Relație de ordine

Înmatematică,orelație de ordine,numită șirelație de ordine parțială(sauordinesauordine parțială), este oricerelație binarăreflexivă,antisimetricășitranzitivăpe omulțime.Două elemente în relație (în orice ordine) unul cu altul se numesccomparabile.

Unei relații de ordine i se poate asocia o relație de ordine strictă, ce este ireflexivă. Cel mai cunoscut exemplu de relație de ordine strictă esteinegalitateaîntre numere distincte.Egalitateaîmpreună cu inegalitatea (mai mic sau egal, mai mare sau egal) constituie o relație de ordine nestrictă.

Relații de ordine se pot întâlni și îngeometrie,de exemplu în ordinea de poziționare a unor puncte pe segmente de dreaptă sauaxa numerelor.

Valorile numerice ale uneimărimi fizicepermit ordonarea crescătoare sau descrescătoare a unor corpuri după gradul manifestării proprietății gradabile exprimate de mărimea fizică respectivă.

Definiție

O relație binară$\preceq$pe o mulțime$A$se numeșterelație de ordinedacă îndeplinește următoarele proprietăți:

• reflexivitate:$\forall x\in A\,,\ x\preceq x$
• antisimetrie:$\forall x,y\in A$,dacă$x\preceq y$și$y\preceq x$atunci$x=y$
• tranzitivitate:$\forall x,y,z\in A$,dacă$x\preceq y$și$y\preceq z$atunci$x\preceq z$

Termeni folosiți

DacăMeste o submulțime nevidă a luiA($M\subseteq A$,$M\neq \emptyset$), un element$a\in A$se numește:

• majorantal luiMdacă$\forall b\in M\,,\ b\preceq a$.O mulțime care are un majorant se numeștemajoratăsaumărginită superior.
• minorantal luiMdacă$\forall b\in M\,,\ a\preceq b$.O mulțime care are un minorant se numeșteminoratăsaumărginită inferior
• maximulluiMdacă este majorant al luiMși aparține luiM.Dacă o mulțime are un maxim, acesta este unic.
• minimulluiMdacă este minorant al luiMși aparține luiM.Dacă o mulțime are un minim, acesta este unic.
• supremumulsaumarginea superioarăa luiMdacăaeste minimul mulțimii majoranților luiM.
• infimumulsaumarginea inferioarăa luiMdacăaeste maximul mulțimii minoranților luiM.

Exemple

• Incluziuneamulțimilor este o relație de ordine pe orice mulțime de mulțimi.
• Relația dedivizibilitateeste o relație de ordine pe mulțimeanumerelor naturale.În această relație, 1 este minimul mulțimii numerelor naturale, iar 0 este maximul.
• Relația de ordine întrefuncții:$f\leq g$dacă$\forall x\in D\,,\ f(x)\leq g(x)$,undeDeste domeniul de definiție comun al funcțiilorfșig,iar relația$\leq$din partea dreaptă este o relație de ordine pecodomeniulcomun al funcțiilor.
• Relația de ordonare a punctelor unuisegment geometric,numităcoliniaritate,o relație ternară.

Tipuri speciale de relații de ordine

Ordine totală

Articol principal:Relație de ordine totală.

O relație de ordine în care orice două elemente sunt comparabile, adică

$\forall x,y\in A$,$x\preceq y$sau$y\preceq x$

se numeșterelație de ordine totală.Ordinea obișnuită între numere este o ordine totală.

Bună ordonare

Articol principal:Bună ordonare.

O relație de ordine totală în care în plus orice submulțime nevidă admite un minim se numeșterelație de bună ordonare,iar mulțimea pe care s-a stabilit relația se numeștemulțime bine ordonată.De exemplu, mulțimeanumerelor naturaleeste bine ordonată.

Latici

Articol principal:Latice (matematică).

Dacă orice submulțime finită admite un infimum și un supremum, mulțimeaAîmpreună cu relația de ordine se numeștelatice.De exemplu, mulțimea submulțimilor unei mulțimi împreună curelația de incluziuneformează o latice.