cel mai mic corp care conține peR ” în sensul că există unhomomorfism de inel^⁠(d)injectivR→Kastfel încât orice homomorfism de inel injectiv de laRla un corp factorizează prinK.Corpul fracțiilor din inelul de numere întregi $\mathbb {Z}$ este corpulnumerelor raționale $\mathbb {Q}.$ Corpul fracțiilor unui corp este izomorf cu corpul însuși.

Caracteristică și homomorfisme

Caracteristicaa unui domeniu de integritate este fie 0, fie unnumăr prim.

DacăReste un domeniu de integritate al caracteristicii primep,atunciendomorfismul Frobenius^⁠(d)f(x) =x^pesteinjectiv.

Spectrul unui domeniu de integritate

Divizorii lui zero au o interpretare topologică, cel puțin în cazul inelelor comutative: un inel $R$ este un domeniu de integritate dacă și numai dacă este unredus,iarspectrul^⁠(d)său, $Spec R$ ,este unspațiu topologic ireductibil^⁠(d).Prima proprietate este adesea considerată că accentuează unele informații infinitezimale, în timp ce a doua este unai mai geometrică.

Un exemplu: inelulk[x,y]/(xy),undekeste un corp, nu este un domeniu, deoarece imaginile luixșiydin acest inel sunt divizori ai lui zero. Geometric, aceasta corespunde faptului că spectrul acestui inel, care estereuniunea dreptelorx= 0șiy= 0,nu este ireductibil. Într-adevăr, aceste două drepte sunt componentele sale ireductibile.

Note explicative

^Demonstrație: mai întâi se presupune căAeste generat finit ca ok-algebră și se alege ok-bază $g_{i}$ a lui $B$ .Se presupune că ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (doar un număr finit de $f_{i},h_{j}$ sunt diferite de zero). Pentru fiecare ideal maximal al $A$ ,se ia în considerarehomomorfismul inelului^⁠(d) $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ .Atunci imaginea este ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0,}$ prin urmare fie ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ sau ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0,}$ prin independență liniară, ${\overline {f_{i}}}=0</math>pentrutoate<math>i$ sau ${\overline {h_{i}}}=0$ pentru toate $i.$ Deoarece ${\mathfrak {m}}$ este arbitrară, există ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ intersecția tuturor idealelor maximale $=(0)$ unde ultima egalitate provine din teorema zerourilor a lui Hilbert. Deoarece $(0)$ este un ideal prim, aceasta implică fie ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ,fie ${\textstyle \sum h_{i}A}$ este idealul nul; adică, fie $f_{i}$ sunt toate zero, fie $h_{i}$ sunt toate zero. În cele din urmă, $A$ este o limită inductivă ak-algebrelor generate finit care sunt domenii de integritate și astfel, folosind proprietatea anterioară, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ este un domeniu de integritate. $\square$

Note

^Cosmin Pelea,Algebră(curs 4),Universitatea Babeș-Bolyai,accesat 2023-08-01
^^a ^bIon Colojoară,Adriana Dragomir,Elemente de algebră superioară] (manual pt. cl. a XII-a reală), București: Editura Didactică și Pedagogică, 1968, p. 39
^Bourbaki, p. 116.
^Dummit, Foote, p. 228.
^deB.L. van der Waerden,AlgebraErster Teil, p. 36,Springer-Verlag,Berlin, Heidelberg 1966.
^enI.N. Herstein,Topics in Algebra,pp. 88–90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
^enJ.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in MathematicsVol. 30, AMS)
^enM Auslander; D A Buchsbaum.„Unique factorization in regular local rings”.Proceedings of the National Academy of Sciences(în engleză).Bibcode:1959PNAS...45..733A.doi:10.1073/PNAS.45.5.733.ISSN 0027-8424.PMC222624 .PMID 16590434.Zbl 0084.26504.Wikidata Q24655880.
^enMasayoshi Nagata. „A General Theory of Algebraic Geometry Over Dedekind Domains, II: Separably Generated Extensions and Regular Local Rings”.American Journal of Mathematics[*](în engleză).doi:10.2307/2372791.ISSN 0002-9327.JSTOR 2372791.Zbl 0089.26501.Wikidata Q56049883.
^Violeta Leoreanu Fotea,Aritmetică în domenii de integritate și teoria modulelor(curs),Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași,accesat 2023-08-01
^enDurbin, John R. (1993).Modern Algebra: An Introduction(ed. 3rd). John Wiley and Sons. p. 224.ISBN 0-471-51001-7.Elementsaandbof [an integral domain] are calledassociatesifa|bandb|a.

