Transformare Legendre

Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia $f(x)\,$ .Funcţia e marcată cu roşu, iartangentaîn punctul $(x_{0},\ f(x_{0}))\,$ e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în $(0,\ -f^{*})$ iar $f^{*}\,$ este valoarea transformatei Legendre $f^{*}(p_{0})\,$ ,unde $p_{0}={\dot {f}}(x_{0})$ .

Transformarea lui Legendreeste o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la ofuncție de starea unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special întermodinamică.

Preliminarii

În calcule, în locul unei funcții $f(x)\,$ este mai util de utilizat o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițialep = df/dx.

Prin transformarea indicată deLegendrese obține funcția:

f^{\star }(p)=\mathrm {max} _{x}(px-f(x)).

Definiții

Pentru a obține maximul lui $px-f(x)\,$ se pune condiția ca derivata acesteia să fie zero:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)\,

Așadar maximul este atins când:

p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)

.

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

{\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,

deoarece s-a presupus că $f$ este convexă.

Mai departe, din (2) se obține $x$ ca o funcție de $p$ și se introduce în (1). Se obține o formă mai utilă:

f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).

<

modificare

Portal Matematică

Matematicaeste în general definită caștiințace studiază modelele de structură, schimbare și spațiu. În conversații amicale, poate fi descrisă ca „analiza cifrelor și a numerelor”,în timp ce cu alte ocazii poate fi utilizată o descriere pedantă de genul „cercetarea axiomatică a structurilor abstracte folosind raționamente logice șinotații matematice”.Un compromis se obține prin „studiul obiectelor sau noțiunilor a căror existență este independentă de această investigație științifică”.

Datorită utilizării sale în majoritatea celorlalte discipline științifice, matematica a fost numită „limbajul științei”sau „limbajul universului”.

Mai multe despre...matematică,Vezi șiProiect:Matematică

modificare

Articolul zilei

Geometria(din grecesculγεωμετρία;geo = pământ, metria = măsură) s-a născut ca fiind ramura de studiu a matematicii care se ocupă cu relațiile spațiale. Este una dintre cele două ramuri ale matematicii moderne, cealaltă fiind studiul numerelor. În ziua de azi, conceptele geometriei au fost generalizate către un nivel mai înalt de abstractizare și complexitate, și a fost făcută obiect de studiu pentru metode de calcul și algebră abstractă, așa că multe ramuri moderne ale geometriei mai pot fi recunoscute ca fiind descendente ale geometriei de la începuturile ei. (Vezigeometrie algebrică.)

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babylon, în jurul anului 3000 î.e.n. Începuturile geometriei au fost marcate de o colecție de principii empirice în legătură cu lungimea, unghiul, aria, și volumul, care au fost dezvoltate pentru a putea fi puse în practică în construcții, astronomie, și alte științe. Printre acestea se numără și câteva principii sofisticate, iar un matematician din zilele noastre ar putea cu greu să le redescopere fără a folosi calculul integral și diferențial. De exemplu, și egiptenii și babilonienii cunoșteau versiunileteoremei lui Pitagoracu 1500 de ani înainte dePitagora;Egiptenii aveau formula corectă pentru volumul piramidei cu baza pătrat; Babilonienii aveau un tabel de trigonometrie.

Mai mult despre Geometrie...

modificare

Articole selectate

Mulțimea lui Mandelbroteste unfractalcare a devenit cunoscut și în afaramatematiciiatât pentru estetica sa, cât și pentru structura complicată, dar care are la bază o definiție simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor luiBenoît Mandelbrotși ale altora, care au lucrat pentru a face cunoscut acest domeniu al matematicii publicului general.

Mai mult...

modificare

Imaginea zilei

Mai mult despre Teorema bisectoarei...

modificare

Categorii

Algebră- Analiză matematică- Aritmetică- Biomatematică- Cioturi Matematică- Ecuații diferențiale- Filozofia matematicii- Geometrie- Geometrie algebrică- Infinit- Leme- Liste matematice- Logică Boole- Matematicieni- Matematică elementară- Matematică financiară- Medii- Numerație- Numere- Optimizare- Paradoxuri matematice- propoziții matematice- Punctuație- Secvențe- Serii matematice- Statistică- Teoreme- Teoreme matematice- Teoria grafurilor- Teoria jocurilor- Categorie:Teoria mulțimilor- Terminologie matematică- Topologie- Trigonometrie- Șiruri matematice

modificare

Știați că...

...mulțimeanumerelor raționaleare acelașicardinalcu mulțimeanumerelor naturale?Aceasta deoarece există ocorespondență biunivocăîntre ele.
...egalitatea lui Eulerreuneștecincidintre cele mai importanteconstantematematice.

Deși N este inclusă strict in Z, cele două mulțimi sunt cardinal echivalente, adică au același cardinal. Funcția bijectivă care ne arată acest lucru este următoarea: f definită pe Z cu valori în N, unde numerele întregi nenegative merg prin f în numerele naturale pare, iar numerele întregi negative în numerele naturale impare.

modificare