Număr prim

Număr prim

Anul publicării	1550 î.Hr.
Autorul publicării	Papirusul Rhind
Nr.de termeni cunoscuți	infinit
Primii termeni	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.
Cel mai mare termen cunoscut	282.589.933− 1
IndexOEIS	A000040 The prime numbers.

Unnumăr primeste unnumăr natural,mai mare decât 1, care are exact doidivizoripozitivi: numărul 1 și numărul în sine. Acești divizori sunt improprii. Un număr prim este decinefactorizabil.

Opusul noțiunii de număr prim este cel denumăr compus.

Cel mai mic număr prim este 2; în afară de 2 toate numerele prime suntnumere impare.Există o infinitate de numere prime, fapt demonstrat deEuclidînAntichitateprin intermediul reducerii la absurd.

Definiție

• Unnumăr naturalp > 1se numeșteprim^[1]dacă:p | abatuncip | asaup | b,unde a, b sunt numere naturale. De exemplu 15 | 3^.5, dar 15$\nmid$3, 15$\nmid$5, adică 15 nu este numărprim.Aceasta este o proprietate esențială a numerelorprime,iar cele două definiții sunt echivalente pentruinelul$({\mathbb {Z} },+,\cdot )$,dar nu sunt echivalente în oriceinel integru.
• Mulțimea numerelor prime poate fi notatăMP={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... infinit}și se poate indexa cu indecși naturali consecutivi astfel:MP={P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5, P(4)=7, P(5)=11, P(6)=13, P(7)=17, P(8)=19, P(9)=23,....P(n), P(n+1),...P(infinit)},cuP(n)fiind al n-lea număr prim din șirul/mulțimea numerelor primeMP(care este o mulțime cu o infinitate de elemente).
• Există de asemenea și o infinitate de subtipuri posibile de numere prime. Un subtip special de numere prime îl constituienumerele prime cu indecși la rândul lor primi(alias "prime-index primes"sau"super-primes"). De exemplu, se poate forma o submulțime (infinită)MP1dinMPextrăgând toate acele elemente dinMPcare au indecși primi la rândul lor:MP1={P(2)=3, P(3)=5, P(5)=11, P(7)=17,... P(al n-lea numar prim), P(al [n+1]-lea numar prim)...P(infinit)}.MP1se mai numește și "mulțimea (șirul) super-primelor de ordinul 1;și se poate scrie și astfel:MP1={P(P(1))=P(2)=3, P(P(2))=P(3)=5, P(P(3))=P(5)=11, P(P(4))=P(7)=17,...P(P(n))=P(al n-lea număr prim), P(P(n+1))=P(al [n+1]-lea număr prim),...P(P(infinit))}.
• Analog, se poate defini șiMP2={P(P(P(1)))=P(P(2))=P(3)=5, P(P(P(2)))=P(P(3))=P(5)=11,...P(P(P(n)))=P(P(al n-lea numar prim)), P(P(P(n+1)))=P(P(al [n+1]-lea numar prim)),...P(P(P((infinit)))}.Iterativ, se poate defini și un număr super-prim de ordin x ca P(P(P...P(n)) (cu x funcții P incluse una în alta) șiMPxconținînd toate aceste numere pentru x aparținând mulțimii naturaleN*={1, 2, 3,...infinit}.(Neil Fernandez 1999,URL2,URL3)

Proprietăți

• În anul300 î.Hr.Euclida demonstrat că există o infinitate de numereprime.Iată demonstrația:presupunând prin absurdcă p ar fi cel mai mare număr prim, construimnumărul unu plus produsul numerelor prime de la 1 la p$n=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots p+1$.Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, 5,....., p, așadar sau este prim, sau are un divizor prim mai mare ca p, ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim.
• Nu se știe dacă există o infinitate denumere prime gemene(impareconsecutive ca: [3, 5]; [41, 43]; [59, 61]; [101, 103] etc.).
• Șirul numerelorprimeîncepe cu 2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,

239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293

• Descompunerea în factori primi:orice număr naturaln,n > 1poate fi descompus în mod unic (până laopermutarea factorilor) ca produs finit de numereprime,și putem scrie$n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$descompunerea în factori primidistincți ai luinunde$p_{j},j={\overline {1,r}}$sunt numere prime distincte.^[2]
  • Exemplu:$\ 120=2^{3}\cdot 3\cdot 5$.
  • Pentrunumerele întregiavem$n=\eta \cdot p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$,unde$\eta \in {\lbrace {-1,1}\rbrace }$.
• Teorema lui Dirichlet:Înprogresia aritmeticăa, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq,.., cu a>0, q>0 numere naturaleprime între ele,există o infinitate de numereprime.Demonstrații elementareexistă pentru progresiile 4n+1 și 4n+3, iar cazul general are o demonstrație elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare.^[3]
• Postulatul lui Bertrand:Dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr primpcuprins între n și 2n, adică n < p < 2n.
• Conjectura lui Andrica:Diferența radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1.
• Există intervale foarte mari în care nu există numere prime, de exemplu între 370261 și 370373.

Mărimea numerelor prime cunoscute în prezent

• Cel mai mare număr prim găsit până în prezent este 2^74.207.281- 1 și are peste 22 milioane de cifre.
• În decembrie 2018, a fost descoperit un nounumăr prim Mersenne:2^82.589.933- 1 și are 24.862.048 de cifre.

Bibliografie

1. ^I.D. Ion ș.a.,Algebra pentru perfecționarea profesorilor,E.D.P. București,1983, p. 77, 152.
2. ^I.D. Ion ș.a.Algebra pentru perfecționarea profesorilor,E.D.P. București,1983, p. 77, 152.
3. ^I. Creangă ș.a.,Introducere în teoria numerelor,E.D.P. București,1965.

Lectură suplimentară

• Nicolae N. Mihăileanu,Istoria matematicii,vol. 1-2, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1974, 1981

Vezi și

• Listă de numere prime- primele 1000 de numere prime și diferite clase de prime
• Teorema numerelor prime
• Numere prime între ele
• Teorema lui Wilson
• Semiprim
• Primorial
• Prim factorial
• Prim permutabil
• Prim trunchiabil

Legături externe

• Prime number calculator- Check prime number, find next largest and next smallest prime numbers of a number
• Pagina numerelor prime —http://primes.utm.edu/
• MacTutor history of prime numbers
• Prime Number GeneratorArhivatîn14 august 2009,laWayback Machine.- Generate a given number of primes above a given start number.
• Primele 15, 000, 000 numere prime
• The prime puzzles
• An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes
• Primesde la WIMSonlinegenerator de numere prime
• Number Spiral with prime patterns
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril BanderierArhivatîn25 septembrie 2006,laWayback Machine.
• FactorizerWindows software to find prime numbers and pairs of prime numbers less than 2,147,483,646.
• Huge database of prime numbers
• EFF Cooperative Computing Awards
• Cel mai mare număr prim cunoscut!
• Numere prime - mathworld
• Math.com calculator