Bibliografie

enAdamson, Iain T. (1972).Elementary rings and modules.University Mathematical Texts. Oliver and Boyd.ISBN 0-05-002192-3.
enBourbaki, Nicolas(1998).Algebra, Chapters 1–3.Berlin, New York:Springer-Verlag.ISBN 978-3-540-64243-5.
enMac Lane, Saunders;Birkhoff, Garrett(1967).Algebra.New York: The Macmillan Co.ISBN 1-56881-068-7.MR 0214415.
enDummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).Abstract Algebra(ed. 3rd). New York:Wiley.ISBN 978-0-471-43334-7.
enHungerford, Thomas W.(2013).Abstract Algebra: An Introduction(ed. 3rd). Cengage Learning.ISBN 978-1-111-56962-4.
enLang, Serge(2002).Algebra.Graduate Texts in Mathematics.211.Berlin, New York:Springer-Verlag.ISBN 978-0-387-95385-4.MR 1878556.
enSharpe, David (1987).Rings and factorization.Cambridge University Press.ISBN 0-521-33718-6.
enRowen, Louis Halle (1994).Algebra: groups, rings, and fields.A K Peters.ISBN 1-56881-028-8.
enLanski, Charles (2005).Concepts in abstract algebra.AMS Bookstore.ISBN 0-534-42323-X.
enMilies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002).An introduction to group rings.Springer.ISBN 1-4020-0238-6.
enB.L. van der Waerden, Algebra,Springer-Verlag,Berlin Heidelberg, 1966.

Portal Matematică

[12] Demonstrație: mai întâi se presupune căAeste generat finit ca ok-algebră și se alege ok-bază $g_{i}$ a lui $B$ .Se presupune că ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (doar un număr finit de $f_{i},h_{j}$ sunt diferite de zero). Pentru fiecare ideal maximal al $A$ ,se ia în considerarehomomorfismul inelului^⁠(d) $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ .Atunci imaginea este ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0,}$ prin urmare fie ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ sau ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0,}$ prin independență liniară, ${\overline {f_{i}}}=0</math>pentrutoate<math>i$ sau ${\overline {h_{i}}}=0$ pentru toate $i.$ Deoarece ${\mathfrak {m}}$ este arbitrară, există ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ intersecția tuturor idealelor maximale $=(0)$ unde ultima egalitate provine din teorema zerourilor a lui Hilbert. Deoarece $(0)$ este un ideal prim, aceasta implică fie ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ,fie ${\textstyle \sum h_{i}A}$ este idealul nul; adică, fie $f_{i}$ sunt toate zero, fie $h_{i}$ sunt toate zero. În cele din urmă, $A$ este o limită inductivă ak-algebrelor generate finit care sunt domenii de integritate și astfel, folosind proprietatea anterioară, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ este un domeniu de integritate. $\square$

[CP-1] Cosmin Pelea,Algebră(curs 4),Universitatea Babeș-Bolyai,accesat 2023-08-01

[CD-2] Ion Colojoară,Adriana Dragomir,Elemente de algebră superioară] (manual pt. cl. a XII-a reală), București: Editura Didactică și Pedagogică, 1968, p. 39

[3] Bourbaki, p. 116.

[4] Dummit, Foote, p. 228.

[5] B.L. van der Waerden,AlgebraErster Teil, p. 36,Springer-Verlag,Berlin, Heidelberg 1966.

[6] I.N. Herstein,Topics in Algebra,pp. 88–90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.

[7] J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in MathematicsVol. 30, AMS)

[8] M Auslander; D A Buchsbaum.„Unique factorization in regular local rings”.Proceedings of the National Academy of Sciences(în engleză).Bibcode:1959PNAS...45..733A.doi:10.1073/PNAS.45.5.733.ISSN 0027-8424.PMC222624 .PMID 16590434.Zbl 0084.26504.Wikidata Q24655880.

[9] Masayoshi Nagata. „A General Theory of Algebraic Geometry Over Dedekind Domains, II: Separably Generated Extensions and Regular Local Rings”.American Journal of Mathematics[*](în engleză).doi:10.2307/2372791.ISSN 0002-9327.JSTOR 2372791.Zbl 0089.26501.Wikidata Q56049883.

[VLF-10] Violeta Leoreanu Fotea,Aritmetică în domenii de integritate și teoria modulelor(curs),Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași,accesat 2023-08-01

[11] Durbin, John R. (1993).Modern Algebra: An Introduction(ed. 3rd). John Wiley and Sons. p. 224.ISBN 0-471-51001-7.Elementsaandbof [an integral domain] are calledassociatesifa|bandb|a.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[note 1]