Semiaxa mare

Îngeometrie,axa maresauaxa majoră(înlatinămaior axis) a uneielipseeste cel mai lungdiametrual acesteiconice.Trece prin centrul și prin ambelefocareale elipsei.

Semiaxa majoră(înlatinămaior semiaxis) sausemiaxa mareeste jumătate din axa majoră a elipsei. Dacă elipsa este uncerc,semiaxa sa majoră este însășirazasa.

Punere în evidență

O elipsă ${\mathcal {E}}$ este, prin definiție, mulțimea punctelor $M$ ale unuiplan ${\mathcal {P}}$ în care suma distanțelor la două puncte fixe, $F$ și $F'$ ,din planul ${\mathcal {P}}$ este constantă.

Această constantă este o distanță $2a$ ,denumită axa majoră a elipsei ${\mathcal {E}}$ .

{\mathcal {E}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\{{M\in {\mathcal {P}}\;|\;{{\overline {FM}}+{\overline {F'M}}=cte\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;2a}}\}

Definiție

Axa majoră / axa mare a uneielipseeste unsegment de dreaptăcare trece atât princentrulcât și prin cele două focare ale elipsei și unește două puncte opuse de pe elipsă. Semiaxa majoră corespunde jumătății axei mari și unește centrul de un punct de pe elipsă trecând printr-unul din focarele acesteia.

În mod similar, segmentulperpendicularpe axa mare, care trece prin centrul elipsei și atinge elipsa esteaxa mică/axa minoră(înlatinăminor axis). Axele unei elipse sunt echivalente alediametruluiunuicerc,iar semiaxele sunt analoagerazelor.

Lungimea semiaxei majore $a$ și cea a semiaxei minore $b$ sunt legate prinexcentricitea $e$ și prin parametrul $\ell$ :

b=a{\sqrt {1-e^{2}}}

\ell =a(1-e^{2})

a\ell =b^{2}

Noțiuni conexe

Cerc principal

Cercul ${\mathcal {C}}$ de centru $O$ ,centrul unei elipse ${\mathcal {E}}$ ,și de diametru $d=2a$ ,axa majoră a elipsei, estecercul principalal acelei elipse.

Elipsa ${\mathcal {E}}$ este imagea cercului principal ${\mathcal {C}}$ prin afinitatea ortogonală de bază Ox și de raport $b/a$ .

Noțiuni echivalente

Parametrii unei elipse, între care semiaxa majoră (a) şi semiaxa minoră (b).

Parametrii unei hiperbole, între care axa transversă (a) şi axa sa conjugată (b).

Cercul fiind o elipsă de excentricitate lineară nulă, axa majoră (axa mare) a unui cerc este diametrul său, iar semiaxa majoră este raza sa.

Hiperbola este o conică de excentricitate lineară superioară lui 1. Axa transversă a unei hiperbole, segment al dreptei care traversează centrul și cele două focare ale hiperbolei, este echivalentă cu semiaxa mare a unei elipse. Axa conjugată a unei hiperbole, segment al dreptei cuprinse între unul dintre vârfurile hiperbolei și una dintre dreptele asimptote la curba cu același vârf, este echivalentă cu semiaxa minoră a unei elipse.

Astronomie

Perioadă orbitală

Înastronomie,semiaxa majoră este unelement orbitalimportant, care permite să se definească parțial oorbită.În mod general, în cadrul uneiprobleme a două corpuri,perioada orbitalăa unui corp demasă $m$ care orbitează în jurul unui alt corp de masă $M$ este:

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,

unde:

$a$ este lungimea semiaxei majore
$G$ esteconstanta gravitațională.

Dacă unul dintre corpuri este suficient de mic pentru ca masa sa să fie neglijată în raport cu a celuilalt:

T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}

unde $\mu$ esteparametrul gravitațional standard.

În acest caz, pentru toate orbitele cu aceeași semiaxă majoră, perioada este aceeași, oricare ar fiexcentricitatea.

Se obține proporționalitatea următoare:

T^{2}\propto a^{3}

care corespunde celei dea treia legi a lui Kepler.

Distanță medie

Semiaxa majoră nu corespunde neapărat distanței medii dintre cele două corpuri pe orbită, deoarece această distanță depinde de procedeul utilizat:

Calculând media distanței prinanomalia excentrică,se află efectiv semiaxa majoră.
Media prinanomalia adevăratădăsemiaxa minoră.
Calcularea prinanomalia medieconduce la valoarea $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)$

De altfel, „raza medie a elipsei”, care semnifică de fapt raza cercului cu aceeașiarie,este ${\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}$ .

Vezi și

Format:Orbite