Matrice permutare

Matricea permutareasociată permutării$\pi$și notată$P_{\pi }$estematricea pătratăcu elemente 0 sau 1 care se obține din matricea unitate$I_{n}$modificând poziția liniilor în concordanță cu$\pi ^{-1}$,în sensul că linia$\pi _{i}$din matricea$I_{n}$trece în linia$i$a matricii$P_{\pi }$,unde:

$\pi ={\begin{pmatrix}\pi _{1}&\pi _{2}&\pi _{3}&...&\pi _{n}\end{pmatrix}}$ opermutarea mulțimii {1; 2; 3;...;n}, adică oaplicațiebijectivă de la mulțime la ea însăși:

${\begin{pmatrix}1&2&...&i&...&n\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\\pi _{1}&\pi _{2}&...&\pi _{i}&...&\pi _{n}\end{pmatrix}}$

și$\pi ^{-1}$inversa sa

$\pi ^{-1}={\begin{pmatrix}\pi _{1}&\pi _{2}&...&\pi _{i}&...&\pi _{n}\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\1&2&...&i&...&n\end{pmatrix}}$

Exemplu

Pentru permutarea $\pi ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}$ , matricea corespunzătoare permutării este:

$P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Proprietăți ale matricelor permutare

1) Produsul dintre o matrice permutare și o matrice coloană este:

$P_{\pi }\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{\pi _{1}}\\x_{\pi _{2}}\\\vdots \\x_{\pi _{n}}\\\end{pmatrix}}$

adică matricea$P_{\pi }$are ca efect permutarea liniilor matricei coloană conform permutării$\pi$.

Exemplul 1

$P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}\cdot X={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

În particular produsul unei matrice permutare cu o matrice$A$cu$n$linii și$m$coloane este matricea obținută din$A$ aplicând permutarea$\pi$liniilor sale.

Exemplul 2

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

$P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}\cdot A={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}$

2)Determinantulunei matrici permutare$P_{n}$este1dacă permutarea este pară sau-1dacă permutarea este impară.

Exemplu

$\pi ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}$- este permutare impară$\Rightarrow detP_{\pi }=-1$

Consecință:1) O matrice permutare este inversabilă.

2) Inversa unei matrice permutare conicide cu transpusa sa.

$P_{\pi }^{-1}=P_{\pi }^{t}$.

Matricele permutare intervin în metode de rezolvare asistemelor de ecuații liniare